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Aufgaben zu Termen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu Termen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Aufgabensammlung

: Die Anzahl an Karten, die man für ein Kartenhaus mit n Stockwerken benötigt, kann durch den Term $$\frac{3n^2+n}{2}$$ beschrieben werden. Wieviele Karten benötigt man für ein Kartenhaus mit fünf Stockwerken?

: Ist die Aussage $p + (1 - p) \cdot p + (1 - p)^2 = 1$ für alle $p$ wahr? Begründe deine Entscheidung.

: Nachfolgende Abbildung zeigt den Grundriss eines Zimmers.

Kreuze alle Terme an, die verwendet werden können, um die Wohnfläche zu berechnen.
    $a\cdot f+c\cdot d$
    $a\cdot f+b\cdot c$
    $e\cdot f+c\cdot d$
    $b\cdot c+e\cdot f$
    $a\cdot b-d\cdot e$

: Begründe, warum für jede natürliche Zahl \(n \geq 2\) gilt, dass das Quadrat dieser Zahl um 1 größer ist als das Produkt der beiden Nachbarzahlen. Beispielsweise ist \(10^2 = 100\) und \(9 \cdot 11 = 99\).

: Ein Produkt hat den Nettopreis $N$. Der Verkaufspreis ist aufgrund der Mehrwertsteuer um 20 Prozent höher. Kreise alle Terme ein, durch welche der Verkaufspreis korrekt berechnet wird.

: Das Elo-System beschreibt die Stärke von Spielern eines bestimmten Spiels (z. B. Schach) indem es jedem Spieler eine bestimmte Wertungszahl zuordnet. Je größer diese Zahl ist, umso besser ist der Spieler. Vor dem Spiel haben zwei Spieler die Elo-Zahlen \(R_A\) und \(R_B\). Die Erwartungswerte \(E_A\) und \(E_B\) der beiden Spieler werden folgendermaßen berechnet: $$E_A=\frac{1}{1+10^{(R_B-R_A)/100}}$$ $$E_B=\frac{1}{1+10^{(R_A-R_B)/100}}$$ Es handelt sich dabei um ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A bzw. Spieler B gewinnt. Nach dem Spiel werden die neuen Elo-Zahlen \(R_A'\) und \(R_B'\) folgendermaßen berechnet: $$R_A'=R_A+20\cdot (S_A-E_A)$$ $$R_B'=R_B+20\cdot (S_B-E_B)$$ Die Variablen \(S_A\) und \(S_B\) geben dabei an, wie das Spiel für den jeweiligen Spieler ausgegangen ist: Bei einem Sieg wird 1 eingesetzt, bei Unentschieden 0,5 und bei einer Niederlage 0.
a) Berechne die Erwartungswerte \(E_A\) und \(E_B\) für die Ausgangssituation \(R_A=2400\) und \(R_B=2150\).
b) Berechne die neuen Elo-Zahlen \(R_A'\) und \(R_B'\) für den Fall, dass Spieler B gewonnen hat.

: Herr Maier besitzt ein quadratisches Grundstück. Um ein geplantes Projekt umsetzen zu können, möchte die Gemeinde eine Seite seines Grundstückes um 5 m verkürzen und als Ausgleich dafür die andere Seite um 5 m verlängern.
a) Begründe rechnerisch, ob Herr Maier diesem Vorhaben ohne Weiteres zustimmen kann, oder ob es Nachteile für ihn hat.
b) Wie viel müsste ihm die Gemeinde als Ausgleich zusätzlich zahlen, wenn der Grundstückspreis 70 €/m² beträgt?

: Gibt es einen Unterschied zwischen den Ergebnissen von $(a + b) \cdot (a - b)$ und $(b + a) \cdot (b - a)$? Wenn ja, welchen?

: Im Haus des Meeres kostet eine Eintrittskarte für Erwachsene 16,70 €, für Kinder 7,60 € und für bestimmte Personengruppen (z. B. Senioren, Studenten, Behinderte) 12,50 €. Stelle einen Term auf, der beschreibt, wie groß die Einnahmen durch Ticketverkäufe sind, wenn e Erwachsene, k Kinder und s Personen aus den speziellen Personengruppen das Haus des Meeres besuchen!

