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Aufgaben zu Wachstums- und Abnahmeprozessen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu Wachstums- und Abnahmeprozessen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

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Mathematischer Hintergrund

Wachstums- und Abnahmeprozesse können durch eine Vielzahl verschiedener Funktionstypen modelliert werden. Häufig kommen lineare Funktionen, Exponentialfunktionen, beschränkte Funktionen und logistische Funktionen zum Einsatz.

Anwendungsgebiete

Mit linearen Funktionen können Vorgänge beschrieben werden, bei denen der Zuwachs bzw. die Abnahme in gleichen Zeitintervallen konstant ist (z. B. Füllprozesse). Außerdem werden einige komplexe Sachverhalte für einen kleineren Zeitabschnitt durch eine lineare Funktion angenähert (z. B. Bevölkerungswachstum). Exponentiells Wachstum kommt u. a. bei Zinseszinsen sowie beim Wachstum von Bevölkerungen zum Einsatz. In der Physik gibt es zahlreiche Anwendungen für exponentielle Abnahmen (z. B. radioaktiver Zerfall, Intensität von Licht in Wasser, Entladen eines Kondensators). Nähert sich die Temperatur eines Objektes der Umgebungstemperatur an, so liegt ein beschränktes Wachstum bzw. eine beschränkte Abnahme vor. Logistische Funktionen kommen beispielsweise beim Wachstum von Populationen mit stark beschränkten Ressourcen (Fischteich, Insel) zum Einsatz.

Aufgabensammlung

: Eine 7 cm große Kerze wird angezündet und schmilzt pro Minute um 0,4 Millimeter. Gib die Funktionsgleichung der linearen Funktion $h(t)$ an, welche die Höhe $h$ der Kerze (in Zentimeter) in Ab­hän­gig­keit von der Zeit $t$ (in Minuten nach dem Anzünden) beschreibt.

: Um 9:00 Uhr wird begonnen, ein Schwimmbecken mit Wasser zu füllen. Um 11:30 Uhr beträgt der Wasserstand 50 cm. Wann wird der gewünschte Wasserstand von 120 cm erreicht sein? Gib das Ergebnis in Form einer Uhrzeit an.

: Im Jahr 2000 hatte Mexiko 100,35 Mio. Einwohner. Zehn Jahre später waren es 112,32 Mio. Einwohner.
a) Wieviele Menschen leben unter der Annahme eines linearen Bevölkerungswachstums voraussichtlich im Jahr 2050 in Mexiko?
b) Wieviele Menschen leben unter der Annahme eines exponentiellen Bevölkerungswachstums voraussichtlich im Jahr 2050 in Mexiko?

: Die Einwohnerzahl eines bestimmten Landes nimmt jährlich um 1,5 % zu. Derzeit leben in diesem Land 3,2 Mio. Menschen.
a) Gib eine Funktionsgleichung an, welche der Zeit t (in Jahren) die Einwohnerzahl E(t) zuordnet.
b) Wie viele Menschen werden in 20 Jahren in diesem Land leben?
c) Wie viele Menschen lebten vor 20 Jahren in diesem Land?
d) In wie vielen Jahren wird dieses Land 5 Mio. Einwohner haben?
e) Warum kann eine Exponentialfunktion nur für einen beschränkten Zeitraum die Bevölkerung eines Landes beschreiben?

: Kreuze alle Sachverhalte an, bei denen exponentielles Wachstum vorliegt!
    Das Taschengeld wird jährlich um 10 Euro erhöht.
    Die Bakterienkultur wächst alle 20 Minuten um 10 %.
    Das Kapital wird jedes Quartal mit 0,5 % verzinst.
    Der Wasserstand sinkt nach jeweils 15 Minuten um 5 cm.
    Die Umfragewerte einer Partei stiegen heuer pro Monat um 2 Prozentpunkte.

: Die Volksrepublik China hatte im Jahr 2000 genau 1.268.853.362 Einwohner. Im Jahr 2010 waren es 1.339.724.852. Indien hatte 2000 ungefähr 1.014.003.800 Einwohner und im Jahr 2017 ca. 1.339.180.000. Berechne anhand dieser Zahlen und der Annahme eines exponentiellen Bevölkerungswachstums, wann Indien mehr Einwohner als China haben wird.

