Impressum · Datenschutz
© 2016 – 2020 MATHE.ZONE
© 2016 – 2020  MATHE.ZONE · Impressum · Datenschutz      

Interaktive Aufgaben zur Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck


Interaktive Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können die Lösungen ausgeklappt werden. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf diese Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden, da beim erneuten Laden der Seite neue Zahlen verwendet werden. Einzelne interaktive Aufgaben können aufgerufen werden, indem im Suchfeld rechts oben @X eingegeben wird, wobei X für die Aufgabennummer steht.

Mathematischer Hintergrund

In der Trigonometrie werden zusätzlich zu den diversen geometrischen Formeln des rechtwinkligen Dreiecks (Flächeninhalt, Satz des Pythagoras, ...) die sogenannten trigonometrischen Funktionen (auch Winkelfunktionen genannt) verwendet. Die wichtigsten drei Winkelfunktionen sind der Sinus, der Kosinus und der Tangens. Mit Hilfe der Winkelfunktionen kann aus einem gegebenen Winkel und einer gegebenen Seitenlänge eine weitere Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet werden. Unter Verwendung der Umkehrfunktionen (diese werden als Arkusfunktionen bezeichnet) kann aus zwei vorgegebenen Seitenlängen ein Winkel des Dreiecks berechnet werden.

1. Vermischte Aufgaben

Aufgabe 141: Vom nachfolgend abgebildeten rechtwinkligen Dreieck sind die Abmessungen $x=37$ cm und $z=9.1$ dm bekannt. Berechne die gesuchten Größen. Achte auf die Einheiten! Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.

Flächeninhalt $A$: [2] cm²
Winkel $\omega$: [2] Grad
Höhe $t$: [2] cm

Lösung: ausklappen

Aufgabe 142: Von einem Deltoid sind die beiden Seitenlängen $a=36$ mm und $b=88$ mm sowie der Winkel $\gamma=38\,^\circ$ bekannt. Berechne die gesuchten Größen. Achte auf die Einheiten! Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.

Flächeninhalt $A$: [2] cm²
Winkel $\alpha$: [2] Grad
Winkel $\beta$: [2] Grad

Lösung: ausklappen

Aufgabe 343: Ein PKW mit der Gewichtskraft $F_G=1.37\,\mathrm{kN}$ fährt eine Straße mit einer Steigung von 16 % hinauf. Dabei zieht ihn die Hangabtriebskraft $F_T$ parallel zur Straße nach unten und die Normalkraft $F_N$ drückt ihn im rechten Winkel gegen die Straße.

a) Berechne den Steigungswinkel.
Steigungswinkel: [2] °
b) Zeichne eine aussagekräftige Skizze des Sachverhalts. Trage alle Kräfte sowie den bekannten Winkel ein.
Skizze:
c) Wie groß ist die Hangabtriebskraft, welche ihn parallel zur Straße nach unten zieht?
Hangabtriebskraft: [2] kN
d) Wie groß ist die Normalkraft, welche ihn gegen die Straße drückt?
Normalkraft: [2] kN

Lösung: ausklappen

Aufgabe 359: Beim Parasailing soll sich die Person aus Sicherheitsgründen höchstens 10 m über dem Wasser befinden. Was ist der maximale Steigungswinkel der Leine, wenn diese eine Länge von 60 m hat?

Maximaler Steigungswinkel: [2] °

Lösung: ausklappen

Aufgabe 363: Die sogenannte „Streif“ (die Abfahrtspiste in Kitzbühel) hat eine horizontale Streckenlänge von 3312 m. Der Start befindet sich in einer Höhe von 1665 m und das Ziel in einer Höhe von 805 m.

a) Berechne das durchschnittliche Gefälle in Prozent.
Ergebnis: [2] %
b) Berechne den durchschnittlichen Steigungswinkel.
Ergebnis: [2] °
c) An der steilsten Stelle, der sogenannten Mausefalle, beträgt das Gefälle 85 %. Welchem Winkel entspricht das?
Ergebnis: [2] °

Lösung: ausklappen

Aufgabe 364: Eine Bahnstrecke hat eine Steigung von 1:395.

a) Gib diese Steigung in Prozent an und berechne den zugehörigen Steigungswinkel.
Steigung in Prozent: [3] %
Steigungswinkel: [3] °
b) Welcher Höhenunterschied wird auf einer horizontalen Entfernung von 3 km überwunden?
Höhenunterschied: [2] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 365: Ein Turm wirft auf einem ebenen Feld einen 23 m langen Schatten. Die Sonnenhöhe beträgt 45°. Wie hoch ist der Turm?

