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Aufgaben zu Wachstums- und Abnahmeprozessen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu Wachstums- und Abnahmeprozessen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

Mathematischer Hintergrund

Wachstums- und Abnahmeprozesse können durch eine Vielzahl verschiedener Funktionstypen modelliert werden. Häufig kommen lineare Funktionen, Exponentialfunktionen, beschränkte Funktionen und logistische Funktionen zum Einsatz.

Anwendungsgebiete

Mit linearen Funktionen können Vorgänge beschrieben werden, bei denen der Zuwachs bzw. die Abnahme in gleichen Zeitintervallen konstant ist (z. B. Füllprozesse). Außerdem werden einige komplexe Sachverhalte für einen kleineren Zeitabschnitt durch eine lineare Funktion angenähert (z. B. Bevölkerungswachstum). Exponentiells Wachstum kommt u. a. bei Zinseszinsen sowie beim Wachstum von Bevölkerungen zum Einsatz. In der Physik gibt es zahlreiche Anwendungen für exponentielle Abnahmen (z. B. radioaktiver Zerfall, Intensität von Licht in Wasser, Entladen eines Kondensators). Nähert sich die Temperatur eines Objektes der Umgebungstemperatur an, so liegt ein beschränktes Wachstum bzw. eine beschränkte Abnahme vor. Logistische Funktionen kommen beispielsweise beim Wachstum von Populationen mit stark beschränkten Ressourcen (Fischteich, Insel) zum Einsatz.

1. Lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse

#265 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Eine 14.6 cm große Kerze wird angezündet und schmilzt pro Minute um 0.54 Millimeter. Gib die Funktionsgleichung der linearen Funktion $h(t)$ an, welche die Höhe $h$ der Kerze (in Zentimeter) in Ab­hän­gig­keit von der Zeit $t$ (in Minuten nach dem Anzünden) beschreibt.

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Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Um 13:24 Uhr betrug der Wasserstand 52 cm. Um 16:37 Uhr betrug er 1.06 m. Zu welcher Uhrzeit wird die vollständige Füllhöhe von 1.69 m erreicht sein? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an.
Uhrzeit: [0]

Die Bevölkerung Brasiliens wächst seit 1950 annähernd linear. Im Jahr 2000 lebten dort ca. 176 Mio. Menschen. Im Jahr 2015 waren es etwa 208 Mio. Menschen. Wie groß wird die Einwohnerzahl im Jahr 2034 sein, wenn man annimmt, dass weiterhin ein lineares Wachstum vorliegt?
Einwohnerzahl im Jahr 2034: [1] Mio. Einwohner

Eine aktuell 14.5 cm dicke Schneeschicht schmilzt pro Stunde um 12 mm.
a) Wie dick wird die Schneeschicht nach 4.4 Stunden noch sein?
Dicke: [2] cm
b) Nach wie vielen Stunden wird der Schnee vollständig geschmolzen sein?
Zeit: [2] h

Eine Kerze brennt pro Stunde 2.1 cm nieder. Zu Beginn ist sie 30 cm hoch. Nach welcher Zeit ist die Kerze nur noch 10 cm hoch, wenn man von einem linearen Zusammenhang ausgeht?
Dauer: [2] h

Bei einem vom Boden wachsenden Tropfstein wurde vor 19 Jahren eine Höhe von 0.83 m gemessen. Heute ist der Tropfstein 0.97 m hoch. Wie hoch wird der Tropfstein in 15 Jahren sein, wenn man von einem linearen Wachstum ausgeht?
Prognose: [2] m

2. Lineare Funktion vs. Exponentialfunktion

Im Jahr 2000 hatte Mexiko 100,35 Mio. Einwohner. Zehn Jahre später waren es 112,32 Mio. Einwohner.
a) Wie viele Menschen leben unter der Annahme eines linearen Bevölkerungswachstums voraussichtlich im Jahr 2058 in Mexiko?
Ergebnis: [2] Mio. Einwohner
b) Wie viele Menschen leben unter der Annahme eines exponentiellen Bevölkerungswachstums voraussichtlich im Jahr 2058 in Mexiko?
Ergebnis: [2] Mio. Einwohner

#335 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib jeweils an, ob es sich um einen linearen oder um einen exponentiellen Zusammenhang handelt.
Das Taschengeld wird jährlich um 10 Euro erhöht.
Die Bakterienkultur wächst alle 20 Minuten um 10 %.
Das Kapital wird jedes Quartal mit 0,5 % verzinst.
Der Wasserstand sinkt nach jeweils 15 Minuten um 5 cm.
Die Umfragewerte einer Partei stiegen heuer pro Monat um 2 Prozentpunkte.

