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Aufgaben zu natürlichen Zahlen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu natürlichen Zahlen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

Mathematischer Hintergrund

Ein zentraler Begriff der natürlichen Zahlen ist die Teilbarkeit. Mit den Teilbarkeitsregeln kann überprüft werden, ob eine bestimmte Teilbarkeit erfüllt wird. Primzahlen sind eine spezielle Teilmenge der natürlichen Zahlen, welche genau zwei Teiler besitzen, nämlich 1 und sich selbst. Weitere wichtige Begriffe sind der größte gemeinsame Teiler (kurz GGT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kurz KGV). Zu deren Berechnung wird häufig die Primfaktorzerlegung verwendet.

Anwendungsgebiete

Teilbarkeitsregeln sind nützlich, um Brüche zu kürzen. Das kleinste gemeinsame Vielfache kommt beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen zum Einsatz, um den gemeinsamen Nenner zu bestimmen.

1. Teilbarkeit

#198 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Zahl 9503 ist durch 17 teilbar. Warum kann man mit dieser Information sofort sagen, dass die Zahl 9509 nicht durch 17 teilbar ist?

#199 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Zahl 6552 ist durch 7 teilbar. Warum kann man anhand dieser Information sofort erkennen, dass die Zahl 6559 auch durch 7 teilbar ist?

Ein Schaltjahr liegt grundsätzlich vor, wenn die Jahreszahl durch 4 teilbar ist. Eine Ausnahmeregelung gilt, wenn sie auch durch 100 geteilt werden kann. In diesem Fall muss die Jahreszahl zusätzlich durch 400 teilbar sein. Kreuze an, ob die folgenden Jahre ein Schaltjahr waren bzw. (voraussichtlich) eines sein werden.
1950
1977
2200
2052

#1054 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Ist die Einerstelle einer Zahl entweder 3, 6 oder 9, so ist diese Zahl durch 3 teilbar.
Jede natürliche Zahl, die durch 15 teilbar ist, ist auch durch 30 teilbar.
Die Zahl 1623 ist durch 3 teilbar, weil ihre letzte Ziffer durch 3 teilbar ist.
Jede natürliche Zahl, die durch 35 teilbar ist, ist auch durch 7 teilbar.
Wenn die Zahl $n$ durch 19 teilbar ist, dann ist auch $n + 19$ durch 19 teilbar.

#1195 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Beantworte die folgenden Fragen indem du die Teilbarkeitsregeln verwendest. Ein Beispiel: „Ist 101 durch 3 teilbar?“ → „Nein, denn die Ziffernsumme von 101 ist 2, und 2 ist nicht durch 3 teilbar.“
a) Ist 78312 durch 4 teilbar?
b) Ist 24598 durch 6 teilbar?
c) Ist 23449 durch 9 teilbar?

2. Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Überprüfe, ob es sich bei den folgenden Zahlen um Primzahlen handelt. Schreibe 1 in das Feld, falls es eine Primzahl ist und 0, falls es keine Primzahl ist.
73
401
1993

Ein bisher ungelöstes Problem der Mathematik ist die sogenannte . Diese besagt, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann. Beispielsweise ist $18=13+5$. Oft gibt es auch mehrere Möglichkeiten. Die Zahl 18 könnte man ebenfalls als $11+7$ schreiben. Es wird vermutet, dass es für alle geraden Zahlen größer als 2 zumindest eine Möglichkeit gibt. Jedoch ist bisher kein allgemeiner Beweis für diese Aussage gelungen. Überprüfe die Vermutung für die Zahlen 50 und 340 indem du jeweils eine mögliche Summe von Primzahlen in die nachfolgende Textbox schreibst.

Ein bisher ungelöstes Problem der Mathematik ist die sogenannte . Diese besagt, dass jede ungerade Zahl größer als 5 als Summe dreier Primzahlen dargestellt werden kann. Beispielsweise ist $15=5+5+5$. Oft gibt es auch mehrere Möglichkeiten. Die Zahl 15 könnte man ebenfalls als $3+5+7$ schreiben. Es wird vermutet, dass es für alle ungeraden Zahlen größer als 5 zumindest eine Möglichkeit gibt. Jedoch ist bisher kein allgemeiner Beweis für diese Aussage gelungen. Überprüfe die Vermutung für die Zahlen 55 und 437 indem du jeweils eine mögliche Summe von Primzahlen in die nachfolgende Textbox schreibst.

#1052 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Alle Primzahlen sind ungerade.
Mehr als ein Drittel aller natürlichen Zahlen sind Primzahlen.
Weniger als die Hälfte aller natürlichen Zahlen sind Primzahlen.

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 4560 und gib einen vollständigen Rechenweg an.

3. GGT und KGV

Bestimme jeweils den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache:
a) 720, 936
b) 3146, 3861
c) 19, 57, 76, 95

Katrin hat sich vorgenommen, in Zukunft folgenden Plan zu befolgen:
  ▪  Alle 14 Tage möchte sie ihr Zimmer gründlich aufräumen.
  ▪  Alle 8 Tage möchte sie ihr Aquarium reinigen.
  ▪  Alle 30 Tage möchte sie die Daten auf ihrem Computer sichern.
Sie beginnt heute damit und erledigt alle drei Tätitgkeiten. In wie vielen Tagen würden das nächste Mal alle drei Tätigkeiten zusammenkommen?

