Impressum · Datenschutz
© 2016 – 2020 MATHE.ZONE
© 2016 – 2020  MATHE.ZONE · Impressum · Datenschutz      

Aufgaben zur Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

Mathematischer Hintergrund

In der Trigonometrie werden zusätzlich zu den diversen geometrischen Formeln des rechtwinkligen Dreiecks (Flächeninhalt, Satz des Pythagoras, ...) die sogenannten trigonometrischen Funktionen (auch Winkelfunktionen genannt) verwendet. Die wichtigsten drei Winkelfunktionen sind der Sinus, der Kosinus und der Tangens. Mit Hilfe der Winkelfunktionen kann aus einem gegebenen Winkel und einer gegebenen Seitenlänge eine weitere Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet werden. Unter Verwendung der Umkehrfunktionen (diese werden als Arkusfunktionen bezeichnet) kann aus zwei vorgegebenen Seitenlängen ein Winkel des Dreiecks berechnet werden.

1. Winkelfunktionen

Eine Kraft von 668 N wirkt in einem Winkel von 26° (gemessen zur Horizontalen). Berechne die horizontale und die vertikale Komponente dieser Kraft.
horizontale Komponente: [2] N
vertikale Komponente: [2] N

Bei einem Sturm wurde ein Baum in einer bestimmten Höhe abgeknickt. Die Spitze des Baumes berührt den Boden horizontal gemessen 9 m entfernt vom Baumstamm. Der Winkel zwischen dem abgeknickten Teil des Baumstamms und dem Boden beträgt 35°. Berechne, wie hoch der Baum war.
Höhe des Baumes: [2] m

Der Steigungswinkel einer Rollstuhlrampe ist auf 4.4° festgelegt. Die Höhe der Rampe soll 77 cm betragen. Welche horizontale Länge muss die Rampe haben?
Ergebnis: [2] m

Auf einem Spielplatz soll eine gerade Rutsche errichtet werden, welche eine Höhe von 5 m aufweist. Aus Sicherheitsgründen soll der Winkel zur Horizontalen nur 24° betragen. Berechne die Länge des für die Rutsche notwendigen Materials.
Länge: [2] m

Ein Gebäude wirft einen 41.5 m langen Schatten (beginnend bei der höchsten Stelle des Gebäudes). Die Sonnenstrahlen haben einen Einfallswinkel von 44.6° (gemessen zur Horizontalen). Berechne die Höhe des Gebäudes.
Ergebnis: [0] m

Eine Leiter wird an eine Wand gelehnt, sodass sie mit dem Boden einen Winkel von 80° einschließt. Sie ist am Boden 1.05 m von der Wand entfernt. Wie lang ist die Leiter und in welcher Höhe berührt sie die Wand?
Länge der Leiter: [2] m
erreichte Höhe: [2] m

Die Schnur eines Papierdrachens schließt mit dem ebenen Boden einen Winkel von 71° ein und ist 60 m lang. In welcher Höhe fliegt der Drache?
Höhe: [2] m

2. Umkehrfunktionen

Beim Parasailing soll sich die Person aus Sicherheitsgründen höchstens 10 m über dem Wasser befinden. Was ist der maximale Steigungswinkel der Leine, wenn diese eine Länge von 56 m hat?
Maximaler Steigungswinkel: [2] °

Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 15 cm und 30 cm. Berechne den spitzen Winkel, den die beiden Diagonalen einschließen.
Winkel: [2] °

Mit einer horizontal gemessen 5.7 m langen Rollstuhlrampe wird eine Höhendifferenz von 35 cm überwunden. Berechne den Steigungswinkel der Rampe.
Steigungswinkel: [2] °

Ein gerader Straßenabschnitt ist laut einer Landkarte horizontal gemessen 810 m lang. Der Endpunkt liegt um 36 m höher als der Anfangspunkt. Berechne den Steigungswinkel des Straßenabschnitts.
Steigungswinkel: [2] °

3. Steigung

#363 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die sogenannte „Streif“ (die Abfahrtspiste in Kitzbühel) hat eine horizontale Streckenlänge von 3312 m. Der Start befindet sich in einer Höhe von 1665 m und das Ziel in einer Höhe von 805 m.
a) Berechne das durchschnittliche Gefälle in Prozent.
Ergebnis: [2] %
b) Berechne den durchschnittlichen Steigungswinkel.
Ergebnis: [2] °
c) An der steilsten Stelle, der sogenannten Mausefalle, beträgt das Gefälle 85 %. Welchem Winkel entspricht das?
Ergebnis: [2] °

