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Aufgaben zu quadratischen Funktionen


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Mathematischer Hintergrund

Bei einer quadratischen Funktion entspricht der Funktionsterm einem Polynom zweiter Ordnung. Den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion bezeichnet man als Parabel. Quadratische Funktionen besitzen entweder keine, eine oder zwei Nullstellen. Diese können durch die sogenannte große Lösungsformel berechnet werden. Den höchsten bzw. tiefsten Punkt des Funktionsgraphen nennt man Scheitelpunkt. Er befindet sich immer in der Mitte der beiden Nullstellen (sofern diese existieren).

Anwendungsgebiete

Quadratische Funktionen kommen in einigen physikalischen Bereichen zum Einsatz. Beispielsweise sind Flugkurven unter Vernachlässigung des Luftwiderstands parabelförmig. Der zurückgelegte Weg bei gleichmäßiger Beschleunigung entspricht ebenfalls einer quadratischen Funktion. Darüber hinaus sind zahlreiche Gebäude und Strukturen zumindest näherungsweise parabelförmig (z. B. Brückenbögen, Hängebrücken, Hallendächer, Eingangstore). In der Wirtschaft wird auch der Gewinn häufig durch quadratische Funktionen beschrieben.

Aufgabensammlung

: Vom Dach eines Turms wird ein Ball senkrecht nach unten fallen gelassen. Die Höhe h (in Metern) des Balles über dem Erdboden wird durch die quadratische Funktion h(t) = 30 - 5t² beschrieben, wobei t die Zeit (in Sekunden) nach dem Loslassen des Balles ist. Der Luftwiderstand wird in diesem Modell nicht berücksichtigt.
a) Nach wie vielen Sekunden erreicht der Ball den Boden?
b) Wie hoch ist der Turm?
c) Welche Strecke hat der Ball nach 2 Sekunden zurückgelegt?

: Zur Verbesserung der Technik wurde im Training die Flugbahn der Kugel eines Kugelstoßers analysiert. Man erhielt die quadratische Funktion $h(x) = -0{,}07x^2 + 0{,}8x + 2{,}1$. Dabei ist $x$ die Entfernung vom Abstoßpunkt (in Meter) und $h$ die Höhe der Kugel über dem Boden (ebenfalls in Meter).
a) Welche Weite wurde bei diesem Versuch erzielt?
b) Aus welcher Höhe wurde die Kugel abgestoßen?
c) Wie hoch war die Kugel an ihrer höchsten Stelle?

: Eine quadratische Funktion ist in der Form f(x) = a · (x + b)² + c gegeben. Gib eine mögliche Auswahl der Koeffizienten a, b, c an, sodass die Funktion keine reelle Nullstelle hat.

: Eine quadratische Funktion ist in Scheitelpunktform f(x) = a · (x - xs)² + ys gegeben. Gib eine mögliche Auswahl der Koeffizienten a, xs, ys an, sodass die Funktion zwei verschiedene reelle Nullstellen hat.

: Eine quadratische Funktion ist in der Scheitelpunktform f(x) = a · (x - xs)² + ys gegeben. Gib eine mögliche Auswahl der Koeffizienten a, xs, ys an, sodass die Funktion nur eine Nullstelle hat.

: Die nachfolgende Grafik zeigt eine parabelförmige Bogenbrücke. An den Punkten A und C ist der Brückenbogen im Gelände verankert und Punkt B ist der Scheitelpunkt des Brückenbogens. Die Straße verläuft entlang der horizontalen Achse. Alle Angaben sind in Meter.

a) Ermittle eine Funktionsgleichung, welche die Form des Brückenbogens gemäß dieser Abbildung beschreibt.
b) Ermittle die Spannweite s der Brücke, also die Entfernung zwischen den beiden Schnittpunkten S1 und S2 des Brückenbogens und der Straße.
c) Ermittle die Höhe h der beiden Brückenpfeiler, welche jeweils nach einem Drittel der Spannweite errichtet werden sollen.

: Eine quadratische Funktion besitzt den Scheitelpunkt S(2|5). Gib einen weiteren Punkt an, der Element des Funktionsgraphen ist, sodass die dadurch festgelegte Funktion auf jeden Fall zwei reelle Nullstellen besitzt (also zwei Schnittpunkte mit der x-Achse hat).

