Kurse

Funktionsgleichung bestimmen
In diesem Kapitel wird erläutert, wie man anhand verschiedener Informationen die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen kann.
3.1.  Zwei Punkte vorgegeben
Kennt man zwei Punkte des Funktionsgraphen einer linearen Funktion, dann lässt sich dadurch die Funktionsgleichung eindeutig bestimmen. Die Vorgehensweise ist Folgende:
  1. Man berechnet mit der Formel $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ die Steigung.
  2. Man setzt in $f(x)=k\cdot x+d$ die Steigung und die Koordinaten eines gegebenen Punktes ein. Der Funktionswert $f(x)$ entspricht dabei der $y$-Koordinate des Punktes.
  3. Die dadurch entstehende Gleichung wird nach $d$ umgeformt.
  4. Die fertige Funktionsgleichung wird angeschrieben.
Beispiel 1
Es soll die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmt werden, deren Graph durch die Punkte $(-2 \mid 5)$ und $(3\mid -2)$ verläuft.
Im ersten Schritt wird die Steigung ermittelt: $$k=\frac{-2-5}{3-(-2)}=-\frac{7}{5}=-1{,}4$$ Nun werden die Steigung sowie die Koordinaten eines Punktes in die Grundgleichung $f(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt. Es wird dazu der Punkt $(-2\mid 5)$ verwendet. Die entstehende Gleichung wird nach $d$ umgeformt. $$5=-1{,}4\cdot (-2)+d \Rightarrow d=2{,}2$$ Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit $f(x)=-1{,}4\,x+2{,}2$.
Beispiel 2
Die monatlichen Gesamtkosten für einen Strombedarf von 120 kWh betragen 9,80 €. Bei 160 kWh betragen sie 12,00 €. Es soll eine lineare Funktion erstellt werden, welche die Gesamtkosten in Abhängigkeit des Strombedarfs beschreibt.
Die unabhängige Variable $x$ ist hier der Strombedarf (in kWh) und die abhängige Variable $y$ ist der zugehörige Preis (in €). Zunächst wird die Steigung berechnet: $$k=\frac{12{,}00-9{,}80}{160-120}=0{,}055~€/\mathrm{kWh}$$ Als nächstes wählt man einen der beiden Punkte aus, und setzt seine Koordinaten gemeinsam mit der soeben berechneten Steigung in den Ansatz $K(x)=k\cdot x+d$ ein und formt nach $d$ um. $$12=0{,}055\cdot 160+d$$ $$d= 3{,}20\,€$$ Die vollständige Kostenfunktion lautet somit $K(x)=0{,}055x+1{,}36$. Die monatliche Grundgebühr beträgt 3,20 € und eine Kilowattstunde kostet 5,5 Cent.
Aufgabe 1
Bestimme jeweils die Funktionsgleichung der linearen Funktion, deren Graph durch die beiden gegebenen Punkte verläuft.
  1. $A(2\mid-5), B(-3\mid 1)$
  2. $C(1\mid 0), D(0\mid 1)$
  3. $E(-1\mid -3), F(2\mid 4)$
3.2.  Funktionsgraph vorgegeben
Gegeben ist der Funktionsgraph einer linearen Funktion, also eine Gerade im kartesischen Koordinatensystem. Gesucht ist eine zugehörige Funktionsgleichung in der Form $f(x)=k\cdot x+d$. Zur Erstellung dieser Funktionsgleichung geht man folgendermaßen vor:
  1. Den Ordinatenabschnitt $d$ kann man ablesen, indem man abmisst, in welcher Höhe die Gerade die vertikale Achse schneidet.
  2. Zur Bestimmung der Steigung $k$ wählt man zwei möglichst weit voneinander entfernte Punkte des Graphen aus (damit die Messungenauigkeiten möglichst wenig Einfluss haben) und misst deren Koordinaten. Falls vorhanden, sind Punkte zu bevorzugen, deren Koordinaten exakt abgelesen werden können. Die Steigung wird anschließend mit der Formel $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ berechnet.
  3. Am Ende muss die vollständige Funktionsgleichung angeschrieben werden, indem man in den Ansatz $f(x)=k\cdot x+d$ die ermittelten Werte für $k$ und $d$ einsetzt.
Beispiel 3
Es soll eine Funktionsgleichung erstellt werden, welche den nachfolgend abgebildeten Funktionsgraphen beschreibt.

Für den Ordinatenabschnitt erhält man $d=200$, da die vertikale Achse bei 200 geschnitten wird. Als weiteren Punkt kann man beispielsweise den Punkt $(8\mid 400)$ verwenden, da dieser exakt abgelesen werden kann. Durch Einsetzen dieser Information in die Formel für die Steigung erhält man folgende Steigung: \begin{equation} k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{400-200}{8-0}=25 \end{equation} Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit $f(x)=25\,x+200$.
Ist es nicht möglich, den Ordinatenabschnitt exakt abzulesen, kann man stattdessen versuchen, zwei Punkte des Graphen exakt abzulesen. Anschließend kann die im ersten Abschnitt dieses Kapitels beschriebene Methode verwendet werden.
Feedback
Wie hilfreich war dieses Kapitel für dich?
© 2016 – 2026   MATHE.ZONE