Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

: Gib eine beliebige quadratische Gleichung an, welche genau zwei ganzzahlige Lösungen besitzt.

: Gib eine beliebige quadratische Gleichung an, die keine reelle Lösung besitzt.

: Die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ stehen im rechten Winkel aufeinander. Es ist bekannt, dass $F_2$ um 20 N größer ist als $F_1$. Die resultierende Kraft $F_R$ beträgt 90 N. Berechne, wie groß die beiden Kräfte sind!

: Forme folgende Formel aus der Physik nach der Variable $t$ um: $$s=\frac{a}{2}\cdot t^2$$

: Gegeben ist die quadratische Gleichung $2x^2 + 4x + c = 0$ mit einer reellen Konstante $c$. Kreuze alle richtigen Aussagen an.   ○  Ist $c>2$, dann hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.  ○  Ist $c>2$, dann hat die Gleichung keine reelle Lösung.  ○  Ist $c=2$, dann hat die Gleichung genau eine reelle Lösung.  ○  Ist $c<2$, dann hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.  ○  Ist $c<2$, dann hat die Gleichung keine reelle Lösung.

: Der Zähler eines Bruches ist um 7 gtößer als dessen Nenner. Werden Zähler und Nenner um 8 vergrößert, so wird der Bruch um $\frac{1}{10}$ kleiner als der ursprüngliche Bruch. Bestimme den ursprünglichen Bruch!

: Bei einem Rechteck ist eine Seite um 3 cm kürzer als die andere. Die Diagonale beträgt 30 cm. Wie lang sind die beiden Seiten des Rechtecks?

: Die Summe von drei direkt aufeinanderfolgenden Quadratzahlen beträgt 149. Bestimme die Wurzeln der beteiligten Quadratzahlen!

: Begründe, warum es ein Rechteck mit Umfang 8 cm und Flächeninhalt 5 cm² nicht gibt.

: Gesucht ist eine positive Zahl x mit folgender Eigenschaft: Multipliziert man das Dreifache von x mit jener Zahl, die um 5 kleiner ist als x, so erhält man 1242. Berechne die gesuchte Zahl!

: Gegeben ist ein quadratisches Stück Karton mit Seitenlänge a. Daraus soll gemäß der abgebildeten Skizze eine Faltschachtel mit einer Höhe von 5 cm hergestellt werden.

a) Erstelle eine Formel für das Volumen der entstehenden Schachtel. b) Berechne, welche Seitenlänge der Karton haben muss, damit das Volumen der Schachtel 650 cm³ beträgt.

: Kreuze alle quadratischen Gleichungen an, die keine reelle Lösung besitzen!   ○  $x^2=49$  ○  $0{,}5x^2-1{,}2=2{,}5x$  ○  $5+2x^2=3x$  ○  $9x^2-12x+4=0$

: Gegeben ist die Gleichung $1{,}2x^2 - 4{,}9x + 2{,}3 = 3{,}5x - 9{,}7$. Grundmenge sind die natürlichen Zahlen. Kreuze alle richtigen Aussagen an!   ○  1 ist Lösung dieser Gleichung.  ○  2 ist Lösung dieser Gleichung.  ○  3 ist Lösung dieser Gleichung.  ○  4 ist Lösung dieser Gleichung.  ○  5 ist Lösung dieser Gleichung.

: Zwei Kugeln mit den Massen $m_1=100\,\text{g}$ und $m_2=150\,\text{g}$ stoßen mit den Geschwindigkeiten $v_1=3\,\text{m/s}$ und $v_2=-1\,\text{m/s}$ zusammen. Beim elastischen Stoß haben Energie- und Impulserhaltungssatz die folgende Form:   ▪  Energieerhaltungssatz: Die Summe der kinetischen Energien $\tfrac{mv^2}{2}$ vor und nach dem Stoß ist gleich.  ▪  Impulserhaltungssatz: Die Summe der Impulse $mv$ vor und nach dem Stoß ist gleich. Berechne die Geschwindigkeiten $w_1$ und $w_2$ nach dem Stoß.

: Bei einem Rechteck ist eine Seite um 1,3 m kürzer als die andere Seite. Der Flächeninhalt beträgt 42,48 m². Berechne die beiden Seitenlängen!