: Ein Tor eines Grundstücks hat unten eine Breite von 3,2 m und ist 3,5 m hoch. Der Umriss des Tors kann in guter Näherung durch eine quadratische Funktion beschrieben werden.
a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, welche die Form des Tors beschreibt. Lege dabei die Symmetrieachse des Tors auf die y-Achse des Koordinatensystems.
b) Passt ein Auto mit einer Breite von 2,0 m und einer Höhe von 1,5 m durch dieses Tor? Wie sieht die Situation bei einem Auto mit einer Breite von 2,2 m und einer Höhe von 1,9 m aus?

: Ein Tennisplatz hat eine Länge von 23,77 m (78 ft). Vernachlässigt man Luftwiderstand, Wind und andere Effekte, so entspricht die Flugkurve eines Tennisballes einer quadratischen Funktion. Eine Ballwurfmaschine soll so eingestellt werden, dass der Scheitelpunkt der Flugkurve über dem Netz liegt und die Bälle dort eine Höhe von 1,2 m haben. Der Landepunkt soll 1 m vor der gegnerischen Grundlinie (Ende des Spielfeldes) liegen. Die Abschusshöhe der Bälle beträgt 70 cm. In welcher Entfernung vom Netz muss die Maschine aufgestellt werden, damit eine solche Flugbahn möglich ist? Fertige eine Skizze der Situation an!

: Beim Kugelstoßen kann die Flugbahn durch eine quadratische Funktion beschrieben werden (da hier nahezu kein Luftwiderstand vorhanden ist). Beim Hallentraining passiert Paul ein Missgeschick: Er schießt die Kugel an die Decke der 6 m hohen Halle. Die Kugel verlässt dabei seine Hand in einer Höhe von 2,3 m. Der Einschlag ist horizontal gemessen 4,5 m vom Abwurf entfernt.
a) Begründe, ob man mit diesen Angaben die Weite des Wurfes rekonstruieren kann?
b) Wie weit wäre die Kugel mindestens geflogen?

: Ein Freistoß wird aus einer Entfernung von 20 m vom Tor geschossen. Die Mauer befindet sich 9,15 m vom Ball entfernt und es wird angenommen, dass diese 2,5 m hoch springt. Das Tor ist 2,44 m hoch. Stelle eine quadratische Funktion auf, welche eine mögliche Flugbahn (es gibt unendlich viele) des Balles beschreibt, sodass dieser über die Mauer hinweg ins Tor fliegt. Lege dabei den Ursprung des Koordinatensystems in den Abschusspunkt. Die Größe des Balls kannst du vernachlässigen (d. h. er kann als Punkt betrachtet werden).

: Ein Unternehmen möchte den Gewinn optimieren, den es mit einem bestimmten Produkt erzielt. Es wird davon ausgegangen, dass die Gewinnfunktion einer quadratischen Funktion entspricht. Die Fixkosten für die Produktion dieses Produktes betragen 20.000 €. Außerdem ist bekannt, dass der Break-Even-Point bei einer Menge von 1600 Stück liegt, und dass bei 2000 Stück ein Gewinn von 3200 € vorliegt.
a) Bestimme die Gewinnfunktion G(x), welche diesen Produktionsprozess beschreibt.
b) Ermittle, bei welcher Stückzahl der größte Gewinn erzielt werden kann! Wie groß ist dieser?

: Bei der Herstellung eines bestimmten Produktes betragen die Fixkosten 20 GE. Werden 50 ME produziert, so betragen die Gesamtkosten 1470 GE. Bei 150 ME betragen sie 11.870 GE. Der Verkaufspreis beträgt 20 GE/ME. Es wird angenommen, dass die Kostenfunktion einer quadratischen Funktion entspricht.
a) Bestimme die Kostenfunktion K(x).
b) Bestimme die Erlösfunktion E(x).
c) Bestimme die Gewinnfunktion G(x).
d) Berechne den maximalen Gewinn und die dafür nötige Produktionsmenge.
e) Berechne den Gewinnbereich.

: Ein Unternehmen geht davon aus, dass der Gewinn in Abhängigkeit der produzierten Stückzahl durch eine quadratische Funktion beschrieben werden kann. Die Fixkosten betragen 3000 GE. Analysen haben ergeben, dass das Optimum bei 250 ME liegt. Der Gewinn beträgt hier 6000 GE.
a) Bestimme die Gewinnfunktion G(x) in Abhängigkeit von der produzierten Menge x.
b) Ermittle, für welchen Produktionsbereich ein Gewinn vorliegt.
c) Was könnten Gründe dafür sein, dass der Gewinn bei größeren Stückzahlen wieder abnimmt?

