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Interaktive Aufgaben zu linearen Funktionen


Interaktive Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können die Lösungen ausgeklappt werden. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf diese Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden, da beim erneuten Laden der Seite neue Zahlen verwendet werden. Einzelne interaktive Aufgaben können aufgerufen werden, indem im Suchfeld rechts oben @X eingegeben wird, wobei X für die Aufgabennummer steht.

Mathematischer Hintergrund

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat die Form $f(x)=k\cdot x+d$, wobei $k$ als Steigung und $d$ als Ordinatenabschnitt bzw. $y$-Achsenabschnitt bezeichnet wird. Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Je nachdem, welches Vorzeichen die Steigung $k$ besitzt, ist diese Gerade nach rechts ansteigend (bei positiver Steigung) bzw. nach rechts abfallend (bei negativer Steigung). Zu den Grundtechniken im Umgang mit linearen Funktionen gehört das Zeichnen des Funktionsgraphen, das Erstellen der Funktionsgleichung anhand des Funktionsgraphen, das Erstellen der Funktionsgleichung anhand von zwei Punkten, das Berechnen der Nullstelle anhand der Funktionsgleichung und das Berechnen des Schnittpunktes zweier Funktionsgraphen.

Anwendungsgebiete

Bei einer linearen Funktion führen gleiche Änderungen der unabhängigen Variable (Zeit, Menge, Stückzahl, ...) stets zu gleichen Änderungen des Funktionswertes. Somit ergeben sich hier vielfältige Anwendungsbereiche: diverse Wachstumsprozesse (z. B. Bevölkerung oder Pflanzen), der Fortschritt diverser Handlungen (z. B. Download oder Füllen eines Beckens), wirtschaftliche Anwendungen (z. B. Tarife oder Produktionskosten) und physikalische Sachverhalte (z. B. der zurückgelegte Weg bei konstanter Geschwindigkeit).

1. Allgemeine Aufgaben

Aufgabe 29: Bestimme die Parameter $k$ und $d$, sodass der Funktionsgraph der linearen Funktion $f(x)=k\cdot x+d$ durch die vorgegebenen Punkte verläuft.

a) $A(3.1 \mid 5.4)$ und $B(6.6 \mid 1.5)$
$k=$ [2]
$d=$ [2]
b) $S(-1.7 \mid 1.5)$ und $T(5.3 \mid -4.8)$
$k=$ [2]
$d=$ [2]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 30: Bestimme die Funktionsgleichung $f(x)=k\cdot x+d$ einer linearen Funktion, deren Graph senkrecht auf den Graphen der Funktion $g(x)=-1.1 \cdot x+4.1$ steht und durch den Punkt $P(\,6 \mid 1\,)$ verläuft.

$k=\,$ [2]
$d=\,$ [2]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 263: Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden linearen Funktionen $f$ und $g$, welche folgende Eigenschaften erfüllen. Gib einen vollständigen Lösungsweg an!

  ▪ Der Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen ist der Punkt $(-2.1\mid 2.9)$.
  ▪ Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse beim Wert 5.1.
  ▪ Die Nullstelle von Funktion $g$ ist an der Stelle 5.6.
Funktionsgleichung von $f$ (inkl. Lösungsweg):
Funktionsgleichung von $g$ (inkl. Lösungsweg):

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Aufgabe 274: Kreuze jeweils an, ob es sich um einen linearen Zusammenhang handelt oder nicht.

Der Flächeninhalt eines Rechtecks in Abhängigkeit der Seitenlänge $a$, wenn die Seitenlänge $b$ unverändert bleibt.
Die Stromkosten in Abhängigkeit vom Energiebedarf in Kilowattstunden bei einem Tarif mit fixer Grundgebühr und fixen Kosten pro Kilowattstunde.
Der Flächeninhalt eines Kreises in Abhängigkeit vom Radius.
Die Anzahl an Einwohnern einer Gemeinde in Abhängigkeit von der Zeit, wenn die Einwohneranzahl jährlich um 1,5 % zunimmt.

