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Interaktive Aufgaben zur Matrizenrechnung


Interaktive Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können die Lösungen ausgeklappt werden. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf diese Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden, da beim erneuten Laden der Seite neue Zahlen verwendet werden. Einzelne interaktive Aufgaben können aufgerufen werden, indem im Suchfeld rechts oben @X eingegeben wird, wobei X für die Aufgabennummer steht.

1. Grundrechenarten

Aufgabe 321: Zeige anhand eines passenden Beispiels durch handschriftliche Rechnung, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist.

Ergebnis:

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Aufgabe 526: Erkläre, warum für $2\times 2$-Matrizen die binomische Formel $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ nicht allgemein gilt. Beschreibe außerdem, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit die binomische Formel verwendet werden kann.

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2. Inverse, Determinante und Transponierte

Aufgabe 60: Berechne das Ergebnis! $$\begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}-4 \cdot \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 6 & 13 \end{pmatrix}^\top=~...~= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

$a=$ [0]     $b=$ [0]     $c=$ [0]     $d=$ [0]

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Aufgabe 61: Bestimme die Determinante der folgenden Matrix! $$\begin{pmatrix} -4.2 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$$ Determinante: [2]

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Aufgabe 62: Berechne die Determinante der folgenden Matrix! $$\begin{pmatrix} 7 & -1 & 9 \\ -4 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 6 \end{pmatrix}$$ Determinante: [0]

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Aufgabe 527: Gegeben ist die folgende Matrix: $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -2 & 1 & 2\\ 4 & 4 & -2 \end{pmatrix}$$ Überprüfe, ob die folgende Matrix $B$ die inverse Matrix von $A$ ist und begründe deine Entscheidung. $$B=\begin{pmatrix} 5 & -2 & -2\\ -2 & 1 & 1\\ 6 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$

Überprüfung (inkl. Begründung):

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Aufgabe 581: Gegeben sind die folgenden beiden Matrizen: $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}~~~~~~~~~~~~~~~B=\begin{pmatrix} 5 & -2 & 3\\ -2 & 3 & 1\\ 3 & 2 & -5 \end{pmatrix}$$ Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

$\det(A) = 5$
$A$ ist nicht invertierbar.
$B$ ist die inverse Matrix von $A$.

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Aufgabe 760: Betrachte die folgende korrekte Matrizenrechnng und gib anschließend an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. $$ A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Es gilt $A=-B$.
$A$ ist die transponierte Matrix von $B$.
$B$ ist die inverse Matrix von $A$.
Das Produkt $A\cdot B$ ist kommutativ.
$A$ ist die inverse Matrix von $B$.
$B$ ist die transponierte Matrix von $A$.

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Aufgabe 1094: Gib an, ob die folgenden Aussagen zur transponierten Matrix wahr oder falsch sind.

Hat eine Matrix $n$ Spalten, so hat ihre transponierte Matrix $n$ Zeilen.
Für quadratische Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A + B)^\top = A^\top + B^\top$.
Für quadratische Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A \cdot B)^\top = A^\top \cdot B^\top$.
Für quadratische Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A \cdot B)^\top = B^\top \cdot A^\top$.
Für alle Matrizen gilt $(A^\top)^\top = A$.
Für alle Matrizen gilt $(2 \cdot A)^\top = 2 \cdot A^\top$.
Für alle Matrizen mit Determinante gilt $\det(A^\top)=\det(A)$.

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Aufgabe 1095: Gib an, ob die folgenden Aussagen zur Determinante wahr oder falsch sind.

Für alle quadratischen Matrizen gilt $\det(A^\top)=\det(A)$.
Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit gleichem Format gilt immer $\det(A+ B)=\det(A)+ \det(B)$.
Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit gleichem Format gilt immer $\det(A+ B)=\det(A)\cdot \det(B)$.
Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit gleichem Format gilt immer $\det(A\cdot B)=\det(A)+ \det(B)$.
Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit gleichem Format gilt immer $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)$.
Ist $\det(A)=0$, so ist die Matrix $A$ nicht invertierbar.

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Aufgabe 1168: Berechne mit Hilfe eines geeigneten Computerprogramms die Determinante der folgenden Matrix: $$ \begin{pmatrix} -7 & 1 & -8 & 8 \\ 3 & 8 & 2 & 1 \\ -1 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 7 & 3 \end{pmatrix} $$

Determinante: [0]

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3. Matrizengleichungen

Aufgabe 63: Löse die folgende Matrizengleichung! $$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}\cdot X= \begin{pmatrix} -8 & 2 \\ -5 & -6 \end{pmatrix}~~~~\to~~~~X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

$a=$ [2]     $b=$ [2]     $c=$ [2]     $d=$ [2]

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4. Vermischte Aufgaben

Aufgabe 347: Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Bei der Multiplikation von Matrizen gilt immer $A \cdot B = B \cdot A$.
Hat eine Matrix $n$ Spalten, so hat ihre transponierte Matrix $n$ Zeilen.
Für zwei Matrizen mit gleichem Format gilt immer $A +B = B + A$.

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