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Interaktive Aufgaben zur Integralrechnung


Interaktive Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können die Lösungen ausgeklappt werden. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf diese Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden, da beim erneuten Laden der Seite neue Zahlen verwendet werden. Einzelne interaktive Aufgaben können aufgerufen werden, indem im Suchfeld rechts oben @X eingegeben wird, wobei X für die Aufgabennummer steht.

Mathematischer Hintergrund

Im Zentrum der Integralrechnung stehen zwei Aspekte: Einerseits werden Stammfunktionen bzw. unbestimmte Integrale berechnet, was dem Umkehren des Differenzierens entspricht. Anderseits kann durch die Berechnung von bestimmten Integralen der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse in einem bestimmten Intervall bestimmt werden. Dies lässt sich durch den sogenannten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung begründen.

Anwendungsgebiete

Die Integralrechnung wird verwendet, um aus Ableitungsfunktionen die ursprüngliche Funktion zu erhalten. Beispielsweise ist die Wegfunktion eine Stammfunktion der Geschwindigkeitsfunktion. Darüber hinaus können neben der einfachen Flächenberechnung auch komplexere geometrische Fragestellungen untersucht werden wie beispielsweise die Bogenlänge eines Funktionsgraphen oder die Mantelfläche und das Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers. Auch bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielt die Integralrechnung eine wesentliche Rolle (siehe Normalverteilung).

1. Stammfunktionen

Aufgabe 110: Berechne die nachfolgenden unbestimmten Integrale mit Hilfe der Substitutionsregel. Erstelle einen vollständigen und formal korrekten Rechenweg. Vergiss nicht auf die Rücksubstitution und die Integrationskonstante!

a) $\int\left(2\cdot \sin(2t+5)+2\right)\,dt$
Ergebnis (inkl. Rechenweg):
b) $\int \frac{4s}{s^2+3}\,ds$
Ergebnis (inkl. Rechenweg):
c) $\int \frac{\ln(3z)}{8z}\,dz$
Ergebnis (inkl. Rechenweg):

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1128: Berechne die nachfolgenden unbestimmten Integrale mit Hilfe der partiellen Integration. Erstelle einen vollständigen und formal korrekten Rechenweg. Vereinfache das Ergebniss so weit wie möglich (z. B. durch Herausheben oder durch Kürzen von Brüchen). Wandle Brüche nicht in Dezimalzahlen um!

a) $\int 7z\cdot \ln(9z)\,dz$
Ergebnis (inkl. Rechenweg):
b) $\int 6x^2 \cdot e^{4x}\,dx$
Ergebnis (inkl. Rechenweg):
c) $\int 5t\cdot \cos(7t+15)\,dt$
Ergebnis (inkl. Rechenweg):

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1154: Berechne das folgende unbestimmte Integral ohne Computereinsatz und gib einen vollständigen und korrekten Rechenweg an. $$\int 2.6^x\cdot \sin(1.68x)\,dx$$

Ergebnis (inkl. Rechenweg):

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1155: Berechne das folgende unbestimmte Integral ohne Computereinsatz und gib einen vollständigen und korrekten Rechenweg an. $$\int 2.9 t\cdot 1.65^t\,dt$$

Ergebnis (inkl. Rechenweg):

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1157: Berechne das folgende unbestimmte Integral ohne Computereinsatz und gib einen vollständigen und korrekten Rechenweg an. $$\int 3 z\cdot \sqrt{8 z^2 + 26}\, dz$$

Ergebnis (inkl. Rechenweg):

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1158: Berechne das folgende unbestimmte Integral ohne Computereinsatz und gib einen vollständigen und korrekten Rechenweg an. $$\int \frac{5}{(4s-13)^2}\,ds$$

Ergebnis (inkl. Rechenweg):

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1194: Gib an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Die Funktion $f(x)=3x^2$ besitzt unendlich viele Stammfunktionen.
Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann ist auch $F-5$ eine Stammfunktion von $f$.
Die Funktion $g(x)=5x^3$ besitzt unendlich viele unbestimmte Integrale.
Wenn $F_1$ und $F_2$ Stammfunktionen von $f\neq 0$ sind, dann ist auch $F_1+F_2$ eine Stammfunktion von $f$.
$F_1(x)=(x-2)^2$ und $F_2(x)=x^2-4x$ sind zwei Stammfunktionen derselben Funktion.
Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann ist auch $3\cdot F$ eine Stammfunktion von $f$.