#451 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Für zwei beliebige natürliche Zahlen $a$ und $b$ gilt der Zusammenhang $a\cdot b = \mathrm{GGT}(a,b)\cdot \mathrm{KGV}(a,b)$. Überprüfe die Richtigkeit dieser Aussage für die Zahlen $a=360$ und $b=600$.

Der Boden eines rechteckigen Zimmers mit den Seitenlängen 336 cm und 360 cm soll mit quadratischen Fliesen ausgelegt werden. Für eine bessere Optik sollen dazu nur ganze Fliesen verwendet werden, d. h. es sollen am Zimmerrand keine Fliesen zugeschnitten werden. Was sind die größtmöglichen Fliesen, die verwendet werden können?

#783 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist bekannt, dass der GGT von 3288 und 7224 der Zahl 24 entspricht. Beschreibe, wie man durch Verwendung dieser Information das KGV berechnen kann und führe diese Berechnung anschließend durch.

Finde die kleinste sechsstellige natürliche Zahl, welche durch 11, 14 und 29 teilbar ist.

#1055 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist höchstens so groß, wie die kleinere der beiden Zahlen.
Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist mindestens so groß, wie die kleinere der beiden Zahlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen ist höchstens so groß, wie die größere der beiden Zahlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen ist mindestens so groß, wie die größere der beiden Zahlen.
Das größte gemeinsame Vielfache von beliebig vielen natürlichen Zahlen kann nicht größer sein, als das Produkt all dieser Zahlen.
Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist immer ein Teiler des Abstandes dieser Zahlen.
Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen kann höchstens so groß sein, wie der Abstand dieser Zahlen.
Der größte gemeinsame Teiler zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer 1.
Der größte gemeinsame Teiler beliebiger natürlicher Zahlen ist immer ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen.

Ein rechteckiges Grundstück mit den Seitenlängen 24 m und 22.8 m soll eingezäunt werden. Dabei soll zwischen zwei aneinandergrenzenden Pfosten immer der gleiche Abstand sein und es sollen möglichst wenige Pfosten verwendet werden. Welcher Abstand muss dazu verwendet werden? Gib das Ergebnis in Metern an!

Autobus A fährt in Intervallen von jeweils 20 min. Bei Autobus B betragen die Intervalle 25 min. Um 13:23 Uhr fahren beide Busse gleichzeitig. Zu welcher Uhrzeit werden sie das nächste Mal gleichzeitig fahren? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an.

Ein Unternehmen hat drei große Maschinen. Maschine A muss alle 10 Tage gewartet werden, Maschine B alle 18 Tage und Maschine C alle 25 Tage. Heute wurden alle drei Maschinen gewartet. In wie vielen Tagen müssen das nächste Mal alle drei Maschinen am selben Tag gewartet werden?

4. Vermischte Aufgaben

#200 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Das Produkt zweier gerader Zahlen ist gerade.
Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist gerade.
Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade.
Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade.

#201 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Primfaktorzerlegung der Zahl 27720 lautet $2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$. Begründe, wie man anhand dieser Information erkennen kann, dass die Zahl durch 33 teilbar ist.

#202 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Die Summe zweier gerader Zahlen ist gerade.
Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade.
Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade.

Ermittle die kleinste natürliche Zahl, die durch 27, 49 und 15 teilbar ist.

#259 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Für eine natürliche Zahl $n$ ist die Fakultät $n!$ definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von $1$ bis $n$. Beispielsweise ist $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Begründe mathematisch korrekt, warum für jede natürliche Zahl $n\geq 5$ die letzte Ziffer von $n!$ immer $0$ ist.

#279 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Begründe, warum für jede natürliche Zahl gilt, dass das Quadrat dieser Zahl um 1 größer ist als das Produkt der beiden Nachbarzahlen. Beispielsweise ist $10^2 = 100$ und $9 \cdot 11 = 99$.

#320 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Multipliziert man eine beliebige Zahl mit 31, so hat das Ergebnis dieser Multiplikation dieselbe Einerstelle wie die ursprüngliche Zahl. Begründe, warum das so ist.

Als Paul 14 Jahre alt war, war sein Bruder halb so alt wie er. Heute ist Paul 25 Jahre alt. Wie alt ist sein Bruder heute?

#1056 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Beantworte die folgenden Fragestellungen!
a) Was ist die größte Anzahl an positiven Teilern, die eine zweistellige Zahl haben kann?
b) Wie viele Primzahlen gibt es, die kleiner als 100 sind?
c) Wie lautet die kleinste natürliche Zahl mit genau 5 positiven Teilern?
d) Wie lautet die kleinste dreistellige Primzahl?

#1057 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer ungerade.
Die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer durch 3 teilbar.
Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer ungerade.
Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer durch 3 teilbar.

Gib jeweils ein Beispiel an, bei dem die vorgegebene Zahl in der Natur vorkommt.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6