Eine Bahnstrecke hat eine Steigung von 1:379.
a) Gib diese Steigung in Prozent an und berechne den zugehörigen Steigungswinkel.
Steigung in Prozent: [3] %
Steigungswinkel: [3] °
b) Welcher Höhenunterschied wird auf einer horizontalen Entfernung von 2.6 km überwunden?
Höhenunterschied: [2] m

Über eine 4.21 km lange Bergstraße wird ein um 349 m höher gelegener Ort erreicht.
a) Berechne die durchschnittliche Steigung dieser Straße in Prozent.
Ergebnis: [2] %
b) Berechne den durchschnittlichen Steigungswinkel.
Ergebnis: [2] °

#1017 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Das Verkehrszeichen „Starke Steigung“ sieht folgendermaßen aus:

a) Gib an, welchem Steigungswinkel eine Steigung von 10 % entspricht!
Steigungswinkel: [2] °
b) Die im Verkehrsschild abgebildete Steigung ist deutlich größer als 10 %. Berechne bzw. argumentiere (abmessen alleine ist nicht ausreichend), wie groß der abgebildete Steigungswinkel tatsächlich ist. Das Verkehrszeichen entspricht einem gleichseitigen Dreieck und die schwarze und die weiße Fläche sind gleich groß.
Ergebnis (inkl. nachvollziehbarer Erklärung):

#1063 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Argumentiere, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist: „Eine Steigung von 100 % entspricht einem Steigungswinkel von 90 Grad.“

0/1000 Zeichen

4. Vermessungsaufgaben

Ein Turm wirft auf einem ebenen Feld einen 27.9 m langen Schatten. Die Sonnenhöhe beträgt 44°. Wie hoch ist der Turm?
Höhe: [1] m

Felix befindet sich 159 m von einem Turm entfernt (horizontal gemessen). Er steht auf einem kleinen Hügel und sieht von dort aus die Turmspitze unter einem Höhenwinkel von 8.7° und den Fußpunkt des Turms unter einem Tiefenwinkel von 2.6°.
a) Erstelle eine vollständig beschriftete Skizze.
Skizze:
b) Berechne die Höhe des Turms.
Höhe des Turms: [1] m

Vom Dach eines 32.7 m hohen Turms sieht man die Ufer eines Flusses unter den Tiefenwinkeln 17.5° und 11.9°.
a) Zeichne eine aussagekräftige Skizze dieses Sachverhalts inklusive aller Beschriftungen!
Skizze:
b) Wie weit ist der Turm vom näheren Flussufer entfernt?
Ergebnis: [1] m
c) Wie breit ist der Fluss?
Ergebnis: [1] m

Von der 150 m hoch gelegenen Aussichtsplattform des Wiener Donauturms sieht Denise ihr Wohnhaus unter einem Tiefenwinkel von 5° 41'. Berechne unter Vernachlässigung der Krümmung der Erdoberfläche, wie weit entfernt sie vom Donauturm wohnt.
Entfernung: [2] km

Es soll die Höhe eines Turmes bestimmt werden. Dazu misst man den Winkel, unter welchem man vom Boden aus die Turmspitze sieht, von zwei Punkten A und B. Vom näher am Turm liegenden Punkt A wird ein Höhenwinkel von 4.2° gemessen. Der um 124 m weiter entfernt liegende Punkt B ergibt einen Winkel von 3.2°. Berechne die Höhe $h$ des Turms.
Ergebnis: [2] m

5. Vermischte Aufgaben

Vom nachfolgend abgebildeten rechtwinkligen Dreieck sind die Abmessungen $x=33$ cm und $z=9.1$ dm bekannt. Berechne die gesuchten Größen. Achte auf die Einheiten! Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.

Flächeninhalt $A$: [2] cm²
Winkel $\omega$: [2] Grad
Höhe $t$: [2] cm

Von einem Deltoid sind die beiden Seitenlängen $a=36$ mm und $b=76$ mm sowie der Winkel $\gamma=39\,^\circ$ bekannt. Berechne die gesuchten Größen. Achte auf die Einheiten! Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.