: Wie oft müsste man ein 0,1 mm dickes Blatt Papier mindestens falten, damit der entstehende „Turm“ höher als 1 m ist?

: Wie viele Jahre muss ein Kapital von 10.000 € mit einem Zinssatz von 2 % angelegt werden, bis es erstmals einen Wert von 12.000 € übersteigt?

: Das Newtonsche Abkühlungsgesetz besagt, dass sich die Temperatur eines $T$ eines Objektes im Laufe der Zeit $t$ gemäß einer beschränkten Abnahme- bzw. Zunahmefunktion der konstanten Umgebungstemperatur $T_U$ annähert. Dabei steht $T_0$ für die Starttemperatur zum Zeitpunkt $t=0$. Ein toter Mensch wird mit einer Körpertemperatur von 25 °C gefunden. Eine Stunde später beträgt diese nur noch 22 °C. Die Um­ge­bungs­tempera­tur lag konstant bei 20 °C und die Körpertemperatur des lebenden Menschen wird mit 36 °C angenommen.
a) Bestimme die Abkühlungsfunktion $T(t)$ für diesen konkreten Fall, wobei $t$ die Zeit seit dem Todeszeitpunkt.
b) Wie lange vor dem Auffinden der Leiche ist die Person gestorben?

: Die Einwohnerzahlen zweier Länder können durch die Funktionen $E_1(t)=14{,}3+0{,}07t$ und $E_2(t)=12{,}5\cdot 1{,}012^t$ beschrieben werden, wobei $t$ die Zeit in Jahren ab 2015 angibt. In welchem Jahr werden beide Länder gleich viele Einwohner haben?

: Ein Gummiball wird aus einer bestimmten Höhe fallen gelassen. Nach jeder Bodenberührung erreicht er 70 % der vorherigen Höhe.
a) Stelle eine Funktion auf, welche die Sprunghöhe nach x Bodenberührungen beschreibt.
b) Wäre die Sprunghöhe kleiner als 1 mm, so bleibt der Ball am Boden liegen. Berechne, wie oft der Ball hochspringen würde, wenn man ihn aus 1,3 m Höhe fallen lässt.

: Ein Lichtstrahl mit Intensität I0 durchdringt senkrecht eine Glasplatte der Dicke d. Dabei verliert er beim Eintritt und beim Austritt jeweils 3 % seiner Intensität aufgrund von Reflexion. Pro Millimeter Glas verliert er außerdem 0,5 % seiner Intensität aufgrund von Absorption.
a) Berechne die Intensität des Lichtstrahls nachdem er eine 5 Millimeter dicke Glasplatte durchquert hat.
b) Stelle eine Funktion I(d) auf, mit welcher die Intensität für beliebige Plattendicken d berechnet werden kann.

: Bei der Bakterienart E. coli verdoppelt sich die Größe der Bakterienkultur alle 20 Minuten. In einer Probe befinden sich zu Beginn 50 Bakterien.
a) Wie viele Bakterien befinden sich nach 3 Stunden in der Probe?
b) Stelle eine Funktion auf, welche die Anzahl der Bakterien nach der Zeit t (in Stunden) beschreibt.
c) Berechne, nach welcher Zeit die Anzahl von 1.000.000 Bakterien erreicht ist.

: Bei der Radiokarbonmethode verwendet man das radioaktive Kohlenstoffisotop 14C, dessen Halbwertszeit 5730 Jahre beträgt, um das Alter von Lebewesen zu bestimmen. In der Atmosphäre ist die Konzentration konstant. Somit ist die 14C-Konzentration auch in lebenden Pflanzen, Tieren und Menschen konstant. Mit dem Tod eines Lebewesens stoppt jedoch auch dessen Kohlenstoffaufnahme und daher nimmt die 14C-Konzentration aufgrund des radioaktiven Zerfalls ab. Durch Vergleich mit neuwertigen Proben kann daraus das Alter bestimmt werden. Bei einer Ausgrabung werden Knochen gefunden, deren 14C-Konzentration nur 37 % der Konzentration von neuwertigen Knochenproben beträgt. Berechne damit das Alter der Knochenprobe.

