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Aufgaben zu Wachstums- und Abnahmeprozessen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu Wachstums- und Abnahmeprozessen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

Mathematischer Hintergrund

Wachstums- und Abnahmeprozesse können durch eine Vielzahl verschiedener Funktionstypen modelliert werden. Häufig kommen lineare Funktionen, Exponentialfunktionen, beschränkte Funktionen und logistische Funktionen zum Einsatz.

Anwendungsgebiete

Mit linearen Funktionen können Vorgänge beschrieben werden, bei denen der Zuwachs bzw. die Abnahme in gleichen Zeitintervallen konstant ist (z. B. Füllprozesse). Außerdem werden einige komplexe Sachverhalte für einen kleineren Zeitabschnitt durch eine lineare Funktion angenähert (z. B. Bevölkerungswachstum). Exponentiells Wachstum kommt u. a. bei Zinseszinsen sowie beim Wachstum von Bevölkerungen zum Einsatz. In der Physik gibt es zahlreiche Anwendungen für exponentielle Abnahmen (z. B. radioaktiver Zerfall, Intensität von Licht in Wasser, Entladen eines Kondensators). Nähert sich die Temperatur eines Objektes der Umgebungstemperatur an, so liegt ein beschränktes Wachstum bzw. eine beschränkte Abnahme vor. Logistische Funktionen kommen beispielsweise beim Wachstum von Populationen mit stark beschränkten Ressourcen (Fischteich, Insel) zum Einsatz.

1. Lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse

#265 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Eine 16 cm große Kerze wird angezündet und schmilzt pro Minute um 0.64 Millimeter. Gib die Funktionsgleichung der linearen Funktion $h(t)$ an, welche die Höhe $h$ der Kerze (in Zentimeter) in Ab­hän­gig­keit von der Zeit $t$ (in Minuten nach dem Anzünden) beschreibt.

Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Um 13:19 Uhr betrug der Wasserstand 43 cm. Um 16:58 Uhr betrug er 1.07 m. Zu welcher Uhrzeit wird die vollständige Füllhöhe von 1.68 m erreicht sein? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an.

Die Bevölkerung Brasiliens wächst seit 1950 annähernd linear. Im Jahr 2000 lebten dort ca. 176 Mio. Menschen. Im Jahr 2015 waren es etwa 208 Mio. Menschen. Wie groß wird die Einwohnerzahl im Jahr 2035 sein, wenn man annimmt, dass weiterhin ein lineares Wachstum vorliegt?

Eine aktuell 15.3 cm dicke Schneeschicht schmilzt pro Stunde um 12 mm.
a) Wie dick wird die Schneeschicht nach 4.7 Stunden noch sein?
b) Nach wie vielen Stunden wird der Schnee vollständig geschmolzen sein?

Eine Kerze brennt pro Stunde 2.3 cm nieder. Zu Beginn ist sie 31 cm hoch. Nach welcher Zeit ist die Kerze nur noch 10 cm hoch, wenn man von einem linearen Zusammenhang ausgeht?

Bei einem vom Boden wachsenden Tropfstein wurde vor 17 Jahren eine Höhe von 0.7 m gemessen. Heute ist der Tropfstein 1.03 m hoch. Wie hoch wird der Tropfstein in 15 Jahren sein, wenn man von einem linearen Wachstum ausgeht?

2. Lineare Funktion vs. Exponentialfunktion

Im Jahr 2000 hatte Mexiko 100,35 Mio. Einwohner. Zehn Jahre später waren es 112,32 Mio. Einwohner.
a) Wie viele Menschen leben unter der Annahme eines linearen Bevölkerungswachstums voraussichtlich im Jahr 2057 in Mexiko?
b) Wie viele Menschen leben unter der Annahme eines exponentiellen Bevölkerungswachstums voraussichtlich im Jahr 2057 in Mexiko?

#335 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib jeweils an, ob es sich um einen linearen oder um einen exponentiellen Zusammenhang handelt.
Das Taschengeld wird jährlich um 10 Euro erhöht.
Die Bakterienkultur wächst alle 20 Minuten um 10 %.
Das Kapital wird jedes Quartal mit 0,5 % verzinst.
Der Wasserstand sinkt nach jeweils 15 Minuten um 5 cm.
Die Umfragewerte einer Partei stiegen heuer pro Monat um 2 Prozentpunkte.

#549 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib jeweils an, ob es sich um ein lineares oder um ein exponentielles Bevölkerungswachstum handelt.
Die Bevölkerung wächst jährlich um ca. 50 000 Einwohner.
Die Bevölkerung wächst jährlich um ca. 1,3 %.
Die Bevölkerung verdoppelt sich alle 70 Jahre.
Pro Jahrhundert steigt die Bevölkerung um ca. 1 Mio. Einwohner.

