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Aufgaben zur Regressionsrechnung


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Regressionsrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Aufgabensammlung

: Eine repräsentative Anzahl erwachsener Männer zwischen 18 und 30 Jahren wurde in fünf verschiedene Gruppen geteilt, die jeweils pro Woche eine gewisse Anzahl an Trainingsstunden absolvieren mussten. Nach 10 Wochen wurden die Leistungen im 100-Meter-Lauf gemessen. Dabei ergaben sich für die fünf Gruppen folgende Durchschnittswerte:

a) Erstelle anhand dieser Daten eine lineare Ausgleichsfunktion, welche die 100-Meter-Laufzeit (in Sekunden) in Abhängigkeit des wöchentlichen Trainingsaufwands (in Stunden) beschreibt.
b) Welche Laufzeit würde eine Person mit 20 wöchentlichen Trainingsstunden (was im Profisportbereich üblich ist) erreichen? Welche Zeit würde man mit 40 Trainingsstunden erreichen?
c) Argumentiere, warum die Ergebnisse aus Punkt b) nicht realistisch sind. Welcher Funktionstyp wäre anstelle einer linearen Funktion besser geeignet?

: Ein Unternehmen ermittelt für verschiedene Produktionsmengen $x$ folgende Kosten $K(x)$:

Bestimme eine kubische Kostenfunktion $K(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, welche diesen Zusammenhang bestmöglich beschreibt.

: Suche im Internet nach Einwohnerzahlen Österreichs zu bestimmten Jahren (diese sollten zumindest einige Jahrzehnte abdecken). Erstelle damit eine Funktion, welche die Bevölkerungseinwicklung Österreichs realistisch vorhersagt. Vergleiche dein Ergebnis für das Jahr 2050 bzw 2100 mit Prognosen aus dem Internet.

: Bei einer Vollbremsung setzt sich der Anhalteweg eines Autos aus dem sogenannten Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammen. Die Formel für den gesamten Anhalteweg lautet folgendermaßen: $$s(v)=\frac{v^2}{2a}+t_R\cdot v$$ Hier ist $a$ die Bremsverzögerung und $t_R$ die Reaktionszeit (also jene Zeit, die zwischen dem Auftauchen des Hindernisses und dem Einsetzen der vollen Bremswirkung vergeht).

Es wurden folgende Daten ermittelt:

a) Ermittle durch Ausgleichsrechnung eine Funktion mit der oben genannten Struktur, welche jeder Geschwindigkeit $v$ (in km/h) den entsprechenden Anhalteweg $s$ (in m) zuordnet.
b) Berechne den Anhalteweg bei einer Geschwindigkeit von 100 km/h.
c) Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Anhalteweg genau 100 m?
d) Bestimme die Bremsverzögerung $a$ (in m/s²) und die Reaktionszeit $t_R$ (in s). Achte dabei auf den korrekten Umgang mit Einheiten!

: Die folgende Tabelle enthält einige Einwohnerzahlen Australiens, gemessen in Millionen Einwohnern.

a) Erstelle daraus eine Exponentialfunktion $E(t)$, welche die Einwohnerzahl (gemessen in Millionen) beschreibt. Dabei wird $t$ in Jahren gemessen und $t=0$ steht für das Jahr 1950.
b) Wie viele Menschen werden voraussichtlich im Jahr 2050 dort leben?
c) Um wie viel Prozent wächst die Bevölkerung jährlich?

: Die folgende Tabelle enthält einige Einwohnerzahlen Schwedens, gemessen in Millionen Einwohnern.

a) Erstelle daraus mit Hilfe der Ausgleichsrechnung (Regressionsrechnung) eine quadratische Funktion $E(t)$, welche die Einwohnerzahl ab 2000 beschreibt, also im Jahr 2000 soll $t=0$ gelten. Die Variable $t$ wird in Jahren gemessen.
b) Berechne anhand der soeben ermittelten Funktion eine Einwohnerprognose für das Jahr 2018.
c) Im Jahr 2018 hatte Schweden tatsächlich 10,224 Mio. Einwohner. Berechne, um wie viel Prozent die Prognose vom realen Wert abweicht.