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Interaktive Aufgaben zu Wachstums- und Abnahmeprozessen


Interaktive Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können die Lösungen ausgeklappt werden. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf diese Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden, da beim erneuten Laden der Seite neue Zahlen verwendet werden. Einzelne interaktive Aufgaben können aufgerufen werden, indem im Suchfeld rechts oben @X eingegeben wird, wobei X für die Aufgabennummer steht.

Mathematischer Hintergrund

Wachstums- und Abnahmeprozesse können durch eine Vielzahl verschiedener Funktionstypen modelliert werden. Häufig kommen lineare Funktionen, Exponentialfunktionen, beschränkte Funktionen und logistische Funktionen zum Einsatz.

Anwendungsgebiete

Mit linearen Funktionen können Vorgänge beschrieben werden, bei denen der Zuwachs bzw. die Abnahme in gleichen Zeitintervallen konstant ist (z. B. Füllprozesse). Außerdem werden einige komplexe Sachverhalte für einen kleineren Zeitabschnitt durch eine lineare Funktion angenähert (z. B. Bevölkerungswachstum). Exponentiells Wachstum kommt u. a. bei Zinseszinsen sowie beim Wachstum von Bevölkerungen zum Einsatz. In der Physik gibt es zahlreiche Anwendungen für exponentielle Abnahmen (z. B. radioaktiver Zerfall, Intensität von Licht in Wasser, Entladen eines Kondensators). Nähert sich die Temperatur eines Objektes der Umgebungstemperatur an, so liegt ein beschränktes Wachstum bzw. eine beschränkte Abnahme vor. Logistische Funktionen kommen beispielsweise beim Wachstum von Populationen mit stark beschränkten Ressourcen (Fischteich, Insel) zum Einsatz.

1. Lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse

Aufgabe 265: Eine 15.8 cm große Kerze wird angezündet und schmilzt pro Minute um 0.67 Millimeter. Gib die Funktionsgleichung der linearen Funktion $h(t)$ an, welche die Höhe $h$ der Kerze (in Zentimeter) in Ab­hän­gig­keit von der Zeit $t$ (in Minuten nach dem Anzünden) beschreibt.

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Aufgabe 542: Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Um 13:12 Uhr betrug der Wasserstand 49 cm. Um 16:33 Uhr betrug er 1.1 m. Zu welcher Uhrzeit wird die vollständige Füllhöhe von 1.64 m erreicht sein? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an.

Uhrzeit: [0]

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Aufgabe 545: Die Bevölkerung Brasiliens wächst seit 1950 annähernd linear. Im Jahr 2000 lebten dort ca. 176 Mio. Menschen. Im Jahr 2015 waren es etwa 208 Mio. Menschen. Wie groß wird die Einwohnerzahl im Jahr 2031 sein, wenn man annimmt, dass weiterhin ein lineares Wachstum vorliegt?

Einwohnerzahl im Jahr 2031: [1] Mio. Einwohner

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Aufgabe 550: Eine aktuell 14.4 cm dicke Schneeschicht schmilzt pro Stunde um 10 mm.

a) Wie dick wird die Schneeschicht nach 4 Stunden noch sein?
Dicke: [2] cm
b) Nach wie vielen Stunden wird der Schnee vollständig geschmolzen sein?
Zeit: [2] h

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Aufgabe 554: Eine Kerze brennt pro Stunde 2.3 cm nieder. Zu Beginn ist sie 28 cm hoch. Nach welcher Zeit ist die Kerze nur noch 10 cm hoch, wenn man von einem linearen Zusammenhang ausgeht?

Dauer: [2] h

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Aufgabe 555: Bei einem vom Boden wachsenden Tropfstein wurde vor 19 Jahren eine Höhe von 0.84 m gemessen. Heute ist der Tropfstein 1.04 m hoch. Wie hoch wird der Tropfstein in 15 Jahren sein, wenn man von einem linearen Wachstum ausgeht?

Prognose: [2] m

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2. Lineare Funktion vs. Exponentialfunktion

Aufgabe 326: Im Jahr 2000 hatte Mexiko 100,35 Mio. Einwohner. Zehn Jahre später waren es 112,32 Mio. Einwohner.

a) Wie viele Menschen leben unter der Annahme eines linearen Bevölkerungswachstums voraussichtlich im Jahr 2058 in Mexiko?
Ergebnis: [2] Mio. Einwohner
b) Wie viele Menschen leben unter der Annahme eines exponentiellen Bevölkerungswachstums voraussichtlich im Jahr 2058 in Mexiko?
Ergebnis: [2] Mio. Einwohner

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Aufgabe 335: Gib jeweils an, ob es sich um einen linearen oder um einen exponentiellen Zusammenhang handelt.

