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Aufgaben zur Wurzelrechnung


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Wurzelrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Aufgabensammlung

: Kreuze alle Terme an, welche äquivalent zum Term $x^{\frac{4}{3}}$ sind.

: Im Zehnkampf werden die Punkte beim Hochspringen durch die Formel 0,8465 · (x - 75)1,42 berechnet. Dabei ist x die übersprungene Höhe in ganzen Zentimetern. Das Ergebnis wird immer auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerundet.
a) Wie viele Punkte erhält man für 140 Zentimeter?
b) Wie hoch muss man mindestens springen, um mehr als 500 Punkte zu erhalten?

: In einem bestimmten Restaurant hat eine kleine Pizza einen Durchmesser von 21 cm. Der Flächeninhalt der großen Pizza soll um zwei Drittel größer sein als jener der kleinen Pizza. Welchen Durchmesser muss die große Pizza dafür haben?

: Für ein physikalisches Experiment sollen drei massive Stahlkugeln hergestellt werden. Die zweite Kugel soll die doppelte Masse (und somit auch das doppelte Volumen) der ersten Kugel haben. Die dritte Kugel soll die dreifache Masse (und somit auch das dreifache Volumen) der ersten Kugel haben. Der Radius der kleinsten Kugel ist mit 1,00 cm vorgegeben. Welchen Radius haben die beiden anderen Kugeln? Runde die Endergebnisse auf Hundertstelzentimeter und vermeide Rundungsfehler durch zu ungenaues Runden bei Zwischenschritten.
Hinweis: Die Formel für das Volumen einer Kugel lautet V = 4r³π/3.

: Beim sogenannten „Delischen Problem“, welches seinen Ursprung in einer griechischen Legende hat, geht es darum, zu einem gegebenen Würfel mit bekannter Seitenlänge jenen Würfel zu finden, der das doppelte Volumen besitzt.
a) Gegeben ist ein Würfel mit der Seitenlänge 50 cm. Welche Seitenlänge muss ein Würfel besitzen, der das doppelte Volumen des gegebenen Würfels hat?
b) Um welchen Faktor ändert sich die Seitenlänge des Würfels allgemein? Es ist hier der exakte Wert gesucht, keine gerundete Dezimalzahl.

: Ein Kapital von 5000 € wird mit einem variablen Zinssatz veranlagt (d. h. der Zinssatz ist im Vorhinein nicht bekannt und unterliegt ständigen Schwankungen). Nach 3 Jahren beträgt der Wert 5511,51 €. Was war der durchschnittliche Zinssatz, d. h. zu welchem fixen Zinssatz müsste man das Kapital 3 Jahre lang veranlagen, um ebenfalls diesen Wert zu erhalten?

: Die Erdanziehungskraft F auf ein Objekt mit Masse m, welches den Abstand R zum Erdmittelpunkt hat, kann durch die Formel $$F=\frac{G\cdot M\cdot m}{R^2}$$ berechnet werden, wobei G die Gravitationskonstante und M die Masse der Erde ist (beide Größen werden für das Lösen der folgenden Aufgabe nicht benötigt). Der Erdradius beträgt ca. 6371 km. Berechne, in welcher Höhe über der Erdoberfläche die Erdanziehungskraft nur noch halb so groß ist, wie auf der Erdoberfläche.

: Gegeben ist ein Würfel mit einer Seitenlänge von 5 cm. Welchen Radius muss eine Kugel haben, deren Volumen genau doppelt so groß ist, wie das Volumen des Würfels?

: Ein Kapital soll insgesamt drei Jahre lang angelegt werden. Im ersten Jahr beträgt der Zinssatz $z_1=7\,\%$, im zweiten Jahr beträgt er $z_2=2\,\%$. Wie groß muss er im dritten Jahr sein, damit der Durchschnittszinssatz $\bar z=5\,\%$ beträgt. Die Formel für den Durchschnittszinssatz lautet: $$ (1+\bar z)=\sqrt[3]{(1+z_1)\cdot (1+z_2)\cdot (1+z_3)} $$

: Man betrachte ein freies Teilchen mit Masse $m$ und Geschwindigkeit $v$. Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie ist dessen Energie $E$ und dessen Impuls $p$ folgendermaßen gegeben: $$E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~p=\frac{mv}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}}$$ Leite daraus die sogenannte relativistische Enegie-Impuls-Beziehung $E=\sqrt{c^2p^2+m^2c^4}$ her!

