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Interaktive Aufgaben zur Differentialrechnung


Interaktive Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können die Lösungen ausgeklappt werden. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf diese Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden, da beim erneuten Laden der Seite neue Zahlen verwendet werden. Einzelne interaktive Aufgaben können aufgerufen werden, indem im Suchfeld rechts oben @X eingegeben wird, wobei X für die Aufgabennummer steht.

Mathematischer Hintergrund

Die Differentialrechnung beschäftigt sich im Wesentlichen mit der lokalen Veränderungen von Funktionen. Der zentrale Begriff ist dabei die Ableitungsfunktion, welche einer gegebenen differenzierbaren Funktion ihre lokale Steigung zuordnet. Darauf aufbauend kann ebenso der Steigungswinkel und die Krümmung der Funktion ermittelt werden.

Anwendungsgebiete

Die Differentialrechnung hat zahlreiche inner- und außermathematische Einsatzgebiete. Beispielsweise kann die Ableitungsfunktion verwendet werden, um Hochpunkte und Tiefpunkte von Funktionen zu bestimmen (da dort die Steigung und somit die Ableitung null ist). Auf diese Weise kann man durch Ermitteln des lokalen Minimums bzw. Maximums auch reale Sachverhalte optimieren (z. B. minimale Produktionskosten, maximaler Gewinn, kürzester Weg). Auch in den Naturwissenschaften spielen Ableitungsfunktionen eine wesentliche Rolle. Beispielsweise ist die Momentangeschwindigkeit eines Objektes die momentane Änderung des Weges (also die Ableitung der Wegfunktion).

1. Änderungsmaße

Aufgabe 42: Es soll die Funktion $f(x)=4\cdot 1.39^x$ im Intervall $[4, 6]$ untersucht werden.

a) Berechne die absolute Änderung in diesem Intervall! [2]
b) Berechne die relative Änderung in diesem Intervall! [2]
c) Berechne die mittlere Änderungsrate (den Differenzenquotient) in diesem Intervall! [2]
d) Berechne die lokale Änderungsrate (den Differentialquotient) an der Stelle 3! [2]

Lösung: ausklappen

2. Ableitungsfunktion

Aufgabe 43: Gegeben ist die Polynomfunktion $f(x)=3 x^4+ 2 x^3- 9x^2 +8x-11$. Berechne die folgenden Ableitungen:

a) $f'(3)=$ [0]

b) $f''(-4)=$ [0]

c) $f'''(4)=$ [0]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 45: Berechne jeweils $f'(3.68)$ der folgenden Funktionen!

a) $f(x)=x^5\cdot 2.46^x$
[2]

b) $f(x)=\sqrt[8]{5 x^7}$
[3]

c) $f(x)=\frac{x}{x^2+3.6}$
[4]

d) $f(x)=\sqrt{x^2+6 x+22}$
[3]

e) $f(x)=e^{-(x-2.8)^2}$
[3]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1117: Berechne die ersten vier Ableitungen der folgenden Funktion. $$f(x)=1+\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot \ln(x)-\frac{x^2}{4}$$

Lösung (inkl. Rechenweg):

Lösung: ausklappen

Aufgabe 1150: Es ist die Funktionsgleichung einer logistischen Funktion gegeben: $$N(t)=\frac{852}{1+56\cdot 0.87^t}$$ Ermittle die zugehörige Ableitungsfunktion $N'$ und vereinfache diese so weit wie möglich. Erstelle ein Foto des vollständigen Rechenweges.

Ableitungsfunktion (inkl. Rechenweg):

Lösung: ausklappen

3. Steigungswinkel

Aufgabe 44: Es ist die Funktion $f(x)=6x^2-5x+22$ gegeben. Berechne den Steigungswinkel an der Stelle 4 in Grad.

Steigungswinkel: [2]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 66: Das Profil der unten abgebildeten Halfpipe wird durch die Funktion $f(x)=0.063 \,x^4$ beschrieben. Dabei werden $x$ und $f(x)$ in Metern gemessen.

a) Berechne die Breite $b$ der Halfpipe, wenn diese die Höhe $h=2.0\,\text{m}$ besitzen soll.
Breite: [3] m
b) Berechne den maximalen Steigungswinkel $\alpha$.
Winkel: [1] Grad

Lösung: ausklappen

Aufgabe 82: Berechne, an welchen Stellen die Funktion $f(x)=1.1x^3-5.18x^2+4.86x-2.32$ den Steigungswinkel 65° besitzt.