Das Taschengeld wird jährlich um 10 Euro erhöht.
Die Bakterienkultur wächst alle 20 Minuten um 10 %.
Das Kapital wird jedes Quartal mit 0,5 % verzinst.
Der Wasserstand sinkt nach jeweils 15 Minuten um 5 cm.
Die Umfragewerte einer Partei stiegen heuer pro Monat um 2 Prozentpunkte.

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Aufgabe 549: Gib jeweils an, ob es sich um ein lineares oder um ein exponentielles Bevölkerungswachstum handelt.

Die Bevölkerung wächst jährlich um ca. 50 000 Einwohner.
Die Bevölkerung wächst jährlich um ca. 1,3 %.
Die Bevölkerung verdoppelt sich alle 70 Jahre.
Pro Jahrhundert steigt die Bevölkerung um ca. 1 Mio. Einwohner.

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Aufgabe 553: Gib jeweils an, ob es sich um einen linearen oder um einen exponentiellen Zusammenhang handelt.

Der Umsatz eines Unternehmens steigt pro Jahr um 20 %.
Ein menschliches Haar wächst pro Tag um 0,05 mm.
Der Wasserstand der Donau steigt pro Stunde um 2 cm.
Die Anzahl an Bakterien verdreifacht sich alle fünf Stunden.

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Aufgabe 1029: Nachfolgend sind für vier Länder die Wachstumsfunktionen der Einwohnerzahlen gegeben. Dabei ist $E(t)$ die Einwohnerzahl (gemessen in Millionen Einwohnern) und $t$ die Zeit (gemessen in Jahren ab 2000). Beschreibe jeweils anhand eines vollständigen Satzes, wie sich die Einwohnerzahl gemäß dieser Funktionen jährlich verändert!

a) $E(t)=40.8 \cdot 1.0155^t$

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b) $E(t)=1.27t+92.45$

0/1000 Zeichen
c) $E(t)=26.8$

0/1000 Zeichen
d) $E(t)=27.4\cdot 0.9829^t$

0/1000 Zeichen

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3. Exponentielles Wachstum

Aufgabe 6: Die Einwohnerzahlen zweier Länder können durch folgende Exponentialfunktionen bestimmt werden:

  ▪ $E_1(t)=20.71 \cdot 1.0068 ^t$
  ▪ $E_2(t)=17.53 \cdot 1.0122 ^t$
Dabei wird $t$ in Jahren und die Einwohnerzahlen in Millionen gemessen.
a) In wie vielen Jahren (beginnend ab $t=0$) haben beide Länder gleich viele Einwohner?
Ergebnis: [1] Jahre
b) Wie viele Einwohner leben dann in jedem der beiden Länder?
Ergebnis: [1] Mio. Einwohner

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Aufgabe 351: Die Volksrepublik China hatte im Jahr 2000 genau 1 268 853 362 Einwohner. Im Jahr 2010 waren es 1 339 724 852. Indien hatte 2000 ungefähr 1 014 003 800 Einwohner und im Jahr 2017 ca. 1 339 180 000. Berechne durch handschriftliche Rechnung anhand dieser Zahlen und der Annahme eines exponentiellen Bevölkerungswachstums, wann Indien mehr Einwohner als China haben wird bzw. hatte.

Ergebnis:

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Aufgabe 1022: Herr Müller weiß aufgrund der Analyse der Vorjahre, dass sich der Holzbestand seines Waldes jährlich um 1.68 % vermehrt. Der aktuelle Bestand beträgt 426 a.

a) Erstelle eine Funktionsgleichung, welche den Holzbestand in Abhängigkeit der Jahre (beginnend ab jetzt) beschreibt.
Funktionsgleichung:
b) In wie vielen Jahren wird ein Holzbestand von 45800 m³ erreicht sein?
Dauer: [1] Jahre

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4. Radioaktivität

Aufgabe 917: Es soll ein Atomschutzbunker aus Beton gebaut werden. Dabei ist bekannt, dass sich die Intensität von Gammastrahlung in Beton nach jeweils 6 cm halbiert.

a) Bestimme bei der Exponentialfunktion $I(x)=I_0 \cdot a^x$ den Parameter $a$, sodass die entstehende Funktion die Intensität der Gammastrahlung nach $x$ cm Beton beschreibt.
Parameter $a$: [4]
b) Wie dick muss die Betonwand mindestens sein, damit nur noch 0.5 % der Strahlung durchgelassen werden?
Dicke: [2] cm

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Aufgabe 931: Die Zerfallsfunktion des radioaktiven Polonium-Isotops $^{210}$Po lautet $N(t)=N_0\cdot e^{-0{,}005\cdot t}$ wobei $t$ die Zeit in Tagen ist.