: Eine Tasse Tee mit einer Temperatur von 95 °C wird in einen Raum mit einer Umgebungstemperatur von 25 °C gestellt. Der Abkühlprozess kann durch eine beschränkte Abnahme modelliert werden. Nach 10 Minuten hat der Tee eine Temperatur von 70 °C.
a) Erstelle eine Funktion, welche die Temperatur zu jeder beliebigen Zeit (in Minuten) angibt.
b) Wie heiß ist der Tee nach einer Stunde?
c) Nach welcher Zeit wurde eine Temperatur von 50 °C erreicht?

: Es soll die Halbwertszeit des radioaktiven Iod-Isotops 130I bestimmt werden. Dazu wird zu Beginn die Aktivität (Anzahl an Zerfällen pro Sekunde) dieser Probe gemessen. Nach exakt 32 Stunden wird die Aktivität erneut gemessen. Sie beträgt dann nur noch 16,6 % des ursprünglichen Werts. Bestimme anhand dieser Angaben die Halbwertszeit.

: Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Um 13:30 Uhr betrug der Wasserstand 0,4 m. Um 16:00 Uhr betrug er 0,7 m. Zu welcher Uhrzeit wird die vollständige Füllhöhe von 1,2 m erreicht sein?

: Die Halbwertszeit des Radon-Isotops 221Rn beträgt nahezu exakt 25 Minuten. Gib die Zerfallsfunktion einer bestimmten Ausgangsmenge $N_0$ in der Form $N(t) = N_0 \cdot e^{-k\cdot t}$ an, wobei $t$ die Zeit in Minuten ist.

: Eine bestimmte Bakterienkultur vermehrt sich gemäß der exponentiellen Wachstumsfunktion N(t) = N0 · 1,35t, wobei t die Zeit in Stunden angibt.
a) Um wie viel Prozent wächst die Population pro Stunde?
b) Wie viele Bakterien sind nach 12 Stunden vorhanden, wenn es zu Beginn 50 waren?
c) Nach welcher Zeit wird eine Anzahl von 1.000.000 erreicht sein, wenn es anfangs 50 Bakterien waren?

: Die Bevölkerung Brasiliens wächst seit 1950 annähernd linear. Im Jahr 2000 lebten dort ca. 176 Mio. Menschen. Im Jahr 2015 waren es etwa 208 Mio. Menschen. Wie groß wird die Einwohnerzahl im Jahr 2050 sein, wenn man annimmt, dass weiterhin ein lineares Wachstum vorliegt?

: Von einer Probe des radioaktiven Polonium-Isotops 210Po wird zu einem bestimmten Zeitpunkt die Strahlungsintensität gemessen. Genau 21 Tage später beträgt die Strahlungsintensität nur noch 90 % des ursprünglich gemessenen Werts.
a) Ermittle die exponentielle Zerfallsfunktion in der Form N(t) = N0 · at.
b) Berechne die Halbwertszeit dieses Isotops.

: Gib an, um welchen Zusammenhang (linear oder exponentiell) es sich bei folgenden Sachverhalten handelt.
  ▪  Die Bevölkerung wächst jährlich um ca. 50 000 Einwohner.
  ▪  Die Bevölkerung wächst jährlich um ca. 1,3 %.
  ▪  Die Bevölkerung verdoppelt sich alle 70 Jahre.
  ▪  Pro Jahrhundert steigt die Bevölkerung um ca. 1 Mio. Einwohner.

: Eine aktuell 12 cm dicke Schneeschicht schmilzt pro Stunde um 0,8 cm. Wie dick wird die Schneeschicht nach 6,5 Stunden noch sein?