: Finde Werte für $a,b,c$, sodass die quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$ die Lösungen $x_1=17$ und $x_2=23$ besitzt.

: Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete um 1,3 m länger als die andere Kathete. Der Flächeninhalt beträgt 31,39 m². Berechne die beiden Kathetenlängen!

: Finde rechnerisch (also nicht durch Ausprobieren oder durch Internetrecherche) die drei kleinsten natürlichen Zahlen $a,b,c$ für welche $a^2+b^2=c^2$ gilt und deren Differenz gleich ist.

: Bildet man die Summe aus einer natürlichen Zahl und ihrer Quadratzahl, so erhält man 1406. Um welche Zahl handelt es sich?

: Die Summe von zwei natürlichen Zahlen lautet 56. Das Produkt dieser Zahlen ist 663. Um welche Zahlen handelt es sich?

: In der Mitte eines rechteckigen Grundstücks steht ein Haus mit rechteckiger Grundfläche. Das heißt, zwischen Hausmauer und Gartenzaun ist überall derselbe Abstand. Die Seitenlängen des Hauses sind 12 m und 20 m. Die Gartenfläche beträgt 585 m². Wie groß ist der Abstand zwischen Hausmauer und Gartenzaun?

: Finde alle Zahlen, für welche $x+x$ und $x\cdot x$ zum selben Ergebnis führen.

: Finde alle Zahlen, für welche $x+x+x$ und $x\cdot x \cdot x$ zum selben Ergebnis führen.

: Bestimme die Seitenlängen eines Rechtecks, sodass die Differenz zwischen den beiden Seitenlängen dieselbe ist, wie jene zwischen der längeren Seite und der Diagonale. Die Länge der Diagonale beträgt 685 mm.

: Der Umfang eines Rechtecks beträgt 52 cm. Der Flächeninhalt beträgt 153 cm². Welche Länge haben die beiden Seiten des Rechtecks?

: Es sollen die Seitenlängen zweier Quadrate bestimmt werden. Die Differenz der Seitenlängen beträgt 2,6 cm. Die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate beträgt 101,38 cm².

: Gegeben ist die kubische Gleichung $x^3-7x^2+41x-87=0$. Kreuze an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind!

: Erstelle aus der folgenden physikalischen Gleichung eine Formel zur Berechnung von $t$! $$s=s_0+v_0\cdot t+\frac{a\cdot t^2}{2}$$

: Für den Bremsweg $s$ eines Fahrzeuges mit konstanter Bremsverzögerung gilt folgende physikalische Formel: $$s=v_0\cdot t- \frac{a}{2}\cdot t^2$$ Dabei ist $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit, $a$ die Bremsverzögerung und $t$ die Bremsdauer.
Berechne die Bremsdauer, wenn der Bremsweg 45 m, die Bremsverzögerung 10 m/s² und die Anfangsgeschwindigkeit 108 km/h beträgt.

: Das Volumen eines Kegelstumpfes kann durch folgende Formel berechnet werden: $$V=\frac{h\cdot\pi}{3}\cdot (R^2+R\cdot r+r^2)$$ Das Volumen beträgt 170 cm³, die Höhe ist 5 cm und der Radius $R$ der Grundfläche ist 4 cm. Berechne den Radius $r$ der Deckfläche.

: Bei einem Monitor mit einer Bildschirmdiagonale von 89,0 cm (35 '') unterscheiden sich die Seitenlängen um 46,74 cm. a) Berechne die beiden Seitenlängen. b) Kreuze anschließend das passende Seitenverhältnis an.   ○  $4\,:\,3$  ○  $5\,:\,4$  ○  $16\,:\,9$  ○  $16\,:\,10$  ○  $21\,:\,9$

: Die Oberfläche $O$ eines Drehkegels kann durch die Formel $O=2\pi r^2+2\pi rh$ berechnet werden. Erstelle daraus eine Formel, mit welcher aus der Oberfläche $O$ und der Höhe $h$ der zugehörige Radius $r$ ermittelt werden kann.

: Begründe, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist: Wenn bei der Gleichung $ax^2+bx+c=0$ entweder $a$ oder $c$ negativ ist (aber nicht beide), so besitzt die Gleichung mindestens eine reelle Lösung.