: Im Internet findet man zahlreiche mathematische Zaubertricks, bei denen „erraten“ wird, an welche Zahl man denkt. Ein Beispiel dafür wäre folgende Anleitung:
  ▪  Denke an eine beliebige Zahl.
  ▪  Multipliziere diese mit 2.
  ▪  Multipliziere sie nun mit 5.
  ▪  Teile das Ergebnis durch deine ursprüngliche Zahl.
  ▪  Ziehe 7 davon ab.
  ▪  Die Zahl, die du nun erhältst, lautet 3.
a) Überprüfe zunächst für eine beliebige Zahl, ob dieser Trick funktioniert.
b) Beschreibe den Vorgang allgemein anhand eines Terms und vereinfache diesen! Erkläre, warum dieser „Zaubertrick“ immer funktioniert.

: Drei Personen fahren gemeinsam mit dem Taxi nach Hause. Für eine Taxifahrt zahlt man eine Grundgebühr von $g$ Euro (alle drei Personen gemeinsam). Die Kosten pro gefahrenem Kilometer betragen $t$ Euro. Insgesamt fährt das Taxi $n$ Kilometer.
a) Finde einen Term, mit dem man die Gesamtkosten der Taxifahrt berechnen kann!
b) Finde einen Term, mit dem man die Kosten pro Person berechnen kann!

: Insgesamt fahren $S$ Schüler auf Exkursion. Die Eintrittskosten betragen $E$ Euro pro Schüler. Die Kosten für den Bus betragen für alle Schüler gemeinsam $B$ Euro. Für Lehrer entstehen bei der Exkursion keine Kosten.
a) Gib einen Term an, der die Gesamtkosten für diese Exkursion beschreibt.
b) Berechne die Gesamtkosten für 50 Schüler, wenn die Eintrittskosten pro Schüler 3 € betragen und insgesamt Buskosten in der Höhe von 660 € entstehen.
c) Was gibt der Term \(E+\tfrac{B}{S}\) an?

: Man wähle zwei positive Zahlen \(a < b\) und bilde deren Produkt. Verringert man die kleinere Zahl $a$ um 1 und erhöht die größere Zahl um 1, so ist das Produkt der neuen Zahlen kleiner als $a \cdot b$. Beweise diese Aussage!

: Auf einem Parkplatz befinden sich $a$ Autos und $m$ Motorräder. Schreibe einen Term an, der angibt, wie viele Räder auf diesem Parkplatz sind!

: Der Body-Mass-Index (BMI) wird berechnet durch folgende Formel: $$\text{BMI}=\frac{M}{G^2}$$ Dabei ist \(M\) die Masse in Kilogramm und \(G\) die Körpergröße in Meter. Eine Person, die genauso groß ist, wie du, behauptet, einen BMI von 21,7 zu haben. Berechne die Masse dieser Person. Gib außerdem deine eigene Körpergröße an.

: Bei einem bestimmten Mobilfunkvertrag zahlt man eine fixe Grundgebühr von 6,50 €. Ab 200 Gesprächsminuten zahlt man 10 Cent pro weiterer Minute und ab 100 SMS kostet jede weitere SMS 15 Cent. Ab 5 GB Datenvolumen zahlt man pro weiterem GB einen Euro.

Erstelle einen Term, mit welchem die monatlichen Kosten berechnet werden können. Die Variable $x$ steht für die Gesprächsminuten, die Variable $y$ für die versendeten SMS und die Variable $z$ für das verbrauchte Datenvolumen.

: Der Preis P eines bestimmten Produkts ändert sich. Finde jeweils einen passenden Term, der diese Änderung beschreibt.
  ▪  Der Preis P steigt um 20 % seines ursprünglichen Werts.
  ▪  Der Preis P wird um 45 € reduziert.
  ▪  Der Preis P sinkt auf 70 % seines ursprünglichen Werts.
  ▪  Der Preis P steigt um ein Fünftel seines ursprünglichen Wertes.
  ▪  Der Preis P fällt auf drei Vierteil seines ursprünglichen Wertes.