: Gib an, um welchen Zusammenhang (linear oder exponentiell) es sich bei folgenden Sachverhalten handelt.
  ▪  Der Umsatz eines Unternehmens steigt pro Jahr um 20 %.
  ▪  Ein menschliches Haar wächst pro Tag um 0,05 mm.
  ▪  Der Wasserstand der Donau steigt pro Stunde um 2 cm.
  ▪  Die Anzahl an Bakterien verdreifacht sich alle fünf Stunden.

: Eine Kerze brennt pro Stunde 1,2 cm nieder. Zu Beginn ist sie 28 cm hoch. Nach welcher Zeit ist die Kerze nur noch 10 cm hoch, wenn man von einem linearen Zusammenhang ausgeht?

: Bei einem vom Boden wachsenden Tropfstein wurde vor 20 Jahren eine Höhe von 0,61 m gemessen. Heute ist der Tropfstein 0,93 m hoch. Wie hoch wird der Tropfstein in 15 Jahren sein, wenn man von einem linearen Wachstum ausgeht?

: Die beiden Tanks A und B sind am Boden durch einen Schlauch verbunden. Zu Beginn ist Tank A vollständig mit Öl gefüllt und Tank B ist leer. Öffnet man das Ventil, so fließt so lange Öl aus Tank A in Tank B, bis beide Tanks gleich hoch gefüllt sind. Die Füllhöhe der beiden Tanks (in Meter) lässt sich während dieses Vorgangs durch die Funktionen $h_A(t) = 2{,}3 - 0{,}15t$ und $h_B(t) = 0{,}25t$ beschreiben, wobei $t$ die Zeit in Minuten nach dem Öffnen ist.
a) Wie hoch ist der Ölstand zu Beginn in Tank A?
b) Berechne, nach welcher Zeit die Füllhöhe in beiden Tanks ausgeglichen ist.

: Der Zerfall des radioaktiven Caesium-Isotops 137Cs kann durch die folgende Exponentialfunktion beschrieben werden: N(t) = N0 · e-0,02297·t. Dabei ist t die Zeit in Jahren und N0 die Masse der Probe zu Beginn der Messung (also zum Zeitpunkt t = 0).
a) Berechne anhand der Zerfallsfunktion die Halbwertszeit dieses Isotops!
b) Bei der Nuklearkatastrophe von Tschernobyl am 26. April 1986 gelangten ca. 26,6 kg dieses Isotops in die Umwelt. Welche Masse ist heute noch übrig?
c) Begründe, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist: „Nach der doppelten Halbwertszeit ist ein radioaktiver Stoff vollständig zerfallen.“

: Die Einwohnerzahl der Vereinigten Staaten von Amerika (gemessen in Millionen Einwohnern) kann näherungsweise durch die Exponentialfunktion N(t) = 281,4 · 1,0093t beschrieben werden, wobei der Zeitpunkt t = 0 für den 1. Jänner 2000 steht.
a) Um wie viel Prozent wächst die Bevölkerung dieses Landes jährlich?
b) In welchem Jahr wird laut diesem Modell die 500-Millionen-Einwohner-Marke erreicht?

: Es sollen 10.000 € zu einem fixen jährlichen Zinssatz angelegt werden. Wie groß müsste dieser Zinssatz sein, damit nach fünf Jahren 12.000 € vorhanden sind?

: Gegeben sind die folgenden drei Wertetabellen. Gib jeweils an, ob es sich hier um eine lineare Abnahme, ein lineares Wachstum, eine exponentielle Abnahme oder ein exponentielles Wachstum handelt!

: Ein Kapital von 10.000 € wird mit einem Jahreszinssatz von 3 % angelegt.
a) Gib die zugehörige Funktionsgleichung an.
b) Nach wie vielen Jahren ist ein Wert von 12.000 € auf dem Konto?
c) Mit welchem Zinssatz müsste das Startkapital jährlich verzinst werden, damit nach 3 Jahren ein Wert von 10.500 € erreicht wird?

: Bei Gammastrahlung mit einer Energie von 0,5 MeV beträgt die Halbwertsschichtdicke von Blei 3,85 mm. Das ist jene Dicke, die eine Bleiplatte haben muss, um 50 % der eintreffenden Strahlung abzufangen. Wie dick muss eine Bleiplatte sein, sodass nur noch 1 % der Strahlung hindurchgelassen wird.

