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Reihenfolge der Rechenoperationen
Bisher wurden nur einzelne Rechenoperationen behandelt. In diesem Abschnitt wird erklärt, wie man vorgeht, wenn mehrere Rechenoperationen hintereinander ausgeführt werden sollen. In diesem Zusammenhang werden Addition und Subtraktion häufig unter dem Begriff „Strichrechnung“ zusammengefasst und Multiplikation und Division werden als „Punktrechnung“ bezeichnet. Insgesamt gelten folgende Regeln:
- Es wird immer zuerst der Wert der innersten Klammer berechnet.
- Punktrechnungen werden immer vor Strichrechnungen durchgeführt.
- Bei mehreren gleichwertigen Rechenoperationen (z. B. mehrere Punktrechnungen) wird immer zuerst links begonnen.
- Kommen Potenzen vor, so müssen diese als erstes berechnet werden (noch vor Punktrechnungen).
Beispiel 1
Es soll das Ergebnis von $23-17-900:60:3$ ermittelt werden.
Grundsätzlich werden zuerst die Punktrechnungen (also hier die Divisionen) ausgeführt. Da zwei Divisionen aufeinanderfolgen, wird links begonnen:
\begin{equation}
23-17-900:60:3=23-17-15:3=23-17-5
\end{equation}
Nun werden die Strichrechnungen (in diesem Fall die beiden Subtraktionen) ausgeführt, wobei erneut links begonnen wird:
\begin{equation}
23-17-5=6-5=1
\end{equation}
Beispiel 2
Es soll das Ergebnis von $(17 + 3\cdot (-2)-(-5)) : ((-4)\cdot (-3)-4)$ ermittelt werden.
Es wird innerhalb der Klammern begonnen, wobei hier zuerst die Punktrechnungen ausgeführt werden. Außerdem kann $-(-5)$ durch $+5$ ersetzt werden.
\begin{equation}
(17 + 3\cdot (-2)-(-5)) : ((-4)\cdot (-3)-4)=(17-6+5):(12-4)
\end{equation}
Als Nächstes werden innerhalb der Klammern alle Strichrechnungen durchgeführt bis in jeder Klammer nur noch eine einzelne Zahl übrig ist. Zuletzt wird die Division durchgeführt.
\begin{equation}
(17-6+5):(12-4)=(11+5):8=16:8=2
\end{equation}
Im Zusammenhang mit Klammern kann in bestimmten Fällen auch das Distributivgesetz verwendet werden. Dieses lautet folgendermaßen:
\begin{equation*}
a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c
\end{equation*}
Dieses Gesetz ist aber nur im Zusammenhang mit Variablen wichtig. Für ganze Zahlen ist es praktischer, zuerst die Summe innerhalb der Klammer zu berechnen und anschließend die Multiplikation durchzuführen.
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