Lösung: ausklappen

2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Aufgabe 145: Berechne die folgenden bestimmten Integrale. Die Argumente der Sinusfunktion sind hier (wie meistens außerhalb geometrischer Sachverhalte) im Bogenmaß (rad) gemessen.

a) $\int_{2.5}^{5.4} (3.1x^2+4.6x-8.8)\,dx =$ [2]
b) $\int_{1.6}^{4.5} 2.5\cdot e^{0.76\cdot t} \,dt =$ [2]
c) $\int_{0.17}^{0.98} \sin(3.2- 2.9 z) \,dz =$ [2]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1153: Berechne die folgenden bestimmten Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (ohne Computer). Gib jeweils einen vollständigen und mathematisch korrekten Rechenweg an.

a) $\int_{-4}^{2.8} (5 x^2 - 6 x+1)\,dx$
Ergebnis (inkl. Rechenweg):
b) $\int_{-1.9}^{4.6} 1.6\cdot e^{0.6\cdot t}\,dt$
Ergebnis (inkl. Rechenweg):

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1162: Berechne mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (ohne Computer) das folgende Integral und gib einen vollständigen und mathematisch korrekten Rechenweg an. Achtung: Die verschiedenen Variablen im Integrand und im Differential sind beabsichtigt. $$\int_{-6}^{9} (10 x-20)\,dt$$

Ergebnis (inkl. Rechenweg):

Lösung: ausklappen

3. Flächenberechnung

Aufgabe 144: Ermittle den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse im Intervall $[0.5,4]$ so genau wie möglich.

Flächeninhalt: [3] FE

Lösung: ausklappen

Aufgabe 146: Vorgegeben ist die Funktionsgleichung $f(x)=2.4+1.5x^2-1.1x^4$.

a) Berechne die beiden Nullstellen $x_1$ und $x_2$.
Linke Nullstelle $x_1$: [3]
Rechte Nullstelle $x_2$: [3]
b) Berechne den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse im Intervall $[x_1,x_2]$.
Flächeninhalt: [2] FE
c) Die Fläche aus Aufgabe b) soll durch eine vertikale Gerade so zerteilt werden, dass die rechte Teilfläche 38 % des gesamten Flächeninhalts aus Aufgabe b) besitzt. Bestimme die Stelle $x_T$, an welcher sich diese Gerade befinden muss. Für diese Aufgabe wird die Verwendung eines geeigneten Computerprogramms empfohlen.
Teilungsstelle $x_T$: [2]

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Aufgabe 147: Diese Aufgabe sollte vollständig mit Hilfe eines geeigneten Computerprogramms gelöst werden. Die Funktion $A(t)=4.8\cdot 0.67^t \cdot \sin(2.9t)$ wird ausschließlich im Intervall $[0,\infty)$ betrachtet. Das Funktionsargument des Sinus wird hier im Bogenmaß (rad) gemessen.

a) Ermittle das globale Maximum dieser Funktion (beide Koordinaten). Diese Aufgabe muss nicht zwingend analytisch gelöst werden. Wichtig ist nur, dass die vorgegebene Genauigkeit erfüllt ist.
Das globale Maximum befindet sich bei $t=$ [2] und hat den Wert [2].
b) Berechne die sechste Nullstelle, also jene Nullstelle, bei welcher die fünfte Teilfläche endet.
Sechste Nullstelle $x_6$: [3]
c) Berechne den absoluten Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse im Intervall $[0,x_6]$, also die Summe der Flächeninhalte der ersten fünf Teilflächen.
Flächeninhalt: [2] FE

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Aufgabe 148: Es sind die Funktionsgleichungen $f(x)=-1.02x^2+7.6x-6.79$ und $g(x)=0.23x+1.25$ vorgegeben.