: Die Abnahme der Intensität von blauem Licht unter Wasser kann durch die Funktion $I(x)=I_0\cdot e^{-0{,}03x}$ beschrieben werden. Für rotes Licht lautet der Zusammenhang $I(x)=I_0\cdot e^{-0{,}6x}$. Dabei ist $x$ die Tiefe unter der Wasseroberfläche (in Meter). Berechne jeweils, wie viel Prozent der ursprünglichen Intensität $I_0$ in einer Tiefe von 10 m noch vorhanden sind.

: Die Intensität von Sonnenlicht nimmt in Wasser pro Meter um ca. 12 % ab.
a) Gib eine Funktion zur Berechnung der Intensität in einer Tiefe von $x$ Metern an.
b) Berechne, in welcher Tiefe nur noch 10 % der ursprünglichen Intensität vorhanden sind.
c) Welcher Anteil des Sonnenlichts erreicht den Grund eines 70 m tiefen Sees?

: Der Ladevorgang eines Handyakkus kann durch eine beschränkte Wachstumsfunktion beschrieben werden. Für ein bestimmtes Handy wurde die Funktion $f(t)=1-e^{-0{,}0235t}$ ermittelt, wobei $t$ die Zeit in Minuten angibt. Zum Zeitpunkt $t=0$ ist der Akku komplett leer.
a) Welchen Ladestand (gemessen in Prozent) zeigt das Handy nach 15 Minuten Ladezeit?
b) Nach welcher Zeit ist der Akku halb aufgeladen?
c) Wie lange dauert es, bis das Handy einen Ladestand von 100 % anzeigt? Theoretisch wird dieser Wert nie erreicht, jedoch wird ab 99,5 % auf 100 % aufgerundet.
d) Das Handy zeigt bereits einen Ladestand von 30 % an. Wie lange dauert es, um 70 % zu erreichen?

: Daniel ist Hobbyläufer. Er notiert sich für jede Distanz seine Rekordzeit und die dazugehörige Durchschnittsgeschwindigkeit. Dabei ist ihm aufgefallen, dass diese mit zunehmender Distanz immer langsamer abnimmt und näherungsweise durch die beschränkte Abnahmefunktion $v(x)=12{,}3\cdot e^{-0.0003x}+11{,}5$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die Gesamtdistanz in Meter und $v$ die zugehörige Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h.
a) Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit kann Daniel 5 km weit laufen?
b) Welche Distanz kann er mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 18 km/h höchstens zurücklegen?
c) Wie lange benötigt er für 1000 m? Rechne das Ergebnis um ins Zeitformat MM:SS.
d) Wie groß ist seine „Grundgeschwindigkeit“, also jene Geschwindigkeit, mit der er theoretisch unendlich lange laufen könnte?

: Eine Person wiegt momentan 117 kg. Sie möchte zur Reduzierung ihres Übergewichts eine bestimmte Diät starten. Nach fünf Wochen wiegt sie nur noch 110 kg und nach zehn Wochen sind es noch 105 kg. Es wird davon ausgegangen, dass es sich um einen beschränkten Abnahmeprozess handelt.
a) Bestimme die Abnahmefunktion in der Form $f(x)=S+c\cdot a^x$, wobei $x$ die Zeit in Wochen beträgt.
b) Welche Masse kann die Person mit dieser Diät höchstens erreichen?
c) Nach wie vielen Wochen Diät hat die Person weniger als 100 kg?

: Durch das sogenannte Piotrowski-Gesetz, welches die Struktur einer logistischen Funktion aufweist, lässt sich der Sprachwandel mathematisch beschreiben. Beispielsweise beschreibt die folgende Funktion die Anzahl der deutschen Wörter, die aus dem Arabischen übernommen wurden (z. B. Alkohol, Magazin, Rabatt, Ziffer, Zucker): $$N(t)=\frac{160}{1+7{,}41\cdot e^{-0{,}696t}}$$ Dabei ist $t$ die Zeit (gemessen in Jahrhunderten), wobei $t=0$ für das 13. Jahrhundert steht und $N(t)$ die Anzahl an insgesamt verwendeten arabischen Begriffen.
a) Wie viele arabische Begriffe wurden im 16. Jahrhundert in der deutschen Sprache verwendet?
b) Was ist gemäß dieser Modellfunktion die Höchstanzahl an arabischen Begriffen?