#549 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib jeweils an, ob es sich um ein lineares oder um ein exponentielles Bevölkerungswachstum handelt.
Die Bevölkerung wächst jährlich um ca. 50 000 Einwohner.
Die Bevölkerung wächst jährlich um ca. 1,3 %.
Die Bevölkerung verdoppelt sich alle 70 Jahre.
Pro Jahrhundert steigt die Bevölkerung um ca. 1 Mio. Einwohner.

#553 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib jeweils an, ob es sich um einen linearen oder um einen exponentiellen Zusammenhang handelt.
Der Umsatz eines Unternehmens steigt pro Jahr um 20 %.
Ein menschliches Haar wächst pro Tag um 0,05 mm.
Der Wasserstand der Donau steigt pro Stunde um 2 cm.
Die Anzahl an Bakterien verdreifacht sich alle fünf Stunden.

#1029 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Nachfolgend sind für vier Länder die Wachstumsfunktionen der Einwohnerzahlen gegeben. Dabei ist $E(t)$ die Einwohnerzahl (gemessen in Millionen Einwohnern) und $t$ die Zeit (gemessen in Jahren ab 2000). Beschreibe jeweils anhand eines vollständigen Satzes, wie sich die Einwohnerzahl gemäß dieser Funktionen jährlich verändert!
a) $E(t)=38.6 \cdot 1.0192^t$

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b) $E(t)=1.52t+75.71$

0/1000 Zeichen
c) $E(t)=23.9$

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d) $E(t)=29.2\cdot 0.982^t$

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3. Exponentielles Wachstum

Am 1. Jänner 2011 lebten in einem bestimmten Land 28.91 Mio. Menschen. 13 Jahre später waren es 1.58 Mio. Einwohner mehr.
a) Bestimme die Einwohnerfunktion $E(t)=c\cdot a^t$, wobei $t$ für die Jahre ab dem 1. Jänner 2000 steht und $E(t)$ die zugehörige Einwohnerzahl in Mio. Einwohnern beschreibt.
$c=$ [2] $a=$ [5]
b) Wie viele Menschen werden am 1. Jänner 2057 dort leben?
[1] Mio. Einwohner
c) Wann werden erstmals 43 Mio. Menschen in diesem Land leben? Gib das Ergebnis als Jahreszahl an! [0]
d) Um wie viel Prozent wächst die Bevölkerung pro Jahr durchschnittlich? [3] %

Die Einwohnerzahlen zweier Länder können durch folgende Exponentialfunktionen bestimmt werden:
  ▪ $E_1(t)=21.54 \cdot 1.0064 ^t$
  ▪ $E_2(t)=18.42 \cdot 1.0125 ^t$
Dabei wird $t$ in Jahren und die Einwohnerzahlen in Millionen gemessen.
a) In wie vielen Jahren (beginnend ab $t=0$) haben beide Länder gleich viele Einwohner?
Ergebnis: [1] Jahre
b) Wie viele Einwohner leben dann in jedem der beiden Länder?
Ergebnis: [1] Mio. Einwohner

#351 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Volksrepublik China hatte im Jahr 2000 genau 1 268 853 362 Einwohner. Im Jahr 2010 waren es 1 339 724 852. Indien hatte 2000 ungefähr 1 014 003 800 Einwohner und im Jahr 2017 ca. 1 339 180 000. Berechne durch handschriftliche Rechnung anhand dieser Zahlen und der Annahme eines exponentiellen Bevölkerungswachstums, wann Indien mehr Einwohner als China haben wird bzw. hatte.
Ergebnis:

#1022 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Herr Müller weiß aufgrund der Analyse der Vorjahre, dass sich der Holzbestand seines Waldes jährlich um 1.71 % vermehrt. Der aktuelle Bestand beträgt 428 a.
a) Erstelle eine Funktionsgleichung, welche den Holzbestand in Abhängigkeit der Jahre (beginnend ab jetzt) beschreibt.
Funktionsgleichung:
b) In wie vielen Jahren wird ein Holzbestand von 45300 m³ erreicht sein?
Dauer: [1] Jahre

4. Radioaktivität

Es soll ein Atomschutzbunker aus Beton gebaut werden. Dabei ist bekannt, dass sich die Intensität von Gammastrahlung in Beton nach jeweils 5.7 cm halbiert.
a) Bestimme bei der Exponentialfunktion $I(x)=I_0 \cdot a^x$ den Parameter $a$, sodass die entstehende Funktion die Intensität der Gammastrahlung nach $x$ cm Beton beschreibt.
Parameter $a$: [4]
b) Wie dick muss die Betonwand mindestens sein, damit nur noch 0.3 % der Strahlung durchgelassen werden?
Dicke: [2] cm