a) Berechne die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen.
Linke Schnittstelle $x_1$: [3]
Rechte Schnittstelle $x_2$: [3]
b) Berechne den Flächeninhalt zwischen den beiden Funktionsgraphen im Intervall $[x_1,x_2]$.
Flächeninhalt: [2] FE

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Aufgabe 149: Es ist die Funktion $E(t)=5.88\cdot 1.179^t$ sowie die Untergrenze $a=1.6$ vorgegeben. Berechne die Obergrenze $b$, sodass der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und $t$-Achse im Intervall $[a,b]$ den Wert 36 FE besitzt. Wird für diese Aufgabe GeoGebra verwendet, so muss der Befehl NLöse eingesetzt werden.

Obergrenze $b$: [3]

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Aufgabe 150: Der Querschnitt eines Erdwalls, welcher als Hochwasserschutz entlang eines Flusses errichtet werden soll, kann durch den positiven Teil des Funktionsgraphen von $h(x)=1.8-0.111x^4$ beschrieben werden. Dabei werden $x$ und $h(x)$ jeweils in Metern gemessen. Die Länge des Erwalls soll 1.04 km betragen.

a) Bestimme die Basisbreite des Erdwalls (die Breite am Boden).
Basisbreite: [2] m
b) Bestimme den Flächeninhalt der Querschnittsfläche des Erdwalls.
Flächeninhalt: [2]
c) Das verwendete Bodenmaterial hat die Dichte $\rho=1460\,\text{kg}/\text{m}^3$. Berechne, wie viele Tonnen davon für die Errichtung des Erdwalls nötig sind.
Erforderliches Bodenmaterial: [0] t

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Aufgabe 315: In folgender Abbildung ist der blaue Funktionsgraph die obere Hälfte des Einheitskreises $f(x)=\sqrt{1-x^2}$. Der rote Graph ist jener der Funktion $g(x) = –x^4 + 1$.

Argumentiere anhand mathematischer Berechnungen, welcher Funktionsgraph zusammen mit der x-Achse im Intervall $[-1;1]$ den größeren Flächeninhalt einschließt.

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Lösung: ausklappen

Aufgabe 319: Berechne den Flächeninhalt, der von den Graphen der Funktionen $f(x) = x^3$ und $g(x) = 3^x$ eingeschlossen wird.

Ergebnis: [4] FE

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Aufgabe 965: Ein Holztor wird gemäß der untenstehenden nicht maßstabsgetreuen Skizze gefertigt. Die Breite des Tors beträgt 2.9 m. Die Höhe beträgt an den Seiten 2.29 m. In der Mitte ist das Tor um 34 cm höher als an den Seiten.

a) Bestimme die Funktionsgleichung jener quadratischen Funktion, durch welche die Oberkante des Tors beschrieben werden kann. Gib einen vollständigen handschriftlichen Lösungsweg an!
Funktionsgleichung (inkl. Lösungsweg):
b) Berechne die Fläche des Holztors durch handschriftliche Rechnung. Gib einen vollständigen Lösungsweg an!
Fläche (inkl. Lösungsweg):
c) Berechne die Masse des Holztors, wenn dessen Dicke 6.3 cm beträgt und die Dichte des verwendeten Holzes 0.63 g/cm³ ist.
Masse: [1] kg

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Aufgabe 986: Die Breite der Sporthalle „The Wave“ in Singapur (siehe Foto, Bildquelle: https://www.structure-magazin.de/artikel/the-wave-sporthalle-in-singapur-32322/) beträgt 72 m (jene Seite, die am Foto sichtbar ist). Das Dach entspricht einer quadratischen Parabel. Es ist an den Seiten ca. 17 m hoch und in der Mitte ungefähr 27 m hoch. Die Länge der Halle beträgt 42 m.

a) Erstelle eine quadratische Funktion, durch welche der Verlauf des Daches beschrieben werden kann. Die Funktion soll symmetrisch bezüglich der y-Achse sein (um den Rechenaufwand gering zu halten).
Funktionsgleichung (inkl. Lösungsweg):
b) Berechne das Volumen der Halle.
Volumen: [1]