: Ein Mathematiklehrer sucht für eine Aufgabe eine quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c, welche keine reelle Nullstelle besitzt. Wie kann er vorgehen, um passende Koeffizienten a, b, c zu finden, wenn er nicht einfach solange zufällige Zahlen ausprobieren möchte, bis es passt?

: Beim Kugelstoßen entspricht die Flugbahn einer Parabel und kann daher durch eine quadratische Funktion beschrieben werden. Die Kugel wird in einer Höhe von 2 m abgeworfen und erreicht die maximale Höhe von 5,84 m in einer horizontalen Entfernung von 4 m.
a) Zeichne eine Skizze des Funktionsgraphen.
b) Bestimme die Funktionsgleichung, welche die Flugbahn der Kugel beschreibt.
c) Berechne die Flugweite der Kugel.

: Die Gewinnfunktion eines Produktes lautet $G(x)=-2x^2 + 180 x - 2500$.
a) Ermittle jenen Gewinn, der bei einer Produktionsmenge von 60 ME vorliegt.
b) Berechne, für welche Produktionsmenge(n) der Gewinn 300 GE beträgt.
c) Ermittle den maximalen Gewinn, welcher mit diesem Produkt erzielt werden kann, und die dafür notwendige Produktionsmenge.

: Es soll ein Springbrunnen gemäß der unten abgebildeten Skizze entworfen werden. Das Wasser soll 1,2 m über dem Beckenboden austreten. Der höchste Punkt des Wasserstrahls soll 1,8 m über dem Boden des Beckens und bei einem Radius von 0,7 m liegen. Den Boden soll das Wasser bei einem Radius von ⅔ des Außenradius des Beckens erreichen. Berechne den dafür nötigen Außenradius R des Beckens!

: Ein Löschflugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 300 km/h und wirft Wasser in einer Höhe von 750 m ab. In horizontaler Richtung bewegt sich das Wasser nach dem Abwurf mit der Geschwindigkeit des Flugzeuges. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes bleibt diese Geschwindigkeit konstant. Vertikal wird das Wasser mit 9,81 m/s² beschleunigt. Die Höhe kann durch die Formel $h(t)=h_0-\tfrac{9{,}81}{2}\cdot t^2$ beschrieben werden, wobei $h_0$ die Abwurfhöhe und $t$ die Zeit nach dem Abwurf (in Sekunden) ist. In welcher horizontalen Entfernung vor dem Brand muss das Wasser abgeworfen werden, damit es diesen trifft?

: Ein Unternehmen ermittelt für ein bestimmtes Produkt die Gewinnfunktion $$G(x)=-0{,}005x^2+14x-5300.$$
a) Berechne die Gewinnzone.
b) Berechne den Maximalgewinn und die zugehörige Produktionsmenge.

: Ein Unternehmen ermittelt für ein bestimmtes Produkt die Gewinnfunktion $$G(x)=-0{,}004x^2+12x-3500.$$
a) Die Gewinnzone liegt zwischen $\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~}$ ME und $\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~}$ ME.
b) Die Fixkosten betragen $\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~}$ GE. Der Gewinn bei einer Produktion von 1000 ME beträgt $\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~}$ GE.
c) Der Maximalgewinn beträgt $\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~}$ GE. Er wird bei einer Produktionsmenge von $\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~}$ ME erreicht.

: Beschreibe, welches Vorzeichen die Parameter $a$ und $c$ haben müssen, damit der Graph von $f(x)=ax^2+c$ dem unten abgebildeten entspricht.

: Bei Kraftfahrzeugen ist der Treibstoffverbrauch von der Geschwindigkeit abhängig. Sehr langsame Durchschnittsgeschwindigkeiten und auch große Geschwindigkeiten führen zu einem erhöhten Treibstoffverbrauch. Für ein bestimmtes Modell ist der Verbrauch im höchsten Gang (gemessen in Liter/100 km) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit (in km/h, gültig ab 40 km/h) durch folgende Funktion gegeben: $$f(x)=0{,}0008x^2-0{,}09x+8$$ Für eine Fahrt stehen zwei Routen zur Verfügung. Einerseits können 230 km auf der Autobahn (Durchschnittsgeschwindigkeit: 120 km/h) gefahren werden und andererseits kann das Ziel auch durch 280 km auf Landstraßen (Durchschnittsgeschwindigkeit: 75 km/h) erreicht werden.
a) Stelle die Funktion im Intervall $[40;150]$ graphisch dar!
b) Berechne, bei welcher Geschwindigkeit das Fahrzeug den geringsten Verbrauch hat.
c) Berechne, auf welcher der beiden Routen weniger Treibstoff verbraucht wird. Gib jeweils den tatsächlichen Gesamtverbrauch an!
d) Berechne, wie viel Zeit man sich durch die erste Route (Autobahn) erspart.