#931 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Zerfallsfunktion des radioaktiven Polonium-Isotops $^{210}$Po lautet $N(t)=N_0\cdot e^{-0{,}005\cdot t}$ wobei $t$ die Zeit in Tagen ist.
a) Wandle die Funktionsgleichung ohne Computereinsatz in die Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ um und interpretiere den Wert des Parameters $a$ im Sachzusammenhang. Gib den Rechenweg an.
Ergebnis und Interpretation (inkl. Rechenweg):
b) Berechne die Halbwertszeit dieses Isotops anhand der vorliegenden Daten.
Halbwertszeit: [2] Tage

Bei Grabungen wurde ein menschliches Skelett entdeckt. Messungen haben ergeben, dass die Menge des radioaktiven Kohlenstoffisotops 14C nur noch 42.4 % jener eines lebenden Menschen entspricht. Die Halbwertszeit von 14C beträgt 5730 Jahre. Berechne, vor wie vielen Jahren dieser Mensch gestorben ist.
Ergebnis: [0] Jahre

Die Strahlungsintensität eines bestimmten radioaktiven Stoffes nimmt pro Stunde um 1.7 % ab. Bestimme die Halbwertszeit dieses Stoffes in Tagen.
Halbwertszeit: [2] Tage

5. Weitere exponentielle Abnahmeprozesse

An der Wasseroberfläche werden 19 % des Sonnenlichts gespiegelt. In einer Tiefe von 34 m sind noch 28 % des auf die Wasseroberfläche auftreffenden Sonnenlichts vorhanden. Um wie viel Prozent nimmt die Intensität des Sonnenlichts pro Meter ab, wenn innerhalb des Wassers eine exponentielle Abnahme vorliegt?
Abnahme pro Meter: [2] %

6. Logistisches Wachstum

In einem neu angelegten Teich werden 57 Fische ausgesetzt. Nach 4 Jahren sind es bereits 328 Fische. Es wird geschätzt, dass die Populationsobergrenze bei 1050 Fischen liegt.
a) Erstelle eine logistische Funktion, welche die Fischpopulation $N$ in Abhängigkeit der Jahre $t$ nach dem Aussetzen beschreibt: $$N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t}$$ $S=$ [0], $c=$ [2], $a=$ [4]
b) Wie viele Fische wird es in 8 Jahren geben? [0] Fische
c) Wie viele Jahre nach dem Aussetzen werden 97 % der Populationsobergrenze erreicht sein? [1] Jahre

7. Vermischte Aufgaben

In einem bestimmten See nimmt die Intensität des Sonnenlichtes pro Meter um 13 % ab.
a) Die tiefste Stelle des Sees liegt 22.8 m unter der Wasseroberfläche. Welcher Anteil des Sonnenlichtes erreicht diese Stelle? [2] %
b) In welcher Tiefe beträgt die Sonnenlichtintensität nur noch 50 % des Wertes an der Wasseroberfläche? [2] m

Ein Blatt Papier kann nur ca. sieben Mal in der Mitte gefaltet werden. Je nach Art des Papiers kann es kleine Abweichungen geben.
a) Wie oft müsste man ein 0.15 mm dickes Blatt Papier mindestens falten, damit der entstehende „Turm“ höher als 1 m ist?
Ergebnis: mind. [0] Faltungen
b) Wie dick wäre der „Turm“, wenn das Blatt 37 Mal gefaltet wird?
Ergebnis: [0] km
c) Recherchiere im Internet nach einer vergleichbaren Größe aus der Realität, um sich das Ergebnis von Aufgabe b) besser vorstellen zu können.

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Die beiden Tanks A und B sind am Boden durch einen Schlauch verbunden. Zu Beginn ist Tank A vollständig mit Öl gefüllt und Tank B ist leer. Öffnet man das Ventil, so fließt so lange Öl aus Tank A in Tank B, bis beide Tanks gleich hoch gefüllt sind. Die Füllhöhe der beiden Tanks (in Meter) lässt sich während dieses Vorgangs durch die Funktionen $h_A(t) = 1.79 - 0.07t$ und $h_B(t) = 0.18t$ beschreiben, wobei $t$ die Zeit in Minuten nach dem Öffnen ist.
a) Wie hoch ist der Ölstand zu Beginn in Tank A?
Höhe: [2] m
b) Berechne, nach welcher Zeit die Füllhöhe in beiden Tanks ausgeglichen ist.
Dauer: [2] min
c) Wie lautet am Ende der Füllstand beider Tanks?
Höhe: [2] m

Es sollen 4900 € zu einem fixen jährlichen Zinssatz angelegt werden. Wie groß müsste dieser Zinssatz sein, damit nach 8 Jahren 7800 € vorhanden sind? Rechne mit theoretischer Verzinsung.
Zinssatz: [3] %