#553 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib jeweils an, ob es sich um einen linearen oder um einen exponentiellen Zusammenhang handelt.
Der Umsatz eines Unternehmens steigt pro Jahr um 20 %.
Ein menschliches Haar wächst pro Tag um 0,05 mm.
Der Wasserstand der Donau steigt pro Stunde um 2 cm.
Die Anzahl an Bakterien verdreifacht sich alle fünf Stunden.

#572 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Nachfolgend sind drei Wertetabellen gegeben. Gib jeweils an, ob es sich hier um eine lineare Abnahme, ein lineares Wachstum, eine exponentielle Abnahme oder ein exponentielles Wachstum handelt und begründe, woran man das erkennen kann.
$x$0123
$f(x)$0,20,61,85,4
$x$0123
$f(x)$0,72,03,34,6
$x$0123
$f(x)$5,02,51,250,625

#1029 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Nachfolgend sind für vier Länder die Wachstumsfunktionen der Einwohnerzahlen gegeben. Dabei ist $E(t)$ die Einwohnerzahl (gemessen in Millionen Einwohnern) und $t$ die Zeit (gemessen in Jahren ab 2000). Beschreibe jeweils anhand eines vollständigen Satzes, wie sich die Einwohnerzahl gemäß dieser Funktionen jährlich verändert!
a) $E(t)=41 \cdot 1.0174^t$
b) $E(t)=1.42t+87.48$
c) $E(t)=21$
d) $E(t)=22\cdot 0.9853^t$

3. Exponentielles Wachstum

Am 1. Jänner 2006 lebten in einem bestimmten Land 26.87 Mio. Menschen. 19 Jahre später waren es 1.41 Mio. Einwohner mehr.
a) Bestimme die Einwohnerfunktion $E(t)=c\cdot a^t$, wobei $t$ für die Jahre ab dem 1. Jänner 2000 steht und $E(t)$ die zugehörige Einwohnerzahl in Mio. Einwohnern beschreibt.
b) Wie viele Menschen werden am 1. Jänner 2054 dort leben?
c) Wann werden erstmals 42 Mio. Menschen in diesem Land leben? Gib das Ergebnis als Jahreszahl an!
d) Um wie viel Prozent wächst die Bevölkerung pro Jahr durchschnittlich?

Die Einwohnerzahlen zweier Länder können durch folgende Exponentialfunktionen bestimmt werden:
  ▪ $E_1(t)=21.87 \cdot 1.0052 ^t$
  ▪ $E_2(t)=18.05 \cdot 1.0132 ^t$
Dabei wird $t$ in Jahren und die Einwohnerzahlen in Millionen gemessen.
a) In wie vielen Jahren (beginnend ab $t=0$) haben beide Länder gleich viele Einwohner?
b) Wie viele Einwohner leben dann in jedem der beiden Länder?

#351 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Volksrepublik China hatte im Jahr 2000 genau 1 268 853 362 Einwohner. Im Jahr 2010 waren es 1 339 724 852. Indien hatte 2000 ungefähr 1 014 003 800 Einwohner und im Jahr 2017 ca. 1 339 180 000. Berechne anhand dieser Zahlen und der Annahme eines exponentiellen Bevölkerungswachstums, wann Indien mehr Einwohner als China haben wird bzw. hatte.

#1239 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Erfinde eine anwendungsbezogene Aufgabenstellung, welche durch die Gleichung $28.4\cdot 1.016^t=34.8$ gelöst werden kann.

4. Radioaktivität

Ein bestimmtes radioaktives Isotop hat die Zerfallsfunktion $N(t)=N_0\cdot e^{-0.031\cdot t}$, wobei $t$ in Stunden gemessen wird.
a) Wie viel Prozent des Isotops sind nach 8.7 Stunden noch vorhanden?
b) Bestimme die Halbwertszeit!
c) Nach welcher Zeit sind nur noch 2 % des radioaktiven Isotops vorhanden?

#546 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Von einer Probe des radioaktiven Polonium-Isotops 210Po wird zu einem bestimmten Zeitpunkt die Strahlungsintensität gemessen. Genau 21 Tage später beträgt die Strahlungsintensität nur noch 90 % des ursprünglich gemessenen Werts.
a) Ermittle die exponentielle Zerfallsfunktion in der Form $N(t) = N_0 \cdot a^t$.
b) Berechne die Halbwertszeit dieses Isotops.