Höhe: [1] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 458: Zwei Kräfte $F_1= 3.21\,\textrm{kN}$ und $F_2 = 5.09\,\textrm{kN}$ stehen normal (im rechten Winkel) aufeinander.

a) Berechne die resultierende Kraft $F_R$.
Resultierende Kraft: [2] kN
b) Berechne den Winkel zwischen $F_1$ und $F_R$.
Winkel: [2] °

Lösung: ausklappen

Aufgabe 459: Eine Kraft von 727 N wirkt in einem Winkel von 29° (gemessen zur Horizontalen). Berechne die horizontale und die vertikale Komponente dieser Kraft.

horizontale Komponente: [2] N
vertikale Komponente: [2] N

Lösung: ausklappen

Aufgabe 460: Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 14 cm und 27 cm. Berechne den spitzen Winkel, den die beiden Diagonalen einschließen.

Winkel: [2] °

Lösung: ausklappen

Aufgabe 521: Über eine 4.86 km lange Bergstraße wird ein um 336 m höher gelegener Ort erreicht.

a) Berechne die durchschnittliche Steigung dieser Straße in Prozent.
Ergebnis: [2] %
b) Berechne den durchschnittlichen Steigungswinkel.
Ergebnis: [2] °

Lösung: ausklappen

Aufgabe 578: Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel α = 47° und dem Flächeninhalt A = 55 cm². Berechne die Länge der drei Seiten. Erstelle ein Bild des vollständigen und nachvollziehbaren Lösungsweges.

Ergebnisse (inkl. Lösungsweg):

Lösung: ausklappen

Aufgabe 589: Valentin befindet sich 188 m von einem Turm entfernt (horizontal gemessen). Er steht auf einem kleinen Hügel und sieht von dort aus die Turmspitze unter einem Höhenwinkel von 9.5° und den Fußpunkt des Turms unter einem Tiefenwinkel von 2.6°.

a) Erstelle eine vollständig beschriftete Skizze.
Skizze:
b) Berechne die Höhe des Turms.
Höhe des Turms: [1] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 592: Mit einer horizontal gemessen 5.3 m langen Rollstuhlrampe wird eine Höhendifferenz von 43 cm überwunden. Berechne den Steigungswinkel der Rampe.

Steigungswinkel: [2] °

Lösung: ausklappen

Aufgabe 622: Bei einem Sturm wurde ein Baum in einer bestimmten Höhe abgeknickt. Die Spitze des Baumes berührt den Boden horizontal gemessen 8 m entfernt vom Baumstamm. Der Winkel zwischen dem abgeknickten Teil des Baumstamms und dem Boden beträgt 34°. Berechne, wie hoch der Baum war.

Höhe des Baumes: [2] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 647: Der Steigungswinkel einer Rollstuhlrampe ist auf 4.7° festgelegt. Die Höhe der Rampe soll 79 cm betragen. Welche horizontale Länge muss die Rampe haben?

Ergebnis: [2] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 688: Auf einem Spielplatz soll eine gerade Rutsche errichtet werden, welche eine Höhe von 5 m aufweist. Aus Sicherheitsgründen soll der Winkel zur Horizontalen nur 20° betragen. Berechne die Länge des für die Rutsche notwendigen Materials.

Länge: [2] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 691: Ein Gebäude wirft einen 42.9 m langen Schatten (beginnend bei der höchsten Stelle des Gebäudes). Die Sonnenstrahlen haben einen Einfallswinkel von 33° (gemessen zur Horizontalen). Berechne die Höhe des Gebäudes.