Flächeninhalt $A$: [2] cm²
Winkel $\alpha$: [2] Grad
Winkel $\beta$: [2] Grad

Ein PKW mit der Gewichtskraft $F_G=1.44\,\mathrm{kN}$ fährt eine Straße mit einer Steigung von 19 % hinauf. Dabei zieht ihn die Hangabtriebskraft $F_T$ parallel zur Straße nach unten und die Normalkraft $F_N$ drückt ihn im rechten Winkel gegen die Straße.
a) Berechne den Steigungswinkel.
Steigungswinkel: [2] °
b) Zeichne eine aussagekräftige Skizze des Sachverhalts. Trage alle Kräfte sowie den bekannten Winkel ein.
Skizze:
c) Wie groß ist die Hangabtriebskraft, welche ihn parallel zur Straße nach unten zieht?
Hangabtriebskraft: [2] kN
d) Wie groß ist die Normalkraft, welche ihn gegen die Straße drückt?
Normalkraft: [2] kN

Zwei Kräfte $F_1= 3.52\,\textrm{kN}$ und $F_2 = 5.33\,\textrm{kN}$ stehen normal (im rechten Winkel) aufeinander.
a) Berechne die resultierende Kraft $F_R$.
Resultierende Kraft: [2] kN
b) Berechne den Winkel zwischen $F_1$ und $F_R$.
Winkel: [2] °

#578 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel α = 43° und dem Flächeninhalt A = 63 cm². Berechne die Länge der drei Seiten. Erstelle ein Bild des vollständigen und nachvollziehbaren Lösungsweges.
Ergebnisse (inkl. Lösungsweg):

#626 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Ergänze anhand der unten abgebildeten Skizze die folgenden Winkelfunktionen und Umkehrfunktionen. Die Namen der Winkel lauten „phi“ ($\varphi$) und „omega“ ($\omega$).

$\sin(\varphi)=$ [0]
$\tan(\omega)=$ [0]
$\cos(\omega)=$ [0]
$\arctan\left(\tfrac{y}{x}\right)=$ [0]
$\arccos\left(\tfrac{x}{z}\right)=$ [0]

Steht man im Mittelpunkt eines Fußballfeldes, so sieht man zwischen den beiden Pfosten eines Tores einen Winkel von $\alpha=8^\circ\,24'$ (siehe Skizze). Die Breite eines Fußballtores beträgt bekanntlich 7,32 m. Wie lang ist dieses Fußballfeld?


Gegeben ist die unten abgebildete geometrische Figur (nicht maßstabsgetreu). Man kennt die Seitenlängen $c = 69\, \mathrm{cm}$ und $d = 101 \,\mathrm{cm}$ sowie den Winkel $\alpha = 80 °$.

a) Bestimme den Umfang der Figur!
Umfang: [2] cm
b) Bestimme den Flächeninhalt der Figur!
Flächeninhalt : [2] cm²

Berechne den Winkel $\alpha$ des nachfolgend abgebildeten rotationssymmetrischen Bauteils! Folgende Werte sind bekannt: $D=20\,\textrm{mm}$, $d=11\,\textrm{mm}$ und $x=13\,\textrm{mm}$. Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.

Winkel: $\alpha=$ [2] °

#1048 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Stelle jeweils eine Formel auf, mit welcher der Flächeninhalt und der Umfang der abgebildeten Figur berechnet werden können. Verwende dazu ausschließlich die Variablen $a$, $b$ und $\gamma$. Vereinfache die Formeln möglichst weit.

Formel für den Flächeninhalt:
Formel für den Umfang:

#1064 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Für die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks gilt allgemein $\sin(\alpha) = \cos(\beta)$.
Für die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks gilt allgemein $\tan(\alpha) = \tan(\beta)$.
Für die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks gilt allgemein $\tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) = 1$.
Es gilt allgemein $\tan(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $.
Es gilt allgemein $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

#1213 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Von der Erde aus betrachtet erscheint die Sonne unter einem Winkel von 32'. Die mittlere Entfernung zwischen Erde und Sonne beträgt 149,6 Mio. km. Berechne anhand dieser Daten den Durchmesser der Sonne.
Durchmesser: [0] km