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Aufgaben zu natürlichen Zahlen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu natürlichen Zahlen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Mathematischer Hintergrund

Ein zentraler Begriff der natürlichen Zahlen ist die Teilbarkeit. Mit den Teilbarkeitsregeln kann überprüft werden, ob eine bestimmte Teilbarkeit erfüllt wird. Primzahlen sind eine spezielle Teilmenge der natürlichen Zahlen, welche genau zwei Teiler besitzen, nämlich 1 und sich selbst. Weitere wichtige Begriffe sind der größte gemeinsame Teiler (kurz GGT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kurz KGV). Zu deren Berechnung wird häufig die Primfaktorzerlegung verwendet.

Anwendungsgebiete

Teilbarkeitsregeln sind nützlich, um Brüche zu kürzen. Das kleinste gemeinsame Vielfache kommt beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen zum Einsatz, um den gemeinsamen Nenner zu bestimmen.

Aufgabensammlung

: Kreuze an, ob es sich bei den folgenden Zahlen um Primzahlen handelt.

: Ist das Produkt zweier gerader Zahlen durch 2 teilbar? Begründe deine Entscheidung!

: Ist das Produkt zweier ungerader Zahlen durch 2 teilbar? Begründe deine Entscheidung!

: Ist das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl durch 2 teilbar? Begründe deine Entscheidung!

: Die Zahl 9503 ist durch 17 teilbar. Warum kann man mit dieser Information sofort sagen, dass die Zahl 9509 nicht durch 17 teilbar ist?

: Die Zahl 6552 ist durch 7 teilbar. Warum kann man anhand dieser Information sofort erkennen, dass die Zahl 6559 auch durch 7 teilbar ist?

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Das Produkt zweier gerader Zahlen ist gerade.
    Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist gerade.
    Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade.
    Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade.

: Die Primfaktorzerlegung der Zahl 27720 lautet $2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$. Begründe, wie man anhand dieser Information erkennen kann, dass die Zahl durch 33 teilbar ist.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Die Summe zweier gerader Zahlen ist gerade.
    Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade.
    Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade.

: Ermittle die kleinste natürliche Zahl, die durch 24, 18 und 25 teilbar ist.

: Ein bisher ungelöstes Problem der Mathematik ist die sogenannte (starke) Goldbachsche Vermutung. Diese besagt, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann. Bestätige diese Behauptung für die Zahlen 32 und 100!

: Die schwache Goldbachsche Vermutung (eine unbewiesene mathematische Aussage) besagt, dass jede ungerade Zahl, welche größer als 5 ist, als Summe von drei Primzahlen angeschrieben werden kann. Überprüfe die Richtigkeit dieser Aussage für zwei beliebige ungerade Zahlen, die größer als 5 sind!

: Benjamin ist am 23. Juli geboren, Lukas am 30. August und Sandra am 19. November. Welche dieser Personen feiern am selben Wochentag Geburtstag?

: Peters Sportmannschaft besteht aus 12 Spielern. Als Belohnung für den überraschenden Erfolg beim letzten Spiel möchte ihnen der Trainer beim nächsten Training Kekse mitbringen. Eine Packung dieser Kekse enthält 20 Stück. Was ist die kleinste Anzahl an Packungen, die Peters Trainer kaufen muss, damit jeder Spieler gleich viele Kekse bekommt? Wie viele Kekse bekommt dann jeder?

: Ein Schaltjahr liegt grundsätzlich vor, wenn die Jahreszahl durch 4 teilbar ist. Eine Ausnahmeregelung gilt, wenn sie auch durch 100 geteilt werden kann. In diesem Fall muss die Jahreszahl zusätzlich durch 400 teilbar sein. Welche der Jahre 1900, 1920, 1958, 1977, 1984, 1994, 2000, 2002, 2007, 2010 und 2012 waren Schaltjahre?

: Laura hat sich vorgenommen, ab heute folgenden Plan zu befolgen:
  ▪  Alle 10 Tage möchte sie ihr Zimmer gründlich aufräumen.
  ▪  Alle 14 Tage möchte sie ihr Aquarium reinigen.
  ▪  Alle 20 Tage möchte sie die Daten auf ihrem Computer sichern.
In wie vielen Tagen kommen das nächste Mal alle drei Tätigkeiten zusammen?

: Für eine natürliche Zahl $n$ ist die Fakultät $n!$ definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis $n$. Beispielsweise ist $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Was ist die letzte Ziffer von $n!$ für $n\geq 5$, und warum ist das für jede natürliche Zahl ab $n=5$ so?