: Gegeben ist eine Kugelschale (Hohlkugel) mit Volumen $V=10\,\text{cm}^3$ und Außenradius $R=5\,\text{cm}$.
a) Schätze die Wanddicke dieser Kugelschale!
b) Stelle eine allgemeine Formel auf, mit welcher aus Volumen $V$ und Außenradius $R$ die Wanddicke $s$ berechnet werden kann!
c) Berechne die Wanddicke für die hier vorliegende Kugelschale und vergleiche mit deiner Schätzung!

: Das Volumen $V$ einer Kugel mit Radius $r$ kann durch folgende Formel berechnet werden: $$V=\frac{4\pi r^3}{3}$$ Ergänze die Lücken!
  ▪  Verdoppelt man den Radius, dann _________________________ sich das Volumen.
  ▪  Damit sich das Volumen verdoppelt, muss der Radius mit ___________ multipliziert werden.
  ▪  Damit sich das Volumen von 27 cm³ auf 1 cm³ reduziert, muss man den ursprünglichen Radius ___________________________.
  ▪  Eine Kugel mit einem Volumen von 10 cm³ hat den Radius ________________.

: Gegeben ist ein Quadrat mit Seitenlänge 5 cm. Berechne den Radius eines Kreises, der den doppelten Flächeninhalt des Quadrates hat.

: Für ein physikalisches Experiment sollen zwei massive Aluminiumkugeln (Dichte: ca. 2,7 g/cm³) hergestellt werden. Beide Kugeln zusammen sollen 5 kg schwer sein. Eine Kugel soll doppelt so schwer sein, wie die andere Kugel. Bestimme den Radius, den die beiden Kugeln haben müssen!

: Das 3. Keplersche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen den Umlaufzeiten $T_1$ und $T_2$ zweier Planeten um die Sonne und den großen Halbachsen $a_1$ und $a_2$ ihrer elliptischen Umlaufbahnen. Dieser Zusammenhang lautet folgendermaßen: $$\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=\left( \frac{a_1}{a_2} \right)^3$$
a) Erstelle eine Formel zur Berechnung von $a_2$. Das Ergebnis soll keinen Doppelbruch enthalten.
b) Die große Halbachse der Erdumlaufbahn beträgt 150 Mio. km. Die große Halbachse der Umlaufbahn des Saturns beträgt 1434 Mio. km. Berechne die Umlaufdauer des Saturns um die Sonne in Jahren. Die Umlaufdauer der Erde beträgt ein Jahr.

: In einer Packung tiefgekühlter Knödel befinden sich vier Stück mit einem Durchmesser von 65 mm. Der Hersteller möchte stattdessen in Zukunft sechs Stück pro Packung verkaufen, wobei die Gesamtmasse (und somit auch das Gesamtvolumen) gleich bleiben soll. Welchen Durchmesser müssen die neuen Knödel haben?

: Eine Kugel hat den Radius 53 cm. Welchen Radius muss eine andere Kugel haben, deren Volumen um 30 % kleiner ist?

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Möchte man den Flächeninhalt einer ebenen geometrischen Figur verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[2]{3}$ multipliziert werden.
    Möchte man den Flächeninhalt einer ebenen geometrischen Figur verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[3]{2}$ multipliziert werden.
    Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdoppeln, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[3]{2}$ multipliziert werden.
    Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdoppeln, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[2]{3}$ multipliziert werden.
    Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[2]{3}$ multipliziert werden.
    Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[3]{3}$ multipliziert werden.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    $\sqrt[n\,]{x\cdot \sqrt[m]{x\,}}=x^\frac{m+1}{n\cdot m}$
    $x^3\cdot \sqrt[4]{x^2\,}=\sqrt[4]{x^5}$
    $(\sqrt{x}-\sqrt{y})\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{y})=x-y$
    $x^{-\frac{2}{5}}=\sqrt[5\,]{\frac{1}{x^2}}$
    $\sqrt[3]{a^3-b^3}=a-b$
    $x^2\cdot \sqrt[3]{x^2\,}=\sqrt[3]{x^8}$
    $x^{-\frac{3}{4}}=\sqrt[3\,]{\frac{1}{x^4}}$
    $\sqrt[m\,]{x\cdot \sqrt[n]{x\,}}=x^\frac{m+1}{n\cdot m}$