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Aufgabe 989: Die Form eines Wassertrogs kann näherungsweise durch den Graphen der Funktion $f(x)=57x^4$ beschrieben werden, wobei $x$ und $f(x)$ in Metern gemessen wird. Die Breite des Trogs beträgt oben 53 cm und die Länge ist 1.8 m.

a) Berechne, wie viel Wasser in den Trog passt, wenn dieser randvoll gefüllt wird.
Volumen: [2] L
b) Berechne, wie viel Wasser in den Trog passt, wenn dieser bis 5 cm unter dem Rand gefüllt wird.
Volumen: [2] L

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4. Stammfunktionen grafisch bestimmen

Aufgabe 188: Nachfolgend ist der Funktionsgraph einer Funktion abgebildet. Erstelle in einem Koordinatensystem eine Skizze des Funktionsgraphen einer zugehörigen Stammfunktion. Skizziere außerdem den gegebenen Funktionsgraphen im selben Koordinatensystem.

Skizze einer Stammfunktion:

Lösung: ausklappen

Aufgabe 189: Nachfolgend ist der Funktionsgraph einer Funktion abgebildet. Erstelle in einem Koordinatensystem eine Skizze des Funktionsgraphen einer zugehörigen Stammfunktion. Skizziere außerdem den gegebenen Funktionsgraphen im selben Koordinatensystem.

Skizze einer Stammfunktion:

Lösung: ausklappen

Aufgabe 680: Unten ist der Graph der Funktion $f$ im Intervall $[0;3]$ abgebildet. Zeichne den Graphen einer möglichen Stammfunktion von $f$ auf ein Blatt Papier. Skaliere die Achsen des Koordinatensystems.

Skizze einer Stammfunktion:

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5. Bewegungsaufgaben

Aufgabe 159: Stefan trainiert am Laufband. Als Startgeschwindigkeit stellt er 11.9 km/h ein. Nach jeweils 30 s erhöht er die Geschwindigkeit um 0,1 km/h. Damit die nachfolgenden Rechnungen einfacher zu lösen sind, gehe davon aus, dass die Geschwindigkeit zwischen den einzelnen Steigerungen linear anwächst (anstelle von sprunghaften Anstiegen).

a) Welche Strecke legt er auf diese Weise in 36 min zurück?
Zurückgelegte Strecke: [2] km
b) Nach welcher Zeit hat er 4.5 km zurückgelegt? Gib das Ergebnis im Format MM:SS an (gegebenenfalls inklusive führender Nullen).
Benötigte Zeit: [0]

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Aufgabe 160: Eine Pistole wird senkrecht nach oben abgefeuert. Die Mündungsgeschwindigkeit beträgt 1142 km/h. Die Gravitationsbeschleunigung beträgt 9,81 m/s². Für die gesamte Aufgabe soll der Luftwiderstand ignoriert werden. Berechne die maximale Flughöhe des Projektils und nach welcher Zeit diese Höhe erreicht wird.

Maximale Höhe: [0] m
Zeit bis zur maximalen Höhe: [1] s

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Aufgabe 161: Eine 7.7 kg schwere Stahlkugel wird im Rahmen eines Experiments auf einem abgesicherten Gelände vom Dach eines Turms nach unten fallen gelassen. Nach 1.71 Sekunden erreicht sie den Erdboden. Die Gravitationsbeschleunigung beträgt 9,81 m/s². Berechne die Höhe des Turms. Der Luftwiderstand kann hier vernachlässigt werden.