#557 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Der Zerfall des radioaktiven Caesium-Isotops 137Cs kann durch die Exponentialfunktion $N(t) = N_0 \cdot e^{-0{,}02297\cdot t}$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die Zeit in Jahren und $N_0$ die Masse der Probe zu Beginn der Messung (also zum Zeitpunkt $t = 0$).
a) Berechne die Halbwertszeit dieses Isotops!
b) Bei der Nuklearkatastrophe von Tschernobyl am 26. April 1986 gelangten ca. 26,6 kg dieses Isotops in die Umwelt. Welche Masse ist heute noch übrig?
c) Begründe, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist: „Nach der doppelten Halbwertszeit ist ein radioaktiver Stoff vollständig zerfallen.“

Bei Gammastrahlung mit einer Energie von 0,5 MeV beträgt die Halbwertsschichtdicke von Blei 3,85 mm. Das ist jene Dicke, die eine Bleiplatte haben muss, um 50 % der eintreffenden Strahlung abzufangen. Wie dick muss eine Bleiplatte sein, sodass nur noch 1.5 % der Strahlung hindurchgelassen wird.

Es soll ein Atomschutzbunker aus Beton gebaut werden. Dabei ist bekannt, dass sich die Intensität von Gammastrahlung in Beton nach jeweils 5.7 cm halbiert.
a) Bestimme bei der Exponentialfunktion $I(x)=I_0 \cdot a^x$ den Parameter $a$, sodass die entstehende Funktion die Intensität der Gammastrahlung nach $x$ cm Beton beschreibt.
b) Wie dick muss die Betonwand mindestens sein, damit nur noch 0.3 % der Strahlung durchgelassen werden?

#931 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Zerfallsfunktion des radioaktiven Polonium-Isotops $^{210}$Po lautet $N(t)=N_0\cdot e^{-0{,}005\cdot t}$ wobei $t$ die Zeit in Tagen ist.
a) Wandle die Funktionsgleichung in die Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ um und beschreibe, was der Wert des Parameters $a$ im Sachzusammenhang bedeutet.
b) Berechne die Halbwertszeit dieses Isotops.

Bei der Radiokarbonmethode verwendet man das radioaktive Kohlenstoffisotop 14C, dessen Halbwertszeit 5730 Jahre beträgt, um das Alter von Lebewesen zu bestimmen. In der Atmosphäre ist die Konzentration konstant. Somit ist die 14C-Konzentration auch in lebenden Pflanzen, Tieren und Menschen konstant. Mit dem Tod eines Lebewesens stoppt jedoch auch dessen Kohlenstoffaufnahme und daher nimmt die 14C-Konzentration aufgrund des radioaktiven Zerfalls ab. Durch Vergleich mit neuwertigen Proben kann daraus das Alter bestimmt werden.
Bei Grabungen wurde ein menschliches Skelett entdeckt. Messungen haben ergeben, dass die Menge des radioaktiven Kohlenstoffisotops 14C nur noch 43.4 % jener eines lebenden Menschen entspricht. Berechne, vor wie vielen Jahren dieser Mensch gestorben ist.

Die Strahlungsintensität eines bestimmten radioaktiven Stoffes nimmt pro Stunde um 1.8 % ab. Bestimme die Halbwertszeit dieses Stoffes.

5. Weitere exponentielle Abnahmeprozesse

An der Wasseroberfläche werden 19 % des Sonnenlichts gespiegelt. In einer Tiefe von 33 m sind noch 33 % des auf die Wasseroberfläche auftreffenden Sonnenlichts vorhanden. Um wie viel Prozent nimmt die Intensität des Sonnenlichts pro Meter ab, wenn innerhalb des Wassers eine exponentielle Abnahme vorliegt?

6. Beschränkte Wachstums- und Abnahmeprozesse

Eine Tasse Kaffee mit einer Temperatur von 84 °C wird in einen Raum mit einer Temperatur von 16 °C gestellt. Nach 14 Minuten beträgt die Temperatur des Kaffees nur noch 54 °C. Es wird davon ausgegangen, dass diese durch eine beschränkte Abnahmefunktion beschrieben werden kann.
a) Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $T(t)=a+b\cdot e^{k\cdot t}$, wobei $t$ in Minuten gemessen wird. Runde $k$ auf mindestens 4 Nachkommastellen!
b) Bestimme, nach welcher Zeit die Temperatur nur noch 36 °C beträgt.
c) Welche Temperatur hat der Kaffee 31 Minuten nachdem er in den Raum gestellt wurde?