: Ein Spielzeughersteller bringt für das Weihnachtsgeschäft 10 Wochen vor Weihnachten ein neues Produkt auf den Markt. Die Zielgruppenanalyse hat zuvor ergeben, dass es 80.000 potentielle Käufer gibt. Nach der ersten Woche wurden bereits 3200 Stück verkauft. Nach drei Wochen sind es insgesamt 7100 Stück. Es wird angenommen, dass die Verkaufszahl gemäß einer logistischen Funktion wächst.
a) Bestimme die logistische Wachstumsfunktion und skizziere ihren Graphen.
b) Wie viele Stück werden gemäß dieser Funktion in der vierten Woche verkauft?
c) In welcher Woche werden am meisten Stück verkauft, und wie viele sind das?
d) Wie viele Stück werden bis Weihnachten (also bis Ende der zehnten Woche) insgesamt verkauft?
e) Wie viel Prozent der Zielgruppe kauften dieses Produkt bis Weihnachten?

: Nach 17,8 h sind noch exakt 25,0 % eines bestimmten radioaktiven Materials vorhanden. Berechne die Halbwertszeit dieses Materials!

: Niklas läuft 1000 m in 2:55 und 5000 m in 18:00. Außerdem liegt seine Grundgeschwindigkeit (jene Geschwindigkeit, mit welcher er theoretisch beliebig weit laufen könnte) bei 12,5 km/h.
a) Stelle eine beschränkte Abnahmefunktion auf, welche die Geschwindigkeit $v$ (in km/h) in Abhängigkeit der Laufdistanz $x$ (in m) beschreibt.
b) Berechne, wie lange Niklas für 3000 m brauchen wird.

: Ein Mathematiklehrer berechnet die Mitarbeitsnote mithilfe des Tangens hyperbolicus. Diese Funktion ist streng monoton steigend und hat als Wertebereich das Intervall $[-1,1]$. Damit man den Wertebereich $[0,1]$, also 0 % bis 100 % erhält, muss man den Funktionsterm um 1 nach oben verschieben und durch 2 dividieren, also $\frac{\tanh(x)+1}{2}$. Um anzupassen, ab welcher Leistung man eine bestimmte Note erhält, fügt man im Funktionsargument noch den Parameter $a$ ein und erhält schließlich folgenden Term: $$\frac{\tanh(\frac{x}{a})+1}{2}$$
a) Ab 10 Mitarbeitsplus soll ein Schüler ein „Sehr gut“ erhalten. Dieses beginnt ab 87,5 %. Berechne den Parameter $a$, sodass diese Forderung erfüllt ist.
b) Berechne, ab wie vielen Mitarbeitsplus man ein „Gut“ erhält, wenn dieses bei 75 % beginnt.

: Das Höhenwachstum einer bestimmen Pflanzenart wird durch die beschränkte Funktion $h(t)=50-47\cdot e^{-0{,}03t}$ beschrieben. Dabei ist $t$ die Zeit nach dem Einsetzen gemessen in Tagen und $h(t)$ die zugehörige Höhe in Zentimetern.
a) Wie groß sind die Pflanzen zum Zeitpunkt des Einsetzens?
b) Was ist die Maximalhöhe dieser Pflanzenart?
c) Wie groß ist die Pflanze 20 Tage nach dem Einsetzen?
d) Wie viele Tage nach dem Einsetzen hat die Pflanze eine Höhe von 40 cm erreicht?

: Der Akku eines Laptops ist vollständig geladen (100 %). Nach 20-minütiger Nutzung beträgt der Akkustand noch 85 %. Es wird davon ausgegangen, dass der Entladevorgang durch eine beschränkte Abnahmefunktion beschrieben werden kann.
a) Bestimme jene Funktion, die den Entladevorgang des Laptops in Abhängigkeit der Zeit in Stunden beschreibt.
b) Berechne, wann der Akku-Ladestand nur noch 10 % beträgt.

