Gewinnfunktion

Dieses Kapitel stellt eine Verbindung zwischen Kosten- und Preistheorie dar. Es wird hier vorausgesetzt, dass alle produzierten Waren auch tatsächlich verkauft werden. In diesem Fall erhält man die Erlösfunktion $E(x)$, indem man die Produktionsmenge $x$ mit der Preisfunktion der Nachfrage $p_N(x)$ multipliziert: \begin{equation*} E(x)=x\cdot p_N(x) \end{equation*} Subtrahiert man von der Erlösfunktion die Kostenfunktion, so erhält man die Gewinnfunktion $G(x)$. Diese ordnet jeder Produktionsmenge den erwirtschafteten Gewinn zu. \begin{equation*} G(x)=E(x)-K(x) \end{equation*} Der Graph der Gewinnfunktion sieht im Wesentlichen folgendermaßen aus. Die Details hängen davon ab, welche Funktionstypen für die Kostenfunktion und für die Erlösfunktion verwendet wurden. Nachfolgend werden die einzelnen Kennzahlen erklärt:

• $x_u$ ... Hierbei handelt es sich um die untere Gewinngrenze (auch Break-Even-Point bzw. Gewinnschwelle genannt). Dies ist jene Produktionsmenge, ab welcher erstmals ein Gewinn vorliegt.
• $x_o$ ... Die obere Gewinngrenze entspricht der größtmöglichen Produktionsmenge, welche keinen Verlust erzielt.
• $[x_u,x_o]$ ... Dieses Intervall bezeichnet man als Gewinnzone bzw. Gewinnbereich. Für Produktionsmengen aus diesem Intervall liegt ein Gewinn vor.
• $x_C$ ... Die Cournotsche Menge (auch gewinnmaximierende Menge genannt) gibt an, bei welcher Produktionsmenge der höchste Gewinn erzielt wird. Den zugehörigen Gewinn $G(x_C)$ bezeichnet man als Gewinnmaximum.

Die Grenzen $x_u$ und $x_o$ der Gewinnzone können einerseits durch Lösen der Gleichung $G(x)=0$ berechnet werden. Alternativ dazu kann auch die Gleichung $E(x)=K(x)$ gelöst werden. Die Cournotsche Menge $x_C$ kann durch lösen von $G'(x)=0$ bzw. $E'(x)=K'(x)$ bestimmt werden. Benannt wurde sie nach dem französischen Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler Antoine-Augustin Cournot (1801–1877). Analog zur Grenzkostenfunktion entspricht die Grenzgewinnfunktion der ersten Ableitungsfunktion von $G(x)$. Mit dieser Funktion kann näherungsweise berechnet werden, um wie viel sich der Gewinn verändert, wenn die Produktionsmenge um eine Mengeneinheit erhöht wird.

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