Kostenfunktion

Der zentrale Begriff der Kostentheorie ist die Kostenfunktion. Von der Kostenfunktion lassen sich zahlreiche weitere Begriffe ableiten, welche in diesem Teilkapitel erläutert werden. Als wirtschaftlich relevanten Bereich bezeichnet man das Intervall $[0,+\infty)$, da es keine negativen Produktionsmengen gibt. Das bedeutet, dass bei einer Kostenfunktion immer nur der Bereich $x\geq 0$ betrachtet wird. Je nach Verlauf unterscheidet man vier Arten von Kostenfunktionen:

• Lineare Kostenfunktion: Die variablen Kosten sind konstant. Für jede zusätzlich produzierte Mengeneinheit steigen die Gesamtkosten um den gleichen Wert an. Diese Kostenfunktion besitzt keine Krümmung.
  
  
• Progressive Kostenfunktion: Eine Erhöhung der Produktionsmenge führt zu immer größeren Kostenzuwächsen. Dies kann beispielsweise durch die Bezahlung von Überstunden oder die Anschaffung neuer Maschinen begründet werden. Diese Kostenfunktion ist positiv gekrümmt.
  
  
• Degressive Kostenfunktion: Je mehr produziert wird, umso langsamer steigen die Gesamtkosten an. In der Praxis tritt dieser Effekt beispielsweise dadurch auf, dass bei größeren Rohstoffeinkäufen bessere Verträge abgeschlossen werden können und das Personal durch die ständige Übung schneller und fehlerfreier arbeitet. Diese Kostenfunktion ist negativ gekrümmt.
  
  
• Ertragsgesetzliche Kostenfunktion: In der Realität ergibt es sich häufig, dass zunächst die Effekte der degressiven Kostenfunktion auftreten. Ab einer bestimmten Produktionsmenge dominieren jedoch die Effekte der progressiven Kostenfunktion. Daraus resultiert eine Funktion, welche zunächst negativ und ab einem bestimmten Punkt positiv gekrümmt ist. Dieser Punkt wird als Kostenkehre bezeichnet (siehe Seite \pageref{kostenkehre}).
  
  

Fixkosten sind jene Kosten, die im Produktionsprozess immer anfallen – selbst dann, wenn die Produktionsmenge null beträgt. Häufig werden die Fixkosten mit $K_F$ bezeichnet. Bei Polynomfunktionen handelt es sich dabei stets um das sogenannte Absolutglied, also jenen Term, der von der Variable $x$ unabhängig ist.

Beispiel 1

Es sollen die Fixkosten der Kostenfunktion $K(x)=0{,}1x^3-3x^2+40x+300$ ermittelt werden. Da die ersten drei Terme für $x=0$ wegfallen, betragen die Fixkosten 300 GE.

Allgemein sollte jedoch auf die Formel $K_F=K(0)$ zurückgegriffen werden. Ist die Kostenfunktion keine Polynomfunktion, so kann es falsch sein, einfach jene Zahl zu nehmen, bei welcher die Variable $x$ nicht vorkommt. Folgendes Beispiel wird dies zeigen.

Beispiel 2

Es sollen die Fixkosten der degressiven Kostenfunktion $K(x)=500-300\cdot 0{,}935^x$ ermittelt werden. $K(0)=500-300\cdot 0{,}935^0=500-300\cdot 1=200$. Die Fixkosten betragen somit 200 GE.

Jenen Anteil der Kostenfunktion $K(x)$, welcher von der Stückzahl $x$ abhängig ist, bezeichnet man als variable Kostenfunktion $K_V(x)$. Berechnet wird sie, indem man von der Kostenfunktion die Fixkosten $K_F$ subtrahiert: \begin{equation*} K_V(x)=K(x)-K_F \end{equation*}

Beispiel 3

Es sollen die variablen Kosten der Kostenfunktion $K(x)=500-300\cdot 0{,}935^x$ ermittelt werden. Die Fixkosten betragen wie bereits oben berechnet 200 GE. Somit erhält man für die variable Kostenfunktion $K_V(x)=K(x)-200=300-300\cdot 0{,}935^x=300\cdot (1-0{,}935^x)$.

Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist mathematisch durch folgende vier Eigenschaften definiert:

• Die Fixkosten sind positiv, also $K_F>0$.
• Die Funktion ist im wirtschaftlich relevanten Bereich, also für $x\geq 0$, streng monoton steigend.
• Die $x$-Koordinate der Kostenkehre ist positiv.
• Die Kostenfunktion ist links der Kostenkehre degressiv (negative Krümmung) und rechts der Kostenkehre progressiv (positive Krümmung).

Meistens wird für die ertragsgesetzliche Kostenfunktion eine kubische Funktion verwendet, da diese u. a. durch ihre einfach zu bestimmende Ableitung gewisse Vorteile bringt. Es wären jedoch grundsätzlich auch andere Funktionstypen denkbar.

Beispiel 4

Es soll nachgewiesen werden, dass es sich bei der Kostenfunktion $K(x)=0{,}1x^3-3x^2+40x+300$ um eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion handelt. Dazu werden die vier oben genannten Punkte überprüft:

• Die Fixkosten betragen 300 GE und sind somit positiv.
• Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn die erste Ableitung überall positiv ist. Es gilt $K'(x)=0{,}3x^2-6x+40$. Weil die Diskriminante $6^2-4\cdot 40\cdot 0{,}3$ negativ ist, besitzt diese quadratische Funktion keine Nullstellen. Außerdem ist $K'(0)=40$. Weil die Ableitung der Kostenfunktion an einer Stelle positiv ist, stetig ist und keine Nullstellen besitzt, muss die Steigung somit überall positiv sein. Daher ist die Kostenfunktion streng monoton steigend. Alternativ dazu könnte man in GeoGebra NLöse(K'(x)>0) eingeben. Erhält man eine wahre Aussage, so ist die Eigenschaft ebenfalls nachgewiesen.
• Die Kostenkehre liegt bei 10 ME. Dies erhält man durch Lösen der Gleichung $K''(x)=0$ (mehr dazu in diesem Kapitel: Kostenkehre). Somit ist die dritte Eigenschaft ebenfalls erfüllt.
• Es gilt $K''(x)=0{,}6x-6$. Man erhält $K''(9)=-0{,}6$ und $K''(11)=0{,}6$. Somit ist die Kostenfunktion auf der linken Seite der Kostenkehre degressiv und auf der rechten Seite progressiv.

Da alle vier Eigenschaften erfüllt sind, handelt es sich um eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion.

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