Höhe des Turms: [1] m

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Aufgabe 163: Ein 1.54 t schweres Auto fährt mit 119 km/h als in 65 m Entfernung plötzlich ein Reh auf die Straße läuft. Die Fahrerin benötigt von diesem Zeitpunkt an 1 Sekunden, um eine Vollbremsung mit einer Verzögerung von 8.3 m/s² einzuleiten.

a) Welche Strecke legt das Auto noch im ungebremsten Zustand zurück?
Strecke: [1] m
b) Mit welcher Geschwindigkeit prallt das Auto gegen das Reh?
Aufprallgeschwindigkeit: [1] km/h
c) In welcher ursprünglichen Entfernung hätte sich das Reh befinden dürfen, damit das Auto unmittelbar vor dem Reh zum Stillstand gekommen wäre?
Entfernung: [1] m

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Aufgabe 673: Ein Güterzug leitet zum Zeitpunkt $t = 0\,\mathrm{s}$ bei einer Geschwindigkeit von 101 km/h den Bremsvorgang ein und verzögert dabei konstant mit 0.63 m/s².

a) Ermittle die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$, wobei $t$ in Sekunden und $v(t)$ in m/s gemessen wird.
Geschwindigkeitsfunktion (inkl. Lösungsweg):
b) Ermittle die Wegfunktion $s(t)$, wobei $s(0)=0$ gelten soll. Dabei wird $t$ in Sekunden und $s(t)$ in Metern gemessen.
Wegfunktion (inkl. Lösungsweg):
c) Nach welcher Zeit steht der Güterzug und welchen Weg hat er dabei seit Beginn des Bremsvorgangs zurückgelegt?
Dauer des Bremsvorgangs: [1] s
Bremsweg: [1] m

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Aufgabe 939: Bei einem Crash-Test beschleunigt ein Auto aus dem Stillstand konstant bis es gegen eine Mauer fährt. Die zurückgelegte Strecke beträgt dabei 42 m und die Beschleunigung beträgt 3.8 m/s².

a) Bestimme die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ und die Wegfunktion $s(t)$ durch handschriftliche Rechnung.
Ergebnis (inkl. Rechenweg):
b) Berechne die Dauer zwischen Start und Aufprall.
Dauer: [2] s
c) Berechne die Aufprallgeschwindigkeit in km/h.
Aufprallgeschwindigkeit : [1] km/h

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6. Rotationskörper

Aufgabe 162: Lässt man den Graphen der Funktion $r(x)=2.7+1.8\cdot \sqrt[5]{x}$ im Intervall $[0,29]$ um die $x$-Achse rotieren, so entsteht eine Vase, deren Boden sich bei $x=0$ befindet. Sowohl $x$ als auch $r(x)$ sind in Zentimetern gemessen.

a) Berechne die Standfläche der Vase.
Standfläche: [2] cm²
b) Berechne das Volumen der Vase.
Volumen: [2] Liter
c) Berechne den Öffnungsdurchmesser der Vase.
Öffnungsdurchmesser : [2] cm
d) Berechne die Füllhöhe, bei welcher 70 % des Gesamtvolumens erreicht sind.
Füllhöhe: [2] cm

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Aufgabe 636: Gegeben ist die Funktion $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=\frac{1}{x}$. Der Funktionsgraph soll um die x-Achse rotieren. Der dadurch entstehende Körper wird als „Gabriels Horn“ bezeichnet.

a) Berechne durch handschriftliche Rechnung das Volumen dieses Körpers.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
b) Berechne mit einem geeigneten Computerprogramm die Mantelfläche dieses Körpers.
Screenshot (inkl. Eingabe):
c) Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, was daran widersprüchlich erscheint und wie man diesen Widerspruch auflösen könnte. Recherchiere gegebenenfalls im Internet.

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Aufgabe 751: Leite mittels Integralrechnung eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Drehkegels mit Höhe $h$ und Radius $r$ her. Lasse dazu eine passende lineare Funktion um die $x$-Achse rotieren und berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

Vollständige Herleitung:

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Aufgabe 1047: In dieser Aufgabe geht es um die beiden Rotationskörper A und B, welche dieselbe Höhe besitzen. Ist es möglich, dass Rotationskörper A ein größeres Volumen als Rotationskörper B hat, obwohl die Querschnittsfläche von Rotationskörper A kleiner als jene von Rotationskörper B ist? Falls ja, finde ein passendes Beispiel und gibt die zugehörigen Funktionsgleichungen und die Intervallgrenzen an. Falls nein, finde eine passende Begründung.