Ergebnis: [0] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 710: Gegeben ist die unten abgebildete geometrische Figur (nicht maßstabsgetreu). Man kennt die Seitenlängen $c = 64\, \mathrm{cm}$ und $d = 111 \,\mathrm{cm}$ sowie den Winkel $\alpha = 72 °$.

a) Bestimme den Umfang der Figur!
Umfang: [2] cm
b) Bestimme den Flächeninhalt der Figur!
Flächeninhalt : [2] cm²

Lösung: ausklappen

Aufgabe 740: Eine Leiter wird an eine Wand gelehnt, sodass sie mit dem Boden einen Winkel von 83° einschließt. Sie ist am Boden 1.03 m von der Wand entfernt. Wie lang ist die Leiter und in welcher Höhe berührt sie die Wand?

Länge der Leiter: [2] m
erreichte Höhe: [2] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 741: Die Schnur eines Papierdrachens schließt mit dem ebenen Boden einen Winkel von 73° ein und ist 57 m lang. In welcher Höhe fliegt der Drache?

Höhe: [2] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 754: Vom Dach eines 30.7 m hohen Turms sieht man die Ufer eines Flusses unter den Tiefenwinkeln 17.4° und 13°.

a) Zeichne eine aussagekräftige Skizze dieses Sachverhalts inklusive aller Beschriftungen!
Skizze:
b) Wie weit ist der Turm vom näheren Flussufer entfernt?
Ergebnis: [1] m
c) Wie breit ist der Fluss?
Ergebnis: [1] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 755: Von der 150 m hoch gelegenen Aussichtsplattform des Wiener Donauturms sieht Kerstin ihr Wohnhaus unter einem Tiefenwinkel von 4.9°. Berechne unter Vernachlässigung der Krümmung der Erdoberfläche, wie weit entfernt sie vom Donauturm wohnt.

Entfernung: [2] km

Lösung: ausklappen

Aufgabe 801: Es soll die Höhe eines Turmes bestimmt werden. Dazu misst man den Winkel, unter welchem man vom Boden aus die Turmspitze sieht, von zwei Punkten A und B. Vom näher am Turm liegenden Punkt A wird ein Höhenwinkel von 4.2° gemessen. Der um 139 m weiter entfernt liegende Punkt B ergibt einen Winkel von 3.2°. Berechne die Höhe $h$ des Turms.

Ergebnis: [2] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 888: Ein gerader Straßenabschnitt ist laut einer Landkarte horizontal gemessen 740 m lang. Der Endpunkt liegt um 30 m höher als der Anfangspunkt. Berechne den Steigungswinkel des Straßenabschnitts.

Steigungswinkel: [2] °

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1017: Das Verkehrszeichen „Starke Steigung“ sieht folgendermaßen aus:

a) Gib an, welchem Steigungswinkel eine Steigung von 10 % entspricht!
Steigungswinkel: [2] °
b) Die im Verkehrsschild abgebildete Steigung ist deutlich größer als 10 %. Berechne bzw. argumentiere (abmessen alleine ist nicht ausreichend), wie groß der abgebildete Steigungswinkel tatsächlich ist. Das Verkehrszeichen entspricht einem gleichseitigen Dreieck und die schwarze und die weiße Fläche sind gleich groß.
Ergebnis (inkl. nachvollziehbarer Erklärung):

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1048: Stelle jeweils eine Formel auf, mit welcher der Flächeninhalt und der Umfang der abgebildeten Figur berechnet werden können. Verwende dazu ausschließlich die Variablen $a$, $b$ und $\gamma$. Vereinfache die Formeln möglichst weit.

Formel für den Flächeninhalt:
Formel für den Umfang:

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1063: Argumentiere, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist: „Eine Steigung von 100 % entspricht einem Steigungswinkel von 90 Grad.“

0/1000 Zeichen

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1064: Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Für die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks gilt allgemein $\sin(\alpha) = \cos(\beta)$.
Für die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks gilt allgemein $\tan(\alpha) = \tan(\beta)$.
Für die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks gilt allgemein $\tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) = 1$.
Es gilt allgemein $\tan(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $.
Es gilt allgemein $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

Lösung: ausklappen