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Aufgaben zur Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

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Mathematischer Hintergrund

In der Trigonometrie werden zusätzlich zu den diversen geometrischen Formeln des rechtwinkligen Dreiecks (Flächeninhalt, Satz des Pythagoras, ...) die sogenannten trigonometrischen Funktionen (auch Winkelfunktionen genannt) verwendet. Die wichtigsten drei Winkelfunktionen sind der Sinus, der Kosinus und der Tangens. Mit Hilfe der Winkelfunktionen kann aus einem gegebenen Winkel und einer gegebenen Seitenlänge eine weitere Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet werden. Unter Verwendung der Umkehrfunktionen (diese werden als Arkusfunktionen bezeichnet) kann aus zwei vorgegebenen Seitenlängen ein Winkel des Dreiecks berechnet werden.

Aufgabensammlung

: Aus einem rechteckigen Stück Stahlblech soll das nachfolgend abgebildete Bauteil hergestellt werden (alle Angaben in Millimeter).
a) Berechne den Flächeninhalt des fertigen Bauteils.
b) Berechne den eingezeichneten Winkel, der für die Herstellung benötigt wird.

: Ein PKW mit einem Gewicht von 15 kN fährt eine Straße mit einem Steigungswinkel von 5° hinauf.
a) Wie groß ist die Hangabtriebskraft, welche ihn parallel zur Straße nach unten zieht?
b) Wie groß ist die Normalkraft, welche ihn gegen die Straße drückt?

: Beim Parasailing soll sich die Person aus Sicherheitsgründen höchstens 10 m über dem Wasser befinden. Was ist der maximale Steigungswinkel der Leine, wenn diese eine Länge von 25 m hat?

: Die sogenannte „Streif“ (die Abfahrtspiste in Kitzbühel) hat eine horizontale Streckenlänge von 3312 m. Der Start befindet sich in einer Höhe von 1665 m und das Ziel in einer Höhe von 805 m.
a) Berechne das durchschnittliche Gefälle in Prozent.
b) Berechne den durchschnittlichen Steigungswinkel.
c) An der steilsten Stelle, der sogenannten Mausefalle, beträgt das Gefälle 85 %. Welchem Winkel entspricht das?

: Eine Bahnstrecke hat eine Steigung von 1:300.
a) Gib diese Steigung in Prozent an und Berechne den zugehörigen Steigungswinkel.
b) Welcher Höhenunterschied wird auf einer horizontalen Entfernung von 1200 m überwunden?

: Ein Turm wirft auf einem ebenen Feld einen 37 m langen Schatten. Die Sonnenhöhe beträgt 30°. Wie hoch ist der Turm?

: Zwei Kräfte $F_1= 1{,}8\,$kN und $F_2 = 2{,}5\,$kN stehen normal (im rechten Winkel) aufeinander.
a) Berechne die resultierende Kraft $F_R$.
b) Berechne die beiden Winkel zwischen den Einzelkräften und der Resultierenden.

: Eine Kraft wirkt in einem Winkel von 30° (gemessen zur Horizontalen). Berechne die horizontale und die vertikale Komponente dieser Kraft.

: Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 20 cm und 30 cm. Berechne den spitzen Winkel, den die beiden Diagonalen einschließen.

: Der Mond wird von der Erde aus betrachtet unter einem Winkel von 32' wahrgenommen. Wie groß ist das Verhältnis zwischen Erdentfernung und Monddurchmesser?

: Kevin möchte die Länge des Spielfeldes vermessen, auf welchem er regelmäßig mit seinen Freunden Fußball spielt. Da er kein Maßband besitzt, hat er sich eine schlaue Messmethode ausgedacht: Er legt in die Mitte eines Tores ein Holzbrett, darauf ein Blatt Papier und einen Laserpointer. Mit dem Laserpointer visiert er zuerst den linken Torpfosten an und zeichnet die Richtung des Laserpointers auf das Papier. Anschließend visiert er den rechten Torpfosten an und zeichnet die Richtung ebenfalls auf das Papier. Die beiden Linien schließen einen Winkel von 8° ein. Außerdem weiß er, dass das Tor eine Breite von 7,32 m hat. Wie lang ist das Spielfeld?

: Über eine 3,2 km lange Bergstraße wird ein um 384 m höher gelegener Ort erreicht.
a) Berechne die durchschnittliche Steigung dieser Straße in Prozent.
b) Berechne den durchschnittlichen Steigungswinkel.
c) Zeichne eine aussagekräftige Skizze (inklusive Längenangaben und Winkel).

: Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel α = 20° und dem Flächeninhalt A = 50 cm². Berechne die Länge der drei Seiten.

: Valentin befindet sich 100 m von einem Turm entfernt (horizontal gemessen). Er steht auf einem kleinen Hügel und sieht von dort aus die Turmspitze unter einem Höhenwinkel von 13,6° und den Fußpunkt des Turms unter einem Tiefenwinkel von 4,5°. Berechne die Höhe des Turms! Eine Skizze könnte die Arbeit erleichtern.

: Mit einer horizontal gemessen 8 m langen Rollstuhlrampe wird eine Höhendifferenz von 40 cm überwunden. Berechne den Steigungswinkel der Rampe!

: Bei einem Sturm wurde ein Baum in einer bestimmten Höhe abgeknickt. Die Spitze des Baumes berührt den Boden horizontal gemessen 12 m entfernt vom Baumstamm. Der Winkel zwischen dem abgeknickten Teil des Baumstamms und dem Boden beträgt 30°. Berechne, wie hoch der Baum war!

: Die unten abgebildete geometrische Figur ist symmetrisch. Löse folgende Aufgaben!
a) Berechne den Flächeninhalt der Figur!
b) Berechne den Umfang der Figur!
c) Berechne den Winkel α!