Linke Stelle: [2]
Rechte Stelle: [2]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 83: Es sind die beiden Funktionen $f(x)=1.85\cdot 1.179^x$ und $g(x)=2.11\cdot 0.771^x$ vorgegeben.

a) Berechne beide Koordinaten des Schnittpunkts.
$x$-Koordinate: [3]
$y$-Koordinate: [2]
b) Berechne den Betrag des kleineren Schnittwinkels ($\,\leq 90^°$) der beiden Funktionsgraphen.
Winkel (in Grad): [1]

Lösung: ausklappen

4. Bewegungsaufgaben

Aufgabe 65: Eine U-Bahn startet zum Zeitpunkt $t=0$ in Station A und bewegt sich gemäß der Wegfunktion $s(t)=-0.0131\,t^3+0.93 \,t^2$ zur Station B. Dabei wird $t$ in Sekunden und $s(t)$ in Meter gemessen.

a) Berechne, nach welcher Zeit die U-Bahn in Station B zum Stillstand kommt und welchen Weg sie zwischen den beiden Stationen zurückgelegt hat.
Fahrzeit: [2] s
Strecke: [1] m
b) Welche Höchstgeschwindigkeit (in km/h) erreicht die U-Bahn bei dieser Fahrt?
Höchstgeschwindigkeit: [1] km/h
c) Berechne die mittlere Geschwindigkeit (in km/h) im Zeitintervall $[5.6, 14]$ (gemessen in Sekunden).
Ergebnis: [1] km/h
d) Berechne die Beschleunigung zum Zeitpunkt des Losfahrens.
Ergebnis: [2] m/s²

Lösung: ausklappen

Aufgabe 984: Für die ersten Sekunden nach dem Absprung gilt für einen Fallschirmspringer näherungsweise die folgende Formel für den freien Fall, da hier der Luftwiderstand noch keine große Rolle spielt: $$s(t)=\frac{g}{2}\cdot t^2$$ Dabei ist $t$ die Zeit nach dem Absprung (gemessen in Sekunden), $g=9{,}81\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}$ ist die Gravitationsbeschleunigung und $s(t)$ ist der zurückgelegte Weg (gemessen in Metern).

a) Bestimme die Geschwindigkeitsfunktion des Fallschirmspringers.
Geschwindigkeitsfunktion: [2]
b) Berechne die Geschwindigkeit, die der Fallschirmspringer nach 4.7 s hat.
Geschwindigkeit: [2] km/h
c) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit, welche er im Zeitintervall $[2.3\,\textrm{s};~ 5.4\,\textrm{s}]$ hat.
Durchschnittsgeschwindigkeit: [2] km/h
d) Wie lange dauert es, bis er 110 m zurückgelegt hat?
Dauer: [2] s

Lösung: ausklappen

Aufgabe 992: Die Höhe einer Feuerwerksrakete wird näherungsweise durch die Funktion $h(t)=12.1 t^2$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit (in Sekunden) nach dem Start und $h(t)$ die zugehörige Höhe (in Metern) sind. Die Rakete explodiert 3.2 s nach dem Start.

a) Berechne, in welcher Höhe die Rakete explodiert.
Explosionshöhe: [2] m
b) Berechne, welche Geschwindigkeit die Rakete zum Zeitpunkt der Explosion hat.
Explosionsgeschwindigkeit: [2] m/s
c) Berechne die Beschleunigung der Rakete.
Beschleunigung: [2] m/s²
d) Wie lange dauert es, bis eine Höhe von 42 m erreicht wurde?
Dauer: [3] s
e) Nach welcher Zeit wurde eine Geschwindigkeit von 100 km/h erreicht? Achte auf die Einheiten!
Dauer: [3] s

Lösung: ausklappen

5. Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

Aufgabe 67: Es ist die Funktion $f(x)=5.8- 2.1 x^2$ gegeben. Finde jenes achsenparallele Rechteck, das zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse den größten Flächeninhalt besitzt.

Breite: [3]
Höhe: [2]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 100: Eine dreiteilige zylindrische Konservendose besteht aus zwei kreisförmigen Deckeln und einem röhrenförmigen Dosenkörper (der sogenannten Zarge). Für ein neues Produkt soll eine Dose mit einem Inhalt von 400 mL entworfen werden. Das Material für die beiden Deckel kostet 11.8 €/m² und das Material für den Dosenkörper kostet 9.21 €/m². Berechne, bei welcher Kombination von Radius und Höhe die Materialkosten der Dose am geringsten sind. Berechne außerdem diese minimalen Materialkosten.

Radius: [2] cm
Höhe: [2] cm
Kosten: [2]

Lösung: ausklappen

6. Vermischte Aufgaben

Aufgabe 46: Gegeben ist die Funktionsgleichung $f(x)=5\cdot 0.57^x$. Bestimme die Gleichung der Tangente $t(x)=k\cdot x+d$, welche den Graphen von $f$ an der Stelle 5.9 berührt.

$k=$ [2]
$d=$ [2]

Lösung: ausklappen

Aufgabe 322: Die Koordinaten $(\,x_S\mid y_S\,)$ des Scheitelpunktes der quadratischen Funktion $f(x) = ax^2+ bx + c$ können durch die Formeln $x_S=-\frac{b}{2a}$ und $y_S=\frac{4ac-b^2}{4a}$ berechnet werden. Leite diese Formeln her, indem du die Differentialrechnung verwendest. Erstelle jeweils ein Bild des vollständigen Rechenweges.

Formel für $x_s$ (inkl. Rechenweg):
Formel für $y_s$ (inkl. Rechenweg):

Lösung: ausklappen