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Interaktive Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen


Interaktive Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können die Lösungen ausgeklappt werden. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf diese Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden, da beim erneuten Laden der Seite neue Zahlen verwendet werden. Einzelne interaktive Aufgaben können aufgerufen werden, indem im Suchfeld rechts oben @X eingegeben wird, wobei X für die Aufgabennummer steht.

Mathematischer Hintergrund

Unter einem linearen Gleichungssystem versteht man eine Ansammlung linearer Gleichungen mit einer gewissen Anzahl von Variablen. Um die Variablen eindeutig bestimmen zu können, benötigt man mindestens eine Gleichung pro Variable. Speziell für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen gibt es verschiedene Lösungsverfahren: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren. Für Gleichungssysteme mit mehr als zwei Variablen ist meist eine Kombination mehrerer Lösungstechniken erforderlich. Gleichungssysteme mit zwei Variablen können darüber hinaus auch grafisch gelöst werden, denn jede Gleichung kann als Gerade dargestellt werden. Der Schnittpunkt dieser Geraden entspricht der Lösung des Gleichunggsystems.

Anwendungsgebiete

Das Lösen von linearen Gleichungssystemen zählt zu den Grundtechniken der Schulmathematik und kommt in verschiedenen Zusammenhängen vor. Ein häufiges innermathematisches Einsatzgebiet ist das Bestimmen von Funktionsparametern.

Aufgabe 52: Löse das folgende lineare Gleichungssystem!

[1] $10 x+ 8 y= 10$
[2] $5 x- 10 y= 4$

Lösung:
$x=$ [2]
$y=$ [2]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 53: Löse das folgende lineare Gleichungssystem!

[1] $8 x-14 \cdot (x-7)=8 y$
[2] $(x-2)\cdot (y+ 10)=(x+7)\cdot (y- 2)$

Lösung:
$x=$ [2]
$y=$ [2]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 54: Löse das folgende lineare Gleichungssystem!

[1] $x+5y+z=21$
[2] $7x+y-z=-10$
[3] $x+4y=17$

Lösung:
$x=$ [2]
$y=$ [2]
$z=$ [2]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 55: Ergänze die Lücken des folgenden linearen Gleichungssystems so, dass dieses unendlich viele Lösungen besitzt.

[1] $2a+11b=52$
[2] $18a+$ [0] $b=$ [0]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 56: Das Einkommen von Herrn Gruber und Frau Kern setzt sich aus demselben Grundgehalt und der Abgeltung der geleisteten Überstunden zusammen. Herr Gruber leistet 18 Überstunden und erhielt letztes Monat insgesammt 3062 Euro. Frau Kern leistete 33 Überstunden und erhielt 3457 Euro. Berechne das Grundgehalt sowie die Abgeltung pro Überstunde.

Grundgehalt: [2]
Abgeltung pro Überstunde: [2] €/h

Lösung: ausklappen

Aufgabe 236: Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 11.2 cm. Die Länge der Basis $c$ entspricht nur einem Drittel der Länge eines Schenkels $a$. Berechne die Länge der Schenkel und der Basis.

Länge eines Schenkels: [2] cm
Länge der Basis: [2] cm

Lösung: ausklappen

Aufgabe 391: Der Umfang eines Rechtecks beträgt 39 m. Die längere Seite ist um 1.2 m länger als die kürzere Seite. Berechne die beiden Seitenlängen des Rechtecks.

Längere Seitenlänge: [2] m
Kürzere Seitenlänge: [2] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 667: Eine vierköpfige Familie verbrauchte im März 18 m³ Wasser und zahlte dafür 33.7 €. Im Juli verbrauchte sie 23.4 m³ Wasser und zahlte 43 €. Die Monatskosten setzen sich jeweils aus monatlicher Grundgebühr und den Kosten pro Kubikmeter Wasser zusammen. Berechne die Grundgebühr und die Kosten pro Kubikmeter.

Grundgebühr: [2]
Kosten pro Kubikmeter: [2]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 705: Markus und Isabella bekommen das gleiche monatliche Grundeinkommen. Markus leistete 7 Überstunden und bekam insgesamt 2691 €. Isabella leistete 13 Überstunden und bekam insgesamt 3006 €. Wie groß ist das Grundeinkommen der beiden und wie viel bekommen sie pro Überstunde?

Grundeinkommen: [2]
Zahlung pro Überstunde: [2]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 815: Die Summe der Flächeninhalte zweier Quadrate beträgt 316.8 cm². Die Differenz der Flächeninhalte beträgt 133.3 cm². Berechne die Seitenlängen der beiden Quadrate ohne Computereinsatz und achte dabei auf einen möglichst effizienten Rechenweg.

Lösung (inkl. Rechenweg):

Lösung: ausklappen

Aufgabe 816: Eine Seitenlänge eines rechteckigen Grundstücks ist um 5.7 m größer als die andere. Verlängert man beide Seiten um 2.8 m, so wird der Flächeninhalt um 169.4 m² größer. Berechne die ursprünglichen Seitenlängen des Grundstücks!

Längere Seite: [2] m
Kürzere Seite: [2] m

Lösung: ausklappen

Aufgabe 819: Im Mittelalter war es üblich, Tauschhandel zu betreiben. Nachfolgend sind drei Angebote ersichtlich:

  ▪  Für zwei Rinder und fünf Schafe erhält man 13 Schweine und 1000 Goldstücke.
  ▪  Für drei Rinder und drei Schweine erhält man neun Schafe.
  ▪  Für sechs Schafe, acht Schweine und 600 Goldstücke erhält man fünf Rinder.
a) Erstelle ein lineares Gleichungssystem, welches dazu geeignet ist, zu berechnen, wie viele Goldstücke jedes der drei Tiere wert ist. Gib an, wofür die verwendeten Variablen stehen.
Lineares Gleichungssystem:
b) Berechne den Wert der drei Tiere:
Rind: [0] Goldstücke
Schaf: [0] Goldstücke
Schwein: [0] Goldstücke

Lösung: ausklappen

Aufgabe 851: Addiert man je zwei Seitenlängen eines Dreiecks, so erhält man die Ergebnisse 18.5 cm, 13.5 cm und 25.1 cm.

a) Erkläre, wie man den Umfang des Dreiecks berechnen kann, ohne zuvor die einzelnen Seitenlängen zu berechnen.

0/1000 Zeichen
b) Berechne die Seitenlängen des Dreiecks und gib den vollständigen Rechenweg an.
Seitenlängen:

Lösung: ausklappen

Aufgabe 905: Addiert man jeweils zwei Winkel eines ebenen Dreiecks, so erhält man 115°, 147° und 98°.

a) Berechne die drei Winkel des Dreiecks. Gib die Ergebnisse in aufsteigender Reihenfolge durch einen Beistrich getrennt ein.
Ergebnisse: [0]
b) Erkläre, warum diese Aufgabe mehr Information enthält, als man für die Lösung tatsächlich benötigt.

0/1000 Zeichen

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1147: Addiert man jeweils zwei Winkel eines ebenen Dreiecks, so erhält man 126.9° und 149.7°. Berechne die drei Winkel des Dreiecks ohne Verwendung eines Computerprogramms. Wähle eine möglichst effiziente Vorgehensweise und erstelle ein Bild des Rechenweges.

Rechenweg:

Lösung: ausklappen