a) Wandle die Funktionsgleichung ohne Computereinsatz in die Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ um und interpretiere den Wert des Parameters $a$ im Sachzusammenhang. Gib den Rechenweg an.
Ergebnis und Interpretation (inkl. Rechenweg):
b) Berechne die Halbwertszeit dieses Isotops anhand der vorliegenden Daten.
Halbwertszeit: [2] Tage

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Aufgabe 952: Bei Grabungen wurde ein menschliches Skelett entdeckt. Messungen haben ergeben, dass die Menge des radioaktiven Kohlenstoffisotops 14C nur noch 45.1 % jener eines lebenden Menschen entspricht. Die Halbwertszeit von 14C beträgt 5730 Jahre. Berechne, vor wie vielen Jahren dieser Mensch gestorben ist.

Ergebnis: [0] Jahre

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Aufgabe 1034: Die Strahlungsintensität eines bestimmten radioaktiven Stoffes nimmt pro Stunde um 1.4 % ab. Bestimme die Halbwertszeit dieses Stoffes in Tagen.

Halbwertszeit: [2] Tage

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5. Weitere exponentielle Abnahmeprozesse

Aufgabe 953: An der Wasseroberfläche werden 17 % des Sonnenlichts gespiegelt. In einer Tiefe von 40 m sind noch 31 % des auf die Wasseroberfläche auftreffenden Sonnenlichts vorhanden. Um wie viel Prozent nimmt die Intensität des Sonnenlichts pro Meter ab, wenn innerhalb des Wassers eine exponentielle Abnahme vorliegt?

Abnahme pro Meter: [2] %

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6. Logistisches Wachstum

Aufgabe 9: In einem neu angelegten Teich werden 60 Fische ausgesetzt. Nach 4 Jahren sind es bereits 323 Fische. Es wird geschätzt, dass die Populationsobergrenze bei 1250 Fischen liegt.

a) Erstelle eine logistische Funktion, welche die Fischpopulation $N$ in Abhängigkeit der Jahre $t$ nach dem Aussetzen beschreibt: $$N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t}$$ $S=$ [0], $c=$ [2], $a=$ [4]
b) Wie viele Fische wird es in 10 Jahren geben? [0] Fische
c) Wie viele Jahre nach dem Aussetzen werden 92 % der Populationsobergrenze erreicht sein? [1] Jahre

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7. Vermischte Aufgaben

Aufgabe 7: In einem bestimmten See nimmt die Intensität des Sonnenlichtes pro Meter um 12.9 % ab.

a) Die tiefste Stelle des Sees liegt 16.2 m unter der Wasseroberfläche. Welcher Anteil des Sonnenlichtes erreicht diese Stelle? [2] %
b) In welcher Tiefe beträgt die Sonnenlichtintensität nur noch 50 % des Wertes an der Wasseroberfläche? [2] m

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Aufgabe 356: Ein Blatt Papier kann nur ca. sieben Mal in der Mitte gefaltet werden. Je nach Art des Papiers kann es kleine Abweichungen geben.

a) Wie oft müsste man ein 0.15 mm dickes Blatt Papier mindestens falten, damit der entstehende „Turm“ höher als 1 m ist?
Ergebnis: mind. [0] Faltungen
b) Wie dick wäre der „Turm“, wenn das Blatt 37 Mal gefaltet wird?
Ergebnis: [0] km
c) Recherchiere im Internet nach einer vergleichbaren Größe aus der Realität, um sich das Ergebnis von Aufgabe b) besser vorstellen zu können.

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Aufgabe 556: Die beiden Tanks A und B sind am Boden durch einen Schlauch verbunden. Zu Beginn ist Tank A vollständig mit Öl gefüllt und Tank B ist leer. Öffnet man das Ventil, so fließt so lange Öl aus Tank A in Tank B, bis beide Tanks gleich hoch gefüllt sind. Die Füllhöhe der beiden Tanks (in Meter) lässt sich während dieses Vorgangs durch die Funktionen $h_A(t) = 1.79 - 0.07t$ und $h_B(t) = 0.13t$ beschreiben, wobei $t$ die Zeit in Minuten nach dem Öffnen ist.

a) Wie hoch ist der Ölstand zu Beginn in Tank A?
Höhe: [2] m
b) Berechne, nach welcher Zeit die Füllhöhe in beiden Tanks ausgeglichen ist.
Dauer: [2] min
c) Wie lautet am Ende der Füllstand beider Tanks?
Höhe: [2] m

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Aufgabe 561: Es sollen 5200 € zu einem fixen jährlichen Zinssatz angelegt werden. Wie groß müsste dieser Zinssatz sein, damit nach 10 Jahren 8000 € vorhanden sind? Rechne mit theoretischer Verzinsung.

Zinssatz: [3] %

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