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Aufgaben zur Rentenrechnung


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Rentenrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Aufgabensammlung

: Herr Huber zahlt 30 Jahre lang jedes Monatsende 20 € auf ein mit 3 % p.a. verzinstes privates Pensionskonto.
a) Berechne, welcher Kontostand zum Zeitpunkt der letzten Einzahlung vorliegt!
b) Wie viele Vollraten zu je 150 € erhält Herr Huber, wenn das Konto weiterhin mit 3 % p.a. verzinst wird und die erste Auszahlung einen Monat nach der letzten Einzahlung erfolgt?

: Erstelle durch händische Umformung aus der Formel für den Endwert einer nachschüssigen Jahresrente eine Formel zur Berechnung der Jahre $n$. $$E_{\text{nach}}=R\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$$

: Ein neuer Computer kostet 1399 €. Es besteht die Möglichkeit, diesen Betrag durch 12 nachschüssige Monatsraten zu je 125,57 € zu bezahlen. Berechne den effektiven Jahreszinssatz dieser Rente!

: Herr Kern schuldet Frau Huber heute 12.500 €. Er möchte diese Schuld in Jahresraten zu je 2500 € begleichen. Die erste Rate zahlt er in einem Jahr. Es wird ein Zinssatz von 10 % vereinbart.
a) Berechne die Anzahl der nötigen Vollraten.
b) Berechne die Höhe der Restzahlung, wenn diese ein Jahr nach der letzten Vollrate erfolgt.
c) Begründe, warum die Schuld nicht bereits in fünf Jahren, also nach der fünften Ratenzahlung, vollständig beglichen ist, obwohl 5 · 2500 € = 12.500 € ist.

: Jemand legt heute 25.000 € auf ein mit 3 % p.a. verzinstes Konto und lässt diesen Betrag dort 10 Jahre ruhen. Anschließend möchte er sich den Betrag als Jahresrente mit insgesamt 20 Raten auszahlen lassen, wobei die erste Rate sofort gezahlt wird. Wie groß sind die Raten?

: Ein heute aufgenommener Kredit in Höhe von 20.000 € soll durch eine nachschüssige Jahresrente mit 12 Raten zu je 2000 € zurückgezahlt werden. Berechne den Zinssatz dieser Rente.

: Ordne die vier verbal beschriebenen Barwerte bzw. Endwerte den richtigen Termen zu (einer bleibt übrig). Schreibe dazu jeweils den richtigen Buchstaben in unmittelbare Nähe des Terms! Der Zinssatz beträgt für die gesamte Aufgabe $i=5\,\%$ und die Ratenhöhe ist jeweils 200 €.
(A) Barwert einer vorschüssigen Semesterrente mit einer Laufzeit von 5 Jahren
(B) Endwert einer nachschüssigen Jahresrente mit einer Laufzeit von 10 Jahren
(C) Barwert einer nachschüssigen Monatsrente mit insgesamt 10 Raten
(D) Endwert einer vorschüssigen Semesterrente mit insgesamt 10 Raten $$200\cdot \frac{\sqrt{1{,}05}^{10}-1}{\sqrt{1{,}05}-1}\cdot \sqrt{1{,}05}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~200\cdot \frac{1{,}05^{10}-1}{1{,}05-1}~~~~~~~~~~~~~~~~~200\cdot \frac{\sqrt[12]{1{,}05}^{10}-1}{\sqrt[12]{1{,}05}-1}$$ $$200\cdot \frac{\sqrt{1{,}05}^{\,\,-10}-1}{1-\sqrt{1{,}05}}\cdot \sqrt{1{,}05}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~200\cdot \frac{\sqrt[12]{1{,}05}^{\,\,-10}-1}{1-\sqrt[12]{1{,}05}}$$

: Jemand zahlt 40 Jahre lang jeweils am Monatsende 25 € auf ein privates Pensionskonto. Anschließend möchte diese Person 10 Jahre lang am Monatsende einen konstanten Betrag ausgezahlt bekommen. Die erste Auszahlung soll einen Monat nach der letzten Einzahlung erfolgen. Der Jahreszinssatz beträgt konstant 3 %.
a) Berechne den Kontostand bei Pensionsantritt (also den Endwert der Einzahlungen).
b) Berechne die Höhe der monatlichen Zusatzpension.

: Jemand legt 35 Jahre lang am Ende jedes Quartals 500 € auf ein privates Pensionskonto. Anschließend möchte er den angesparten Betrag über einen Zeitraum von 25 Jahren jeweils am Monatsende durch gleich große Raten ausgezahlt bekommen. Als Jahreszinssatz wird 1,5 % angenommen.
a) Berechne den Wert des Pensionskontos zum Zeitpunkt des Pensionsantritts.
b) Berechne die Höhe der monatlichen Zusatzpension.