: Finde einen Term, mit dem die Anzahl der Punkte dieses Musters für eine beliebige Größe n berechnet werden kann. Erkläre außerdem kurz, wie du auf diesen Term gekommen bist.

: Erstelle eine „trinomische Formel“ zur Berechnung von $(a + b + c)^2$. Diese Formel soll keine Klammern enthalten und die einzelnen Summanden sollen so weit wie möglich zusammengefasst (addiert) werden.

: Bei der „Wien läuft“-Cupwertung erhält der Sieger jedes Laufes 100 Punkte und der letzte Platz 1 Punkt. Der Punkteabstand zwischen allen Plätzen ist gleich. Beispielsweise würden bei drei Teilnehmern 100, 50.5 und 1 Punkte bzw. bei vier Teilnehmern 100, 67, 33 und 1 Punkte vergeben werden.

Erstelle einen möglichst einfachen Term, der verwendet werden kann, um die Punkte des $x$-ten Platzes bei insgesamt $n$ Teilnehmern zu bestimmen.

: Die folgende Abbildung zeigt die ersten drei Figuren eines Musters. Finde einen Term, der für beliebige $n$ die Anzahl der dort vorkommenden Punkte angibt.

: Der kleine Benjamin erstellt mit Bauklötzen ein Bauwerk nach folgendem Muster:

Gib einen Term an, mit dem die für die Länge $n$ benötigte Anzahl an Bauklötzen berechnet werden kann. Mit Länge sind hier die waagrecht liegenden Klötze gemeint. Die Abbildung hätte beispielsweise die Länge 5.

: Das Volumen $V$ einer Kugel mit Radius $r$ kann durch folgende Formel berechnet werden: $$V=\frac{4\pi r^3}{3}$$ Ergänze die Lücken!
  ▪  Verdoppelt man den Radius, dann _________________________ sich das Volumen.
  ▪  Damit sich das Volumen verdoppelt, muss der Radius mit ___________ multipliziert werden.
  ▪  Damit sich das Volumen von 27 cm³ auf 1 cm³ reduziert, muss man den ursprünglichen Radius ___________________________.
  ▪  Eine Kugel mit einem Volumen von 10 cm³ hat den Radius ________________.

: Gib jeweils ein Beispiel eines Terms, einer Gleichung, einer Ungleichung, einer Formel und einer Funktion an!

: Kreuze jeweils an, ob es sich bei den folgenden mathematischen Objekten um einen Term oder eine Gleichung handelt. Es kann auch sein, dass keiner der Begriffe passt!

: Ein sogenanntes magisches Quadrat erfüllt folgende Eigenschaften:
  ▪  Die Summen der Terme jeder Zeile sind gleich.
  ▪  Die Summen der Terme jeder Spalte sind gleich.
  ▪  Die Summen der Terme der beiden Diagonalen sind gleich.
Vervollständige das unten abgebildete magische Quadrat und gib alle dafür nötigen Rechnungen inklusive Rechenweg an.

: Eine Studie hat ergeben, dass jede dritte Person, die an Essstörungen erkrankt, männlich ist. Verschiedene Zeitschriften schreiben daraufhin folgende Schlagzeilen. Kreuze jeweils an, ob diese Schlagzeilen dem Ergebnis der oben genannten Studie entsprechen.

: Erkläre, wie man $101^2-99^2$ mit Hilfe der dritten binomischen Formel sehr schnell ohne Taschenrechner berechnen kann!

: Kreuze an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Bei der Multiplikation von Potenzen gleicher Basis werden die Hochzahlen multipliziert.
    Bei der Division von Potenzen gleicher Basis werden die Hochzahlen subtrahiert.
    Bei der Multiplikation von Potenzen gleicher Basis werden die Hochzahlen addiert.
    Werden Potenzen potenziert, so werden die Hochzahlen multipliziert.

: Es soll im Term $2x+1$ der Wert $x=0$ eingesetzt werden. Eine Schülerin schreibt $20+1=21$. Beschreibe den Fehler und berechne das korrekte Ergebnis!

: Ein Schüler rechner $5\cdot (x\cdot y)=5x\cdot 5y$. Erkläre, ob diese Rechnung korrekt ist und korrigiere sie gegebenenfalls.