Lösung: ausklappen

Aufgabe 620: Gegeben ist die lineare Funktion $f(x) = 3 + 5x$. Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Der Punkt $(\,2 \mid 11\,)$ liegt unterhalb des Funktionsgraphen von $f$.
Der Graph der Funktion $g(x) = 0{,}2x + 1$ steht normal auf den Graphen von $f$.
Der Funktionsgraph von $f$ schneidet die vertikale Achse bei 5.
Die Nullstelle von $f$ ist bei $x=2$.
Der Graph von $h(x) = 5x - 1$ ist parallel zu jenem von $f$.

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1076: Beweise, dass für jede reelle Zahl $a$ und jede lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$ die folgende Eigenschaft erfüllt ist: $$\frac{f(a)+f(-a)}{2}=d$$

Bild des vollständigen und nachvollziehbaren Beweises:

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1098: Begründe ob es sich bei den Varianten $I(R)=\frac{U}{R}$ und $I(U)=\frac{U}{R}$ des Ohmschen Gesetzes jeweils um eine lineare Funktion handelt.

0/1000 Zeichen

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2. Wachstums- und Abnahmeprozesse

Aufgabe 32: Jemand wartet darauf, dass der Download seines neuen Computerspiels abgeschlossen ist. Vor 50 Minuten fehlten noch 8.1 GB. Aktuell fehlen noch 5.5 GB. Es wird angenommen, dass die Downloadgeschwindigkeit konstant ist, also ein linearer Zusammenhang zwischen fehlender Datenmenge und Zeit besteht.

a) Wie viel wird in 30 Minuten noch fehlen? [2] GB
b) In wie vielen Minuten wird der Download abgeschlossen sein? [1] min

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Aufgabe 265: Eine 15.1 cm große Kerze wird angezündet und schmilzt pro Minute um 0.56 Millimeter. Gib die Funktionsgleichung der linearen Funktion $h(t)$ an, welche die Höhe $h$ der Kerze (in Zentimeter) in Ab­hän­gig­keit von der Zeit $t$ (in Minuten nach dem Anzünden) beschreibt.

0/1000 Zeichen

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Aufgabe 542: Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Um 13:28 Uhr betrug der Wasserstand 44 cm. Um 16:48 Uhr betrug er 1.12 m. Zu welcher Uhrzeit wird die vollständige Füllhöhe von 1.62 m erreicht sein? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an.

Uhrzeit: [0]

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Aufgabe 545: Die Bevölkerung Brasiliens wächst seit 1950 annähernd linear. Im Jahr 2000 lebten dort ca. 176 Mio. Menschen. Im Jahr 2015 waren es etwa 208 Mio. Menschen. Wie groß wird die Einwohnerzahl im Jahr 2031 sein, wenn man annimmt, dass weiterhin ein lineares Wachstum vorliegt?

Einwohnerzahl im Jahr 2031: [1] Mio. Einwohner

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Aufgabe 550: Eine aktuell 16.3 cm dicke Schneeschicht schmilzt pro Stunde um 9 mm.

a) Wie dick wird die Schneeschicht nach 5.7 Stunden noch sein?
Dicke: [2] cm
b) Nach wie vielen Stunden wird der Schnee vollständig geschmolzen sein?
Zeit: [2] h

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Aufgabe 554: Eine Kerze brennt pro Stunde 2.3 cm nieder. Zu Beginn ist sie 26 cm hoch. Nach welcher Zeit ist die Kerze nur noch 10 cm hoch, wenn man von einem linearen Zusammenhang ausgeht?

Dauer: [2] h

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Aufgabe 555: Bei einem vom Boden wachsenden Tropfstein wurde vor 16 Jahren eine Höhe von 0.72 m gemessen. Heute ist der Tropfstein 1.05 m hoch. Wie hoch wird der Tropfstein in 15 Jahren sein, wenn man von einem linearen Wachstum ausgeht?

Prognose: [2] m

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Aufgabe 704: Die Einwohnerzahl der Türkei wuchs in den letzten Jahrzehnten annähernd linear und kann durch die Funktion $E(t)=0{,}96t+64{,}23$ beschrieben werden. Dabei steht $t$ für die Zeit in Jahren beginnend am 1. Jänner 2000 und $E(t)$ für die zugehörige Einwohnerzahl (in Millionen). Die Bevölkerung Deutschlands liegt seit 1995 fast konstant bei 82 Millionen Einwohnern. In welchem Jahr werden laut diesem Modell beide Länder gleich viele Einwohner haben?