: An seinem 6. Geburtstag gewinnt Niklas‘ Mutter im Lotto 630.000 €. Von diesem Gewinn legt sie 30 % für Niklas auf ein mit 2,5 % p.a. verzinstes Konto, welches bis zu seinem 18. Geburtstag unberührt bleibt. An seinem 18. Geburtstag bekommt er einmalig 5000 € von diesem Konto ausbezahlt. Von nun an soll er bis zu seinem 80. Geburtstag jedes Monatsende einen konstanten Betrag ausgezahlt bekommen.
a) Berechne den Barwert dieser Rente zu Niklas‘ 18. Geburtstag!
b) Berechne die Höhe der monatlichen Raten!

: Eine Schuld von 5000 € soll durch monatliche Raten von 300 € zurückgezahlt werden. Der vereinbarte Monatszinssatz beträgt 0,4 %. Die erste Zahlung erfolgt in genau einem Monat.
a) Berechne die Anzahl der Vollraten.
b) Berechne den Restbetrag, der gleichzeitig mit der letzten Vollrate bezahlt wird.

: Ein Kredit soll über 20 Jahre durch nachschüssige Quartalsraten zu je 500 € zurückgezahlt werden. Der Zinssatz beträgt 3 % p. a. Nach 10 Jahren wird entschieden, dass die Laufzeit auf 15 Jahre verkürzt werden soll. Berechne die Höhe der Quartalsraten für die verbleibenden 5 Jahre.

: Es ist der nachfolgende Tilgungsplan gegeben:

a) Berechne den verwendeten Quartalszinssatz.
b) Berechne den dazu äquivalenten Jahreszinssatz.
c) Vervollständige die letzte Zeile des obigen Tilgungsplanes.
d) Erkläre, warum die folgende Behauptung richtig ist: „Eine Verdoppelung der Annuität eines Quartals führt nicht zu einer Verdoppelung des Tilgungsanteils dieses Quartals.“

: Herr Karner möchte sich ein neues Auto kaufen, hat jedoch nicht genügend Geld angespart um den vollen Kaufpreis von 59 900 € zahlen. Daher möchte er das Auto leasen. Ihm werden folgende Konditionen angeboten:
  ▪  Anzahlung: 12 500 €
  ▪  Laufzeit: 36 Monate
  ▪  monatlich nachschüssige Rate: 890 €
  ▪  Restwert: 23 000 €
Berechne den effektiven Jahreszinssatz für dieses Leasinggeschäft.

: Ein Kredit von 270.000 € soll durch 10 nachschüssige Jahresraten zurückgezahlt werden. Der Zinssatz beträgt 1,35% p.a.
a) Berechne die Höhe der Jahresraten.
b) Aufgrund finanzieller Probleme entfallen die 4. und die 5. Rate. Berechne, wie hoch die Jahresraten der folgenden fünf Jahre sein müssen, um die Zahlungsverpflichtung trotzdem in der vorgesehenen Zeit zu erfüllen.

: Lukas erbt am 11. März 2019 (Montag) einen Betrag von 15.300 €. Dieser bleibt bis zu seinem 18. Geburtstag am 22. Juli 2025 (Dienstag) unberührt und wird mit einem Jahreszinssatz von 2,5 % angelegt.
a) Berechne, welchen Wert die Erbschaft dann hat! Verwende dazu theoretische Verzinsung.
b) Der angesparte Betrag wird nun durch zehn gleich große Jahresraten ausbezahlt, wobei der Zinssatz während dieser zehn Jahre nur 2 % beträgt. Die erste Zahlung erfolgt an Lukas' 18. Geburtstag. Berechne die Höhe der jährlichen Raten!

: Victoria möchte für ihre Pension ansparen und zahlt daher privat 20 Jahre lang jeden Monatsanfang 50 € auf ein mit 2 % p.a. verzinstes Pensionskonto.
a) Berechne den Kontostand am Ende der 20 Jahre.
Clemens hat auf ähnliche Weise einen Betrag von 15.700 € angespart und möchte sich beginnend ab heute bei einem Monatszinssatz von 0,15 % jeden Monatsanfang 150 € auszahlen lassen.
b) Berechne die Anzahl an möglichen Vollraten. Gib an, wie viele Jahre und Monate es dauert, bis die letzte Vollrate abgehoben wird.