Ergebnis:

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Aufgabe 1182: Ein Torus ist ein Körper, der entsteht, wenn ein kleiner Kreis mit Radius $r$, dessen Mittelpunkt den Abstand $R$ von der $x$-Achse hat, um diese Achse rotiert. Die obere Hälfte der Kreisfläche wird durch die Funktion $f(x)=R+\sqrt{r^2-x^2}$ beschrieben und die untere Hälfte wird durch die Funktion $g(x)=R-\sqrt{r^2-x^2}$ beschreiben. Man findet im Internet folgende Formel für das Volumen: $V=2\pi^2r^2R$. Bestätige die Gültigkeit dieser Formel mit Hilfe der Integralrechnung. Erstelle einen Screenshot bzw. ein Foto des Lösungsweges (inkl. Eingaben, falls ein Computerprogramm verwendet wird). Falls die Ausgabe des Computerprogramms nicht exakt mit der Formel übereinstimmt, erkläre, wie man von der Ausgabe zur oben genannten Formel kommt.

Ergebnis:

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7. Uneigentliche Integrale

Aufgabe 636: Gegeben ist die Funktion $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=\frac{1}{x}$. Der Funktionsgraph soll um die x-Achse rotieren. Der dadurch entstehende Körper wird als „Gabriels Horn“ bezeichnet.

a) Berechne durch handschriftliche Rechnung das Volumen dieses Körpers.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
b) Berechne mit einem geeigneten Computerprogramm die Mantelfläche dieses Körpers.
Screenshot (inkl. Eingabe):
c) Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, was daran widersprüchlich erscheint und wie man diesen Widerspruch auflösen könnte. Recherchiere gegebenenfalls im Internet.

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Aufgabe 863: Die Funktion $f(x)=\frac{1}{x^2}$ ist überall positiv. Somit kann die folgende Rechnung, welche zu einem negativen Integral führt, keinesfalls richtig sein. Begründe, warum diese Rechnung falsch ist! $$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx=\left(-\frac{1}{x}\right)\Bigg|_{-1}^{1}=-\frac{1}{1}-\left( -\frac{1}{(-1)} \right)=-2$$

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8. Vermischte Aufgaben

Aufgabe 164: Die Analyse der Flugbahn eines Speers ergab die Funktionsgleichung $h(x)=-11.1\cdot 10^{-3}\cdot x^2+0.59x+2.15$, wobei sowohl $x$ als auch $h(x)$ in Metern gemessen werden.

a) Berechne die Flugweite des Speers.
Flugweite: [2] m
b) Berechne die Länge der Flugkurve.
Länge der Flugkurve: [2] m

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Aufgabe 165: An einem bestimmten Tag wurde die Dosisleistung im Inneren eines Atomkraftwerks durch folgende Funktion beschrieben: $$f(t)=8.2\cdot 10^{-4}\cdot t^3-3.53\cdot 10^{-2}\cdot t^2+0.378\cdot t+1.23$$ Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden, wobei $t=0$ für 0:00 Uhr und $t=24$ für 24:00 Uhr steht. Der Funktionswert $f(t)$ gibt die momentane Dosisleistung in Mikrosievert pro Stunde (µSv/h) an.

a) Ein Arbeiter befand sich von 14 Uhr bis 20 Uhr im Kernkraftwerk. Berechne, welche Dosis er über diesen Zeitraum hinweg insgesamt aufgenommen hat. Die Dosis ist das bestimmte Integral der Dosisleistung über einen bestimmten Zeitraum hinweg.
Gesamtdosis: [2] µSv
b) Zu welcher Uhrzeit war die Dosisleistung an diesem Tag am größten? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an (gegebenenfalls inklusive führender Nullen). Für Aufgabe e) ist es außerdem sinnvoll, auch den Maximalwert zu bestimmen.
Uhrzeit: [0] Uhr
c) Laut Sicherheitsbestimmungen, darf eine Person pro Tag nur 20 µSv aufnehmen. Jemand begann um 2:30 Uhr im Atomkraftwerk zu arbeiten. Um welche Uhrzeit musste er die Arbeit beenden? Gib das Ergebnis erneut im Format HH:MM an (gegebenenfalls inklusive führender Nullen).
Uhrzeit: [0] Uhr
d) Berechne den linearen Mittelwert der Dosisleistung über den gesamten Tag hinweg.
Mittlere Dosisleistung: [2] µSv/h
e) Um wie viel Prozent lag die maximale Dosisleistung über der mittleren Dosisleistung?
Ergebnis: [2] %