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz besagt, dass sich die Temperatur eines $T$ eines Objektes im Laufe der Zeit $t$ gemäß einer beschränkten Abnahme- bzw. Zunahmefunktion der konstanten Umgebungstemperatur $T_U$ annähert. Dabei steht $T_0$ für die Starttemperatur zum Zeitpunkt $t=0$. Ein toter Mensch wird mit einer Körpertemperatur von 24.9 °C gefunden. Eine Stunde später beträgt diese nur noch 22.2 °C. Die Um­ge­bungs­tempera­tur lag konstant bei 19.7 °C und die Körpertemperatur des lebenden Menschen wird mit 36 °C angenommen.
a) Bestimme die Abkühlungsfunktion $T(t)$, wobei $t$ die Zeit seit dem Auffinden der Leiche ist (gemessen in Stunden).
b) Wie lange vor dem Auffinden der Leiche ist die Person gestorben?

Der Ladevorgang eines Handyakkus kann durch eine beschränkte Wachstumsfunktion beschrieben werden. Für ein bestimmtes Handy wurde die Funktion $f(t)=100\cdot \left(1-e^{-0.0248t}\right)$ ermittelt, wobei $t$ die Zeit in Minuten angibt und $f(t)$ den zugehörigen Ladestand in Prozent. Zum Zeitpunkt $t=0$ ist der Akku komplett leer.
a) Welchen Ladestand zeigt das Handy nach 19 Minuten Ladezeit?
b) Nach welcher Zeit ist der Akku halb aufgeladen?
c) Wie lange dauert es, bis das Handy einen Ladestand von 100 % anzeigt? Theoretisch wird dieser Wert nie erreicht, jedoch wird ab 99,5 % auf 100 % aufgerundet. Gib das Ergebnis in Stunden an.
d) Das Handy zeigt bereits einen Ladestand von 36 % an. Wie lange dauert es noch, um 85 % zu erreichen?

Das Wachstum einer bestimmen Pflanzenart wird durch die beschränkte Funktion $h(t)=74-63\cdot e^{-0.018t}$ beschrieben. Dabei ist $t$ die Zeit nach dem Einsetzen gemessen in Tagen und $h(t)$ die zugehörige Höhe in Zentimetern.
a) Wie groß sind die Pflanzen zum Zeitpunkt des Einsetzens?
b) Was ist die Maximalhöhe dieser Pflanzenart?
c) Wie groß ist die Pflanze 23 Tage nach dem Einsetzen?
d) Wie viele Tage nach dem Einsetzen hat die Pflanze eine Höhe von 35 cm erreicht?

Bestimme die Parameter $b$, $c$ und $k$ der Funktion $N(t)=c\cdot \left(1- e^{-k\cdot t} \right)+b$ so, dass der Funktionsgraph deiner Funktion in den wesentlichen Bereichen mit der folgenden Abbildung übereinstimmt.


7. Logistisches Wachstum

In einem neu angelegten Teich werden 75 Fische ausgesetzt. Nach 4 Jahren sind es bereits 323 Fische. Es wird geschätzt, dass die Populationsobergrenze bei 1050 Fischen liegt.
a) Erstelle eine logistische Funktion der nachfolgenden Form, welche die Fischpopulation $N$ in Abhängigkeit der Jahre $t$ nach dem Aussetzen beschreibt: $$N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t}$$
b) Wie viele Fische wird es in 9 Jahren geben?
c) Wie viele Jahre nach dem Aussetzen werden 95 % der Populationsobergrenze erreicht sein?

#846 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Durch das sogenannte Piotrowski-Gesetz, welches die Struktur einer logistischen Funktion aufweist, lässt sich der Sprachwandel mathematisch beschreiben. Beispielsweise beschreibt die folgende Funktion die Anzahl der deutschen Wörter, die aus dem Arabischen übernommen wurden (z. B. Alkohol, Magazin, Rabatt, Ziffer, Zucker): $$N(t)=\frac{160}{1+7{,}41\cdot e^{-0{,}696t}}$$ Dabei ist $t$ die Zeit (gemessen in Jahrhunderten), wobei $t=0$ für den Beginn des 13. Jahrhunderts steht und $N(t)$ die Anzahl an insgesamt verwendeten arabischen Begriffen.
a) Wie viele arabische Begriffe wurden im Jahr 1600 in der deutschen Sprache verwendet?
b) Was ist gemäß dieser Modellfunktion die Höchstanzahl an arabischen Begriffen, die in der deutschen Sprache verwendet werden?

