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Aufgaben zu Summen und Produkten


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu Summen und Produkten. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Aufgabensammlung

: Die eulersche Zahl e ist definiert durch folgende Reihe: $$e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$$ Berechne einen Näherungswert für e, indem du die ersten fünf Summanden addierst (also bis inklusive k = 4).

: Es gilt der folgende Zusammenhang: $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$ Berechne damit einen Näherungswert der Zahl \(\pi\), indem du die ersten fünf Summanden (also bis inklusive k = 5) addierst.

: Taschenrechner und Computer berechnen den Kosinus eines Winkels x (in Radiant) näherungsweise mit Hilfe folgender Potenzreihe: $$\cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\cdot \frac{x^{2k}}{(2k)!}$$ Berechne selbst eine Näherung für cos(1) indem du die ersten vier Summanden (also bis inklusive k = 3) der obigen Summe addierst.

: Das gewichtete arithmetische Mittel ist folgendermaßen definiert: $$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} w_i\cdot x_i }{\sum_{i=1}^{n} w_i}$$ Man kann dies beispielsweise verwenden, um mehrere Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen $w_i$ und arithmetischen Mittelwerten $x_i$ zu kombinieren. In einer Schule werden alle ersten Klassen mit demselben Test überprüft und klassenweise ausgewertet. Folgende Tabelle zeigt die Klassengröße und den arithmetischen Mittelwert der Punkte der einzelnen Schüler:

Berechne damit den arithmetischen Mittelwert der Punkte aller Schüler der 1. Klassen.

: Der Erwartungswert (also sozusagen der auf lange Sicht durchschnittlich eintretende Wert) einer diskreten Zufallsvariable ist folgendermaßen definiert: $$\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot p_i$$ Dabei ist \(x_i\) ein Wert der Zufallsvariable und \(p_i\) die Wahrscheinlichkeit, mit der dieser Wert eintritt. Beim Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel sind die Werte 1, 2, 3, 4, 5 und 6 möglich, wobei die Wahrscheinlichkeit jeweils \(\tfrac{1}{6}\) beträgt. Berechne den Erwartungswert der Augenzahl beim Werfen eines sechsseitigen Würfels.