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Aufgabe 637: Das in Europa, Australien und großen Teilen Asiens verwendete Stromnetz hat eine Frequenz von 50 Hz und eine Scheitelspannung von 325 V. Der zeitliche Spannungsverlauf kann somit durch die Funktion $U(t)=325\cdot \sin(2\pi t\cdot 50)$ beschrieben werden. Die Effektivspannung $\hat U$ ist jene Gleichspannung, die am selben Widerstand pro Periode die gleiche elektrische Energie liefert, wie die betrachtete Wechselspannung. Diese Energie ist proportional zur elektrischen Leistung und somit wiederum proportional zu $U^2$. Berechne die Effektivspannung der gegebenen Wechselspannung.

Effektivspannung: $\hat U=$ [2] V

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Aufgabe 1163: Gib an, ob die folgenden Aussagen allgemein gültig sind oder nicht.

$\int_{-a}^b f(x)\,dx=-\int_{b}^{-a} f(x)\,dx$
$\int_a^b \left( f(x)+g(x) \right)\,dx= \int_a^b f(x)\,dx +\int_a^b g(x)\,dx$
$\int_a^b f(x)\cdot g(x)\,dx= \int_a^b f(x)\,dx \cdot \int_a^b g(x)\,dx$
$\int_a^c f(x)\,dx= \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$
$\int_a^c |\,f(x)\,|\,dx= \left| \int_a^b f(x)\,dx\right|$
$\int_a^a f(x)\,dx=0$

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Aufgabe 1164: Die Funktionsgleichung der 2. Ableitung einer Funktion lautet $f''(x)=6 - 5 x$. Des Weiteren ist bekannt, dass die Funktion $f$ an der Stelle 4 die Steigung 5 besitzt und dass der Funktionsgraph der Funktion $f$ durch den Punkt $(-3 \mid 2)$ verläuft. Bestimmte die Funktionsgleichung der Funktion $f$ durch handschriftliche Rechnung und gib alle Rechenschritte an.

Ergebnis (inkl. Rechenweg):

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Aufgabe 1165: Von einer Polynomfunktion 3. Grades ist bekannt, dass die zweite Ableitung $p''(x)=3 x-4$ lautet und dass der Funktionsgraph der Funktion $p$ durch die Punkte $(-8 \mid 1)$ und $(3 \mid -4)$ verläuft. Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung in der Form $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ mit GeoGebra und erstelle einen Screenshot aller Rechenschritte.

Screenshot:

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1192: Die Grenzkostenfunktion lautet $K'(x)=2.8x+26$. Außerdem ist bekannt, dass bei der Produktion von 34 ME Kosten in Höhe von 5494 GE entstehen. Ermittle die Kostenfunktion und gib einen vollständigen Rechenweg an!

Kostenfunktion (inkl. Rechenweg):

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Aufgabe 1193: Berechne jeweils das unbestimmte Integral!

a) $\int (5t^2-2t+17)\,dt$
Lösung:
b) $\int \frac{8x^2-18}{2} \,dx$
Lösung:

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1198: Der Querschnitt eines zweispurigen Tunnels wird durch die Funktion $f(x)=4.89-6.2\cdot 10^{-4}\cdot x^6$ beschrieben, wobei $x$ und $f(x)$ in Metern gemessen werden und sich die Straße bei Höhe 0 befindet. Die Gesamtlänge des Tunnels beträgt 535 m.

a) Berechne die Bodenbreite des Tunnels.
Bodenbreite: [2] m
b) Ermittle die Gesamtoberfläche der Tunnelwand (nur seitlich und oben, also ohne Straße).
Oberfläche: [1]
c) Berechne, wie viel Material benötigt wird, wenn pro Quadratmeter 5.5 kg Putz aufgetragen werden.
Material: [1] t

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