: Die Flugkurve eines Fußballs beim Abstoß kann durch die Funktionsgleichung $f(x)=-0{,}02x^2+x$ beschrieben werden.
a) Berechne, wie weit der Ball geflogen ist.
b) Bestimme die maximale Höhe des Balls.

: Die Flugkurve eines Speers entspricht einer Parabel (siehe Abbildung) und kann durch folgende quadratische Funktion beschrieben werden: $$f(x)=-0{,}012x^2+0{,}5x+2{,}3$$ Dabei werden $f(x)$ und $x$ jeweils in Metern gemessen.

a) Ermittle die Abwurfhöhe des Speers.
b) Berechne, in welcher horizontalen Entfernung vom Abwurf der Speer gelandet ist.
c) Berechne die maximale Flughöhe des Speers.

: Die Einwohnerzahl eines bestimmten Landes kann durch folgende quadratische Funktion beschrieben werden: $$E(t)=5\cdot 10^{-4}\cdot t^2+0{,}2\cdot t+12{,}65$$ Dabei ist $t$ die Zeit in Jahren ab dem 1. Jänner 1970 und $E(t)$ die zugehörige Einwohnerzahl gemessen in Millionen.
a) Berechne, wann erstmals 30 Mio. Einwohner in diesem Land leben.
b) Was beschreibt der Term $\frac{E(40)-E(35)}{5}$ im Sachzusammenhang?
c) Berechne die Einwohnerzahlen am 1. Jänner 2010 und am 1. Jänner 2020.
d) Um wie viel Prozent ist die Einwohnerzahl vom 1. Jänner 2010 bis zum 1. Jänner 2020 gewachsen?

: Es sind die folgenden vier quadratischen Funktionen gegeben:
  ▪  $f(x)=ax^2+bx$ mit $a<0$ und $b>0$
  ▪  $f(x)=ax^2+bx$ mit $a>0$ und $b<0$
  ▪  $f(x)=ax^2+c$ mit $a<0$ und $c<0$
  ▪  $f(x)=ax^2+c$ mit $a>0$ und $c>0$
Schreibe jeweils dazu, welche der folgenden Eigenschaften zutreffend sind.
A ... Der Funktionsgraph verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems.
B ... Der Funktionsgraph ist symmetrisch bezüglich der Ordinate (y-Achse).
C ... Der Funktionsgraph ist nach oben offen.
D ... Die Funktion besitzt keine reelle Nullstelle.

: Mit einer Leuchtpistole wird senkrecht nach oben geschossen. Nach einer Sekunde hat die Patrone eine Höhe von 23 m erreicht. Nach zwei Sekunden sind es bereits 39 m. Der Abschuss erfolgt aus einer Höhe von 2 m.
a) Stelle eine quadratische Funktion $h(t)$ auf, welche die Höhe $h$ der Patrone in Abhängigkeit von der Zeit $t$ nach dem Abschuss beschreibt. Dabei wird $h$ in Metern und $t$ in Sekunden gemessen.
b) Berechne, nach welcher Zeit die Patrone am Boden gelandet ist.
c) Berechne die maximale Höhe der Patrone und nach welcher Zeit diese erreicht wird.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x) = x^2 + 3$ hat den Scheitelpunkt bei $(\, 3 \mid 0 \,)$.
    Die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x) = x^2 - 5$ hat den Scheitelpunkt bei $(\, 5 \mid 0 \,)$.
    Die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x) = x^2 + 4$ hat den Scheitelpunkt bei $(\, 0 \mid 4 \,)$.
    Die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x) = (x - 7)^2$ hat den Scheitelpunkt bei $(\, 7 \mid 0 \,)$.

: Begründe nachvollziehbar, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.
a) Sind $a,b,c>0$, dann hat die quadratische Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ immer zwei reelle Nullstellen.
b) Ist bei einer quadratischen Funktion der Form $f(x) = ax^2 + bx +c$ der Koeffizient $b$ negativ, so ist der Scheitelpunkt der Parabel immer rechts der $y$-Achse.