: Begründe, warum für jede natürliche Zahl \(n \geq 2\) gilt, dass das Quadrat dieser Zahl um 1 größer ist als das Produkt der beiden Nachbarzahlen. Beispielsweise ist \(10^2 = 100\) und \(9 \cdot 11 = 99\).

: Multipliziert man eine beliebige Zahl mit 31, so hat das Ergebnis dieser Multiplikation dieselbe Einerstelle wie die ursprüngliche Zahl. Begründe, warum das so ist.

: Für die Zahlen 8 und 12 ist das Produkt der beiden Zahlen gleich dem Produkt von größtem gemeinsamen Teiler und kleinstem gemeinsamen Vielfachen. Beide Produkte ergeben 96.
a) Formuliere diese Aussage allgemein für zwei natürliche Zahlen a und b.
b) Überprüfe die Richtigkeit dieser Aussage für zwei beliebige zweistellige natürliche Zahlen.

: Für zwei beliebige natürliche Zahlen a und b gilt der Zusammenhang a · b = ggT(a,b) · kgV(a,b). Überprüfe die Richtigkeit dieser Aussage für zwei beliebige aber verschiedene natürliche Zahlen zwischen 20 und 50.

: Welche zweistellige Zahl hat die meisten Teiler? Begründe deine Antwort!

: Als Paul 10 Jahre alt war, war sein Bruder halb so alt wie er. Heute ist Paul 30 Jahre alt. Wie alt ist sein Bruder heute?

: Der Boden eines rechteckigen Zimmers mit den Seitenlängen 350 cm und 455 cm soll mit quadratischen Fliesen ausgelegt werden. Für eine bessere Optik sollen dazu nur ganze Fliesen verwendet werden, d. h. es sollen am Zimmerrand keine Fliesen zugeschnitten werden. Was sind die größtmöglichen Fliesen, die verwendet werden können?

: Finde die kleinste natürliche Zahl mit genau fünf positiven Teilern.

: Es ist bekannt, dass der GGT von 3288 und 7224 der Zahl 24 entspricht. Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen.

: Welche dreistellige Zahl hat die meisten positiven Teiler?

: Finde die kleinste vierstellige natürliche Zahl, welche durch 3, 7 und 13 teilbar ist.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Es gibt unendlich viele Primzahlen.
    Alle Primzahlen sind ungerade.
    Mehr als ein Drittel aller natürlichen Zahlen sind Primzahlen.
    Weniger als die Hälfte aller natürlichen Zahlen sind Primzahlen.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Ist die Einerstelle einer Zahl entweder 3, 6 oder 9, so ist diese Zahl durch 3 teilbar.
    Jede natürliche Zahl, die durch 15 teilbar ist, ist auch durch 30 teilbar.
    Die Zahl 1623 ist durch 3 teilbar, weil ihre letzte Ziffer durch 3 teilbar ist.
    Jede natürliche Zahl, die durch 35 teilbar ist, ist auch durch 7 teilbar.
    Wenn die Zahl $n$ durch 19 teilbar ist, dann ist auch $n + 19$ durch 19 teilbar.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist höchstens so groß, wie die kleinere der beiden Zahlen.
    Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist mindestens so groß, wie die kleinere der beiden Zahlen.
    Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen ist höchstens so groß, wie die größere der beiden Zahlen.
    Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen ist mindestens so groß, wie die größere der beiden Zahlen.
    Das größte gemeinsame Vielfache von beliebig vielen natürlichen Zahlen kann nicht größer sein, als das Produkt all dieser Zahlen.
    Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist immer ein Teiler des Abstandes dieser Zahlen.
    Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen kann höchstens so groß sein, wie der Abstand dieser Zahlen.
    Der größte gemeinsame Teiler zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer 1.
    Der größte gemeinsame Teiler beliebiger natürlicher Zahlen ist immer ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen.

: Beantworte die folgenden Fragestellungen!
a) Was ist die größte Anzahl an positiven Teilern, die eine zweistellige Zahl haben kann?
b) Wie viele Primzahlen gibt es, die kleiner als 100 sind?
c) Wie lautet die kleinste positive natürliche Zahl mit genau 5 Teilern?
d) Wie lautet die kleinste dreistellige Primzahl?

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer ungerade.
    Die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer durch 3 teilbar.
    Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer ungerade.
    Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer durch 3 teilbar.