Ein Spielzeughersteller bringt für das Weihnachtsgeschäft 10 Wochen vor Weihnachten ein neues Produkt auf den Markt. Die Zielgruppenanalyse hat zuvor ergeben, dass es 81000 potentielle Käufer gibt. Nach der ersten Woche (also bei $t=1$) wurden bereits 3332 Stück verkauft. Nach drei Wochen sind es insgesamt 9035 Stück. Es wird angenommen, dass die Verkaufszahl gemäß einer logistischen Funktion wächst.
a) Bestimme die Funktionsgleichung der logistische Wachstumsfunktion und skizziere den Funktionsgraphen.
b) Wie viele Stück werden gemäß dieser Funktion im Laufe der vierten Woche verkauft?
c) In welcher Woche werden am meisten Stück verkauft, und wie viele sind das?
d) Wie viele Stück werden bis Weihnachten (also bis zum Ende der 10. Woche) insgesamt verkauft?
e) Wie viel Prozent der Zielgruppe kauften dieses Produkt bis Weihnachten?

#980 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Ausbreitung einer Krankheit kann durch nachfolgende logistische Funktion beschrieben werden. Dabei sind $t$ die Tage nach Ausbruch der Krankheit und $N(t)$ die Anzahl an erkrankten Personen. $$N(t)=\frac{1000}{1+999\cdot 0.39^t}$$
a) Wie viele Personen haben sich nach 5 Tagen mit dieser Krankheit angesteckt?
b) Nach wie vielen Tagen haben 250 Personen diese Krankheit?
c) Was wird durch den Term $N(7)-N(6)$ beschrieben?
d) Beschreibe, was die in der Funktionsgleichung vorkommende Zahl 1000 im Sachzusammenhang bedeutet.

Bestimme die Parameter $S$, $c$ und $a$ der logistischen Funktion $N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t}$ so, dass der Funktionsgraph deiner Funktion in den wesentlichen Bereichen mit der folgenden Abbildung übereinstimmt.


8. Vermischte Aufgaben

In einem bestimmten See nimmt die Intensität des Sonnenlichtes pro Meter um 10.7 % ab.
a) Die tiefste Stelle des Sees liegt 18.3 m unter der Wasseroberfläche. Welcher Anteil des Sonnenlichtes erreicht diese Stelle?
b) In welcher Tiefe beträgt die Sonnenlichtintensität nur noch 50 % des Wertes an der Wasseroberfläche?

Ein Blatt Papier kann nur ca. sieben Mal in der Mitte gefaltet werden. Je nach Art des Papiers kann es kleine Abweichungen geben.
a) Wie oft müsste man ein 0.16 mm dickes Blatt Papier mindestens falten, damit der entstehende „Turm“ höher als 1 m ist?
b) Wie dick wäre der „Turm“, wenn das Blatt 41 Mal gefaltet wird?
c) Recherchiere im Internet nach einer vergleichbaren Größe aus der Realität, um sich das Ergebnis von Aufgabe b) besser vorstellen zu können.

Die beiden Tanks A und B sind am Boden durch einen Schlauch verbunden. Zu Beginn ist Tank A vollständig mit Öl gefüllt und Tank B ist leer. Öffnet man das Ventil, so fließt so lange Öl aus Tank A in Tank B, bis beide Tanks gleich hoch gefüllt sind. Die Füllhöhe der beiden Tanks (in Meter) lässt sich während dieses Vorgangs durch die Funktionen $h_A(t) = 1.78 - 0.1t$ und $h_B(t) = 0.14t$ beschreiben, wobei $t$ die Zeit in Minuten nach dem Öffnen ist.
a) Wie hoch ist der Ölstand zu Beginn in Tank A?
b) Berechne, nach welcher Zeit die Füllhöhe in beiden Tanks ausgeglichen ist.
c) Wie lautet am Ende der Füllstand beider Tanks?

Es sollen 4900 € zu einem fixen jährlichen Zinssatz angelegt werden. Wie groß müsste dieser Zinssatz sein, damit nach 10 Jahren 7400 € vorhanden sind? Rechne mit theoretischer Verzinsung.

Um 11 Uhr trinkt Felix einen Energy Drink und nimmt dabei 77 mg Koffein auf. Um 16:30 Uhr trinkt er einen Kaffee mit 62 mg Koffein. Der Abbau von Koffein erfolgt in seinem Körper gemäß der Funktion $N(t)=N_0 \cdot 0.6456^t$, wobei $t$ die Zeit in Stunden ist.
a) Berechne, wie viel Koffein sich unmittelbar vor dem Trinken des Kaffees im Körper befand.
b) Berechne, wie viel Koffein sich um 22 Uhr im Körper befand.