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Logistische Funktion
Ein weiteres Wachstumsmodell, welches die Exponentialfunktion als Grundlage verwendet, ist das sogenannte logistische Wachstum. Hierbei nähert sich der Funktionswert (wie bereits beim beschränkten Wachstum) einer vorgegebenen Grenze beliebig an. Der Unterschied ist jedoch folgender: Beim beschränkten Wachstum ist die Zunahme bzw. Abnahme proportional zum Abstand von der Schranke, d. h. je weiter der Funktionswert noch von der Schranke entfernt ist, umso schneller steigt bzw. sinkt er. Beim logistischen Wachstum ist die Zunahme einerseits ebenfalls proportional zum Abstand von der Schranke aber andererseits auch proportional zum aktuellen Funktionswert. Das bedeutet, der Anstieg ist zunächst sehr flach (weil der Funktionswert zu Beginn noch klein ist) und auch am Ende ist er wieder flach (weil hier der Abstand zur Schranke immer kleiner wird). In der Mitte steigt die Funktion am steilsten.
Beschrieben wird das logistische Wachstum durch folgende Funktionsgleichung:
$$f(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t}$$
In dieser Formel sind $S$ die Schranke bzw. die Sättigungsmenge und $c$ wird durch folgende Formel ermittelt, wobei $N_0$ für den Anfangswert steht:
$$c=\frac{S-N_0}{N_0}=\frac{\mathrm{Anfangsabstand}}{\mathrm{Anfangswert}}$$
Der Funktionsgraph von logistischen Funktionen sieht folgendermaßen aus:
Beispiele für logistisches Wachstum:
- Populationsgröße (zuerst kleiner Anstieg, weil nur wenige Lebewesen für die Vermehrung zur Verfügung stehen – später kleiner Anstieg, weil die Ressourcen wie beispielsweise Platz bzw. Nahrung knapp werden)
- Verkaufsanzahl eines Produktes (zuerst kleiner Anstieg, weil das Produkt unbekannt ist – später kleiner Anstieg, weil es alle Interessenten bereits gekauft haben)
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