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Multiplikation und Division
Die Komponenten der Multiplikation und der Division werden folgendermaßen genannt:
  • Multiplikation:  Faktor $\cdot $ Faktor $=$ Produkt
  • Division:  Dividend $:$ Divisor $=$ Quotient
Anstelle der Bezeichnung „Faktor“ werden gelegentlich auch die Bezeichnungen „Multiplikand“ (jene Zahl, die vervielfacht wird) und „Multiplikator“ (die Anzahl der Vervielfachungen) verwendet. Diese gehen auf die unterschiedlichen Bedeutungen der beteiligten Zahlen ein, haben jedoch aus mathematischer Sicht keine Relevanz.
Häufig werden Dividend und Divisor verwechselt. Hier kann man sich merken, dass sie in alphabetischer Reihenfolge stehen, wobei man auf den fünften Buchstaben achten muss (D ist im Alphabet vor S).
Rechenregeln
Es gelten die folgenden Rechenregeln: \begin{eqnarray*} (+a)\cdot (+b) &=& +a\cdot b \\ (+a)\cdot(-b) &=& -a\cdot b \\ (-a)\cdot(+b) &=& -a\cdot b\\ (-a)\cdot(-b) &=& +a\cdot b \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} (+a): (+b) &=& +a: b \\ (+a):(-b) &=& -a: b \\ (-a):(+b) &=& -a: b\\ (-a):(-b) &=& +a: b \end{eqnarray*} Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass das Ergebnis einer Multiplikation bzw. Division zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen positiv ist. Stimmen die Vorzeichen nicht überein, so ist das Ergebnis negativ.
Sind beide Vorzeichen gleich, dann ist das Ergebnis positiv. Ansonsten ist es negativ.
Analog zur Addition gelten auch für die Multiplikation das Kommutativ- und das Assoziativgesetz, also $a\cdot b=b\cdot a$ und $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. Für die Division gelten diese beiden Gesetze nicht, was sich durch folgende Beispiele zeigen lässt:
Beispiel 1
Dieses Beispiel soll zeigen, dass die Division von ganzen Zahlen nicht kommutativ ist:
  1. $12:6=2$
  2. $6:12=\tfrac{1}{2}$
Beispiel 2
Dieses Beispiel soll zeigen, dass die Division von ganzen Zahlen nicht assoziativ ist:
  1. $(24:6):2=4:2=2$
  2. $24:(6:2)=24:3=8$
In Beispiel 1 ist eine weitere Eigenschaft ersichtlich: Die Division ist die einzige der vier Grundrechenarten, welche für die Menge der ganzen Zahlen nicht abgeschlossen ist. Das bedeutet, dass es vorkommen kann, dass der Quotient zweier ganzer Zahlen selbst keine ganze Zahl ist (sondern eine rationale Zahl).
Die Menge der ganzen Zahlen ist bezüglich Addition, Multiplikation und Subtraktion abgeschlossen – nicht jedoch bezüglich der Division.
Division durch Null
Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Beispielsweise ist $10:2=5$ und daher ist $5\cdot 2=10$. Das funktioniert problemlos, solange der Divisor nicht 0 ist. Denn bei der Rechnung $10:0$ würde man sich die folgende Frage stellen: „Welche Zahl mal 0 ergibt 10?“
Auf diese Frage gibt es jedoch keine Antwort, denn 0 ergibt multipliziert mit jeder beliebigen Zahl immer 0. Es gibt also keine Möglichkeit, um aus der Zahl 0 die Zahl 10 zu erhalten. Daher ist die Division durch 0 nicht definiert.
Würde man eine Division durch 0 zulassen, so würde dies zu Widersprüchen führen. Dies wird im folgenden Beispiel verdeutlicht:
Beispiel 3
\begin{eqnarray} 4-4 &=& 4-4 \\ 2\cdot (2-2) &=& (2+2)\cdot (2-2)\\ 2 &=& (2+2)\\ 2 &=& 4 \end{eqnarray} Von der ersten zur zweiten Zeile wurde links 2 herausgehoben und rechts die dritte binomische Formel verwendet. Um von der zweiten auf die dritte Zeile zu kommen, wurde auf beiden Seiten durch $(2-2)$ dividiert. Wegen $2-2=0$ handelte es sich hier um eine Division durch Null, was letztendlich zu einer falschen Aussage führte.
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