Ergebnis (Jahreszahl): [0]

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3. Tarifvergleiche

Aufgabe 31: Es stehen die folgenden beiden Stromtarife zur Auswahl:

  ▪  Tarif A: Grundgebühr: 5.1 €, Kosten pro kWh: 7 c
  ▪  Tarif B: Grundgebühr: 7 €, Kosten pro kWh: 4.4 c
a) Ermittle jenen Energiebedarf („Stromverbrauch“) in Kilowattstunden (kWh), bei dem beide Tarife gleichwertig sind sowie den zughörigen Preis.
Energiebedarf: [1] kWh
Preis: [2]
b) Wie groß ist der Preisunterschied bei 140 kWh?
Preisunterschied: [2]

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Aufgabe 889: Herr R. möchte Holzpellets kaufen. Er findet im Internet zwei passende Angebote:

  ▪  Bei Angebot A betragen die Lieferkosten 42 € und der Preis pro Kilogramm 77 Cent.
  ▪  Bei Angebot B betragen die Lieferkosten 61 € und der Preis pro Kilogramm 50 Cent.
Berechne, ab welcher Menge Angebot B besser wäre!
Menge: [1] kg

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4. Stückweise definierte Funktionen

Aufgabe 1148: Zeichne den Funktionsgraphen der folgenden stückweise definierten Funktion möglichst genau auf ein Blatt Papier. $$f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}x+3,& \textrm{falls }x\in [-5,-2)\\ 2x-2,& \textrm{falls }x\in [-2,2)\\ -\frac{1}{2}x+5,& \textrm{falls }x\in [2,5]\\ \end{cases} $$ Funktionsgraph:

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5. Vermischte Aufgaben

Aufgabe 36: Die Gesamtkosten für die Herstellung eines bestimmten Produkts lassen sich durch eine lineare Funktion beschreiben. Für 760 Stück betragen die Kosten 3362 € und für 2239 Stück sind es 4383 €.

a) Bestimme die Parameter $k$ und $d$ der Kostenfunktion $K(x)=k\cdot x+ d$.
$k =$ [2] €/Stück
$d =$ [2]
b) Der Verkaufspreis beträgt 4.3 € pro Stück. Berechne den Break-Even-Point. Runde auf ganze Stück auf!
Ergebnis: [0] Stück

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Aufgabe 272: Die bei uns gebräuchliche Temperatureinheit Grad Celsius (°C) kann anhand der linearen Funktion $y(x) = \frac{9}{5}\,x + 32$ in die in den USA verbreitete Temperatureinheit Grad Fahrenheit (°F) umgerechnet werden, wobei $x$ die Temperatur in Grad Celsius angibt und $y$ die Temperatur in Grad Fahrenheit.

a) Berechne, bei wie viel Grad Celsius die Fahrenheit-Skala ihren Nullpunkt hat.
Nullpunkt der Fahrenheit-Skala: [0] °C
b) Gib die Umkehrfunktion an, also jene Funktion, die zur Umrechnung von Grad Fahrenheit in Grad Celsius verwendet werden kann.
Umkehrfunktion (inkl. Lösungsweg):

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Aufgabe 556: Die beiden Tanks A und B sind am Boden durch einen Schlauch verbunden. Zu Beginn ist Tank A vollständig mit Öl gefüllt und Tank B ist leer. Öffnet man das Ventil, so fließt so lange Öl aus Tank A in Tank B, bis beide Tanks gleich hoch gefüllt sind. Die Füllhöhe der beiden Tanks (in Meter) lässt sich während dieses Vorgangs durch die Funktionen $h_A(t) = 1.52 - 0.09t$ und $h_B(t) = 0.16t$ beschreiben, wobei $t$ die Zeit in Minuten nach dem Öffnen ist.

a) Wie hoch ist der Ölstand zu Beginn in Tank A?
Höhe: [2] m
b) Berechne, nach welcher Zeit die Füllhöhe in beiden Tanks ausgeglichen ist.
Dauer: [2] min
c) Wie lautet am Ende der Füllstand beider Tanks?
Höhe: [2] m

Lösung: ausklappen