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Interaktive Aufgaben zu natürlichen Zahlen


Interaktive Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können die Lösungen ausgeklappt werden. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf diese Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden, da beim erneuten Laden der Seite neue Zahlen verwendet werden. Einzelne interaktive Aufgaben können aufgerufen werden, indem im Suchfeld rechts oben @X eingegeben wird, wobei X für die Aufgabennummer steht.

Mathematischer Hintergrund

Ein zentraler Begriff der natürlichen Zahlen ist die Teilbarkeit. Mit den Teilbarkeitsregeln kann überprüft werden, ob eine bestimmte Teilbarkeit erfüllt wird. Primzahlen sind eine spezielle Teilmenge der natürlichen Zahlen, welche genau zwei Teiler besitzen, nämlich 1 und sich selbst. Weitere wichtige Begriffe sind der größte gemeinsame Teiler (kurz GGT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kurz KGV). Zu deren Berechnung wird häufig die Primfaktorzerlegung verwendet.

Anwendungsgebiete

Teilbarkeitsregeln sind nützlich, um Brüche zu kürzen. Das kleinste gemeinsame Vielfache kommt beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen zum Einsatz, um den gemeinsamen Nenner zu bestimmen.

1. Teilbarkeit

Aufgabe 198: Die Zahl 9503 ist durch 17 teilbar. Warum kann man mit dieser Information sofort sagen, dass die Zahl 9509 nicht durch 17 teilbar ist?

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Aufgabe 199: Die Zahl 6552 ist durch 7 teilbar. Warum kann man anhand dieser Information sofort erkennen, dass die Zahl 6559 auch durch 7 teilbar ist?

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Aufgabe 1054: Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Ist die Einerstelle einer Zahl entweder 3, 6 oder 9, so ist diese Zahl durch 3 teilbar.
Jede natürliche Zahl, die durch 15 teilbar ist, ist auch durch 30 teilbar.
Die Zahl 1623 ist durch 3 teilbar, weil ihre letzte Ziffer durch 3 teilbar ist.
Jede natürliche Zahl, die durch 35 teilbar ist, ist auch durch 7 teilbar.
Wenn die Zahl $n$ durch 19 teilbar ist, dann ist auch $n + 19$ durch 19 teilbar.

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Aufgabe 1195: Beantworte die folgenden Fragen und gib eine mathematisch korrekte Begründung. Ein Beispiel: „Ist 101 durch 3 teilbar?“ → „Nein, denn die Ziffernsumme von 101 ist 2, und 2 ist nicht durch 3 teilbar.“

a) Ist 59994 durch 4 teilbar?

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b) Ist 79811 durch 6 teilbar?

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c) Ist 12094 durch 9 teilbar?

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2. Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Aufgabe 10: Überprüfe, ob es sich bei den folgenden Zahlen um Primzahlen handelt. Schreibe 1 in das Feld, falls es eine Primzahl ist und 0, falls es keine Primzahl ist.

a) 87 [0]
b) 371 [0]
c) 1993 [0]

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Aufgabe 250: Ein bisher ungelöstes Problem der Mathematik ist die sogenannte Starke Goldbachsche Vermutung. Diese besagt, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann. Beispielsweise ist $18=13+5$. Oft gibt es auch mehrere Möglichkeiten. Die Zahl 18 könnte man ebenfalls als $11+7$ schreiben. Es wird vermutet, dass es für alle geraden Zahlen größer als 2 zumindest eine Möglichkeit gibt. Jedoch ist bisher kein allgemeiner Beweis für diese Aussage gelungen. Überprüfe die Vermutung für die Zahlen 60 und 302 indem du jeweils eine mögliche Summe von Primzahlen in die nachfolgende Textbox schreibst.

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Aufgabe 251: Ein bisher ungelöstes Problem der Mathematik ist die sogenannte Schwache Goldbachsche Vermutung. Diese besagt, dass jede ungerade Zahl größer als 5 als Summe dreier Primzahlen dargestellt werden kann. Beispielsweise ist $15=5+5+5$. Oft gibt es auch mehrere Möglichkeiten. Die Zahl 15 könnte man ebenfalls als $3+5+7$ schreiben. Es wird vermutet, dass es für alle ungeraden Zahlen größer als 5 zumindest eine Möglichkeit gibt. Jedoch ist bisher kein allgemeiner Beweis für diese Aussage gelungen. Überprüfe die Vermutung für die Zahlen 85 und 437 indem du jeweils eine mögliche Summe von Primzahlen in die nachfolgende Textbox schreibst.