: Ergänze anhand der unten abgebildeten Skizze die folgenden Winkelfunktionen und Umkehrfunktionen gemäß ihrer Definition (z. B. $\sin(\omega)=\tfrac{x}{z}$ oder $\arcsin(\tfrac{x}{z})=\omega$). $$ \sin(\varphi)= ~~~~~~~~~~~~~~~ \tan(\omega)= ~~~~~~~~~~~~~~~ \cos(\omega)= ~~~~~~~~~~~~~~~\arctan(\tfrac{y}{x})= ~~~~~~~~~~~~~~~ \arccos(\tfrac{x}{z})=~~~~~~~~~~~~~~~$$

: Der Steigungswinkel einer Rollstuhlrampe ist auf 3,5° festgelegt. Die Höhe der Rampe soll 65 cm betragen. Welche horizontale Länge muss die Rampe haben?

: Steht man im Mittelpunkt eines Fußballfeldes, so sieht man zwischen den beiden Pfosten eines Tores einen Winkel von 8° (siehe Skizze). Die Breite eines Fußballtores beträgt bekanntlich 7,32 m. Wie lang ist dieses Fußballfeld?

: Auf einem Spielplatz soll eine Rutsche errichtet werden. Sie soll eine Höhe von $H=3{,}5\,\text{m}$ haben. Aus Sicherheitsgründen soll der Winkel zur Horizontalen nur $\alpha=25\,°$ betragen. Berechne die Länge $L$ der Rutsche!

: Ein Gebäude wirft einen 28 m langen Schatten. Die Sonnenstrahlen haben dabei einen Einfallswinkel von 57° (gemessen zur Horizontalen). Berechne die Höhe des Gebäudes.

: Gegeben ist die unten abgebildete geometrische Figur (nicht maßstabsgetreu). Man kennt die Seitenlängen c = 50 cm und d = 80 cm sowie den Winkel α = 60°.
a) Bestimme den Umfang der Figur!
b) Bestimme den Flächeninhalt der Figur!

: Eine Leiter wird an eine Wand gelehnt, sodass sie mit dem Boden einen Winkel von 70° einschließt. Sie ist am Boden 1,5 m von der Wand entfernt. Wie lang ist die Leiter und in welcher Höhe berührt sie die Wand?

: Die Schnur eines Papierdrachens schließt mit dem Boden einen Winkel von 65° ein und ist 60 m lang. In welcher Höhe fliegt der Drache?

: Am 15. Juli schien in Wien am Abend die Sonne. Lukas ist 1,65 m groß und wirft einen 5,3 m langen Schatten.
a) Berechne die Sonnenhöhe, also den Winkel zwischen Sonnenstrahlen und Boden.
b) Wie spät war es, als Lukas die Schattenlänge gemessen hat? Verwende dazu geeignete Internetseiten wie beispielsweise diese: https://www.sonnenverlauf.de.

: Berechne den Winkel $\alpha$ des nachfolgenden rotationssymmetrischen Bauteils!

: Vom Dach eines 35 m hohen Turms sieht man die Ufer eines Flusses unter den Tiefenwinkeln 17° und 11°. Die Bezeichnung „Tiefenwinkel“ bedeutet, dass diese Winkel bezüglich der Horizontalen gemessen wurden.
a) Zeichne eine aussagekräftige Skizze dieses Sachverhalts inklusive aller Beschriftungen!
b) Wie weit ist der Turm vom näheren Flussufer entfernt?
c) Wie breit ist der Fluss?

: Von der 150 m hoch gelegenen Aussichtsplattform des Wiener Donauturms sieht Stefan sein Wohnhaus unter einem Tiefenwinkel von 6°. Berechne unter Vernachlässigung der Krümmung der Erdoberfläche, wie weit Stefan vom Donauturm entfernt wohnt!

: Es soll die Höhe eines Turmes bestimmt werden. Dazu misst man den Winkel, unter welchem man vom Boden aus die Turmspitze sieht, von zwei Punkten A und B. Vom näher am Turm liegenden Punkt A wird ein Höhenwinkel von 4,8 ° gemessen. Der um 100 m weiter entfernt liegende Punkt B ergibt einen Winkel von 4,2 °. Berechne damit die Höhe $h$ des Turms!

: Eine gerade Straße ist laut einer Landkarte 250 m lang. Der Endpunkt liegt um 10 m höher als der Anfangspunkt. Berechne den Steigungswinkel der Straße.

: Das Verkehrszeichen „Starke Steigung“ sieht folgendermaßen aus:

a) Gib an, welchem Steigungswinkel eine Steigung von 10 % entspricht!
b) Die im Verkehrsschild abgebildete Steigung ist deutlich größer als 10 %. Berechne bzw. argumentiere (abmessen alleine ist nicht ausreichend), wie groß der abgebildete Steigungswinkel tatsächlich ist. Das Verkehrszeichen entspricht einem gleichseitigen Dreieck und die schwarze und die weiße Fläche sind gleich groß.

: Begründe, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist: „Eine Steigung von 100 % entspricht einem Steigungswinkel von 90 Grad.“

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Für die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks gilt sin(α) = cos(β).
    Für die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks gilt tan(α) = tan(β).
    Für die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks gilt tan(α) · tan(β) = 1.
    Es gilt allgemein tan(α) = cos(α) / sin(α).
    Es gilt allgemein tan(α) = sin(α) / cos(α).

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    $60\,°$ entspricht einem Winkel von $\frac{\pi}{3}$.
    $\frac{\pi}{4}$ entspricht einem Winkel von $60\,°$.
    $30\,°$ entspricht einem Winkel von $\frac{\pi}{4}$