: Es soll ein Atomschutzbunker aus Beton gebaut werden. Dabei ist bekannt, dass sich die Intensität von Gammastrahlung in Beton nach jeweils 5 cm halbiert.
a) Bestimme bei der Exponentialfunktion $I(x)=I_0\cdot a^x$ den Parameter $a$. Die Variable $x$ steht für die Dicke der Betonwand gemessen in cm.
b) Wie dick muss die Betonwand sein, damit nur noch 0,01 % der Strahlung durchgelassen werden?

: Für die Joghurtherstellung werden Milchsäurebakterien benötigt, deren Wachstum durch die folgende Funktion beschrieben werden kann: $$N(t)=20\cdot 1{,}0157^t$$ Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten und $N(t)$ die zugehörige Masse an Bakterien (gemessen in µg).
a) Gib das prozentuelle Wachstum pro Minute an!
b) Gib das prozentuelle Wachstum pro Stunde an!
c) Welche Masse ist nach drei Stunden vorhanden? Vergiss die Einheit nicht!
d) Erkläre, was bei folgender Umformung falsch ist, und korrigiere den Fehler! $$\tfrac{a}{20} = 1{,}0157^t$$ $$\tfrac{\log(a)}{\log(20)} = t\cdot \log(1{,}0157)$$

: Bei Grabungen wurde ein Skelett entdeckt. Messungen haben ergeben, dass die Menge des radioaktiven Kohlenstoffisotops 14C nur noch 37 % jener eines lebenden Menschen entspricht. Die Halbwertszeit von 14C beträgt 5730 Jahre. Berechne, wie alt dieses Skelett ist!

: Die Ausbreitung einer Krankheit kann durch nachfolgende logistische Funktion beschrieben werden. Dabei sind $t$ die Tage nach Ausbruch der Krankheit und $N(t)$ die Anzahl an erkrankten Personen. $$N(t)=\frac{1000}{1+999\cdot 0{,}36^t}$$
a) Wie viele Personen haben sich nach fünf Tagen mit dieser Krankheit angesteckt?
b) Nach wie vielen Tagen haben 500 Personen diese Krankheit?
c) Was wird durch den Term $N(7)-N(6)$ beschrieben?
d) Beschreibe, was die in der Funktionsgleichung vorkommende Zahl 1000 im Sachzusammenhang bedeutet.

: Herr Müller weiß aufgrund der Analyse der Vorjahre, dass sich der Holzbestand seines Waldes jährlich um 2,5 % vermehrt. Der aktuelle Bestand beträgt 29.450 m³.
a) Erstelle eine Funktionsgleichung, welche den Holzbestand in Abhängigkeit der Jahre (beginnend ab jetzt) beschreibt.
b) In wie vielen Jahren wird ein Holzbestand von 35.000 m³ erreicht sein?

: Nachfolgend sind für vier Länder die Wachstumsfunktionen der Einwohnerzahlen gegeben. Dabei ist $E(t)$ die Einwohnerzahl (gemessen in Millionen Einwohnern) und $t$ die Zeit (gemessen in Jahren ab 2000). Beschreibe jeweils anhand eines vollständigen Satzes, wie sich die Einwohnerzahl gemäß dieser Funktionen jährlich verändert!
a) $E(t)=35{,}2\cdot 1{,}023^t$
b) $E(t)=1{,}7t+57{,}3$
c) $E(t)=75{,1}$
d) $E(t)=134{,}3\cdot 0{,}982^t$

: Die durchschnittlichen Mietpreise sind in Österreich zwischen 2013 und 2017 um 14,6 % gestiegen. Erstelle unter der Annahme eines exponentiellen Wachstums eine Funktionsgleichung, welche jedem Jahr die zugehörigen durchschnittlichen Mietpreise zuordnet. Dabei soll $t=0$ das Jahr 2000 repräsentieren.