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Aufgabe 1052: Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Alle Primzahlen sind ungerade.
Mehr als ein Drittel aller natürlichen Zahlen sind Primzahlen.
Weniger als die Hälfte aller natürlichen Zahlen sind Primzahlen.

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Aufgabe 1196: Bestimme die Primfaktorzerlegung von 2520 und gib einen vollständigen Rechenweg an.

Ergebnis (inkl. Rechenweg):

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3. GGT und KGV

Aufgabe 28: Bestimme jeweils den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache:

a) 432, 684
GGT: [0], KGV: [0]

b) 2940, 3500
GGT: [0], KGV: [0]

c) 19, 57, 76, 95
GGT: [0], KGV: [0]

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Aufgabe 844: Finde die kleinste sechsstellige natürliche Zahl, welche durch 9, 14 und 23 teilbar ist.

Ergebnis: [0]

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Aufgabe 1055: Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist höchstens so groß, wie die kleinere der beiden Zahlen.
Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist mindestens so groß, wie die kleinere der beiden Zahlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen ist höchstens so groß, wie die größere der beiden Zahlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen ist mindestens so groß, wie die größere der beiden Zahlen.
Das größte gemeinsame Vielfache von beliebig vielen natürlichen Zahlen kann nicht größer sein, als das Produkt all dieser Zahlen.
Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist immer ein Teiler des Abstandes dieser Zahlen.
Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen kann höchstens so groß sein, wie der Abstand dieser Zahlen.
Der größte gemeinsame Teiler zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer 1.
Der größte gemeinsame Teiler beliebiger natürlicher Zahlen ist immer ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen.

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4. Vermischte Aufgaben

Aufgabe 200: Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Das Produkt zweier gerader Zahlen ist gerade.
Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist gerade.
Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade.
Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade.

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Aufgabe 201: Die Primfaktorzerlegung der Zahl 27720 lautet $2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$. Begründe, wie man anhand dieser Information erkennen kann, dass die Zahl durch 33 teilbar ist.

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Aufgabe 202: Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Die Summe zweier gerader Zahlen ist gerade.
Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade.
Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade.

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Aufgabe 249: Ermittle die kleinste natürliche Zahl, die durch 18, 63 und 33 teilbar ist.

Ergebnis: [0]

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Aufgabe 259: Für eine natürliche Zahl $n$ ist die Fakultät $n!$ definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von $1$ bis $n$. Beispielsweise ist $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Begründe mathematisch korrekt, warum für jede natürliche Zahl $n\geq 5$ die letzte Ziffer von $n!$ immer $0$ ist.

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Aufgabe 279: Begründe, warum für jede natürliche Zahl gilt, dass das Quadrat dieser Zahl um 1 größer ist als das Produkt der beiden Nachbarzahlen. Beispielsweise ist $10^2 = 100$ und $9 \cdot 11 = 99$.

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Aufgabe 320: Multipliziert man eine beliebige Zahl mit 31, so hat das Ergebnis dieser Multiplikation dieselbe Einerstelle wie die ursprüngliche Zahl. Begründe, warum das so ist.

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Aufgabe 580: Als Paul 14 Jahre alt war, war sein Bruder halb so alt wie er. Heute ist Paul 29 Jahre alt. Wie alt ist sein Bruder heute?

Alter des Bruders: [0] Jahre

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Aufgabe 1056: Beantworte die folgenden Fragestellungen!

a) Was ist die größte Anzahl an positiven Teilern, die eine zweistellige Zahl haben kann?
[0]
b) Wie viele Primzahlen gibt es, die kleiner als 100 sind?
[0]
c) Wie lautet die kleinste natürliche Zahl mit genau 5 positiven Teilern?
[0]
d) Wie lautet die kleinste dreistellige Primzahl?
[0]

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Aufgabe 1057: Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer ungerade.
Die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer durch 3 teilbar.
Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer ungerade.
Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer durch 3 teilbar.

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