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Aufgaben zur Matrizenrechnung


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Matrizenrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

1. Grundrechenarten

#64 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
In den nachfolgenden Rechnungen sind nur die Formate der Matrizen vorgegeben. Überprüfe, ob diese Berechnungen durchführbar sind. Falls ja, gib an, welches Format das Ergebnis hat. Falls nein, gib an, warum die Berechnung nicht möglich ist. $$\begin{pmatrix} * &*&* \\ * &*&* \\ * &*&* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} * &*\\ * &* \\ * &* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} * &* \\ * &* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} * \\ * \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} * &*\\ * &* \\ * &* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} * &* & *\\ * &* &* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} * &*\\ *&* \end{pmatrix}$$

#321 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Zeige anhand zweier geeigneter $2\times 2$-Matrizen, dass die Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht ist.

#526 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Erkläre, warum für $2\times 2$-Matrizen die binomische Formel $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ nicht allgemein gilt. Beschreibe außerdem, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit die binomische Formel verwendet werden kann.

Es sind die folgenden Matrizen gegeben: $$ A=\begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\hspace{15mm} B=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \hspace{15mm} C=\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} $$
Berechne jeweils die Ergebnisse:
$A-B+C$
$A\cdot B+C$
$A-B\cdot C$
$A\cdot B\cdot C$
$A\cdot (B-C)$

Es sind die folgenden Matrizen gegeben: $$ A=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\hspace{15mm} B=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \hspace{15mm}$$
a) Berechne $A\cdot B$.
b) Berechne $B\cdot A$.

#1273 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die folgende Matrizenrechnung gegeben: $$ A\cdot B\cdot C=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ -3 & -2 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -2 & -2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 3 & 2 \\ -3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$
a) Berechne das Ergebnis auf zwei verschiedene Arten durch handschriftliche Rechnung:
Variante 1: $~~(A\cdot B)\cdot C$
Variante 2: $~~A\cdot (B\cdot C)$
b) Beschreibe, welche der beiden Varianten effizienter ist und begründe deine Überlegungen nachvollziehbar.

#1373 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Bei reellen Zahlen kann $a\cdot b=0$ nur dann gelten, wenn zumindest eine der beiden Zahlen 0 ist. Für Matrizen kann allerdings auch $A\cdot B =\left( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \right)$ gelten, obwohl beide Matrizen ungleich der Nullmatrix sind. Finde zwei passende Matrizen, für welche diese Eigenschaft erfüllt ist.

2. Inverse, Determinante und Transponierte

Berechne das Ergebnis. $$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 2 & 4 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}-4 \cdot \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 4 & 12 \end{pmatrix}^\top$$

Bestimme die Determinante der folgenden Matrix. $$\begin{pmatrix} -3.7 & 4.6 \\ 3.3 & 5.7 \end{pmatrix}$$

Berechne die Determinante der folgenden Matrix. $$\begin{pmatrix} 6 & -2 & 9 \\ -5 & 2 & 7 \\ 3 & 1 & 7 \end{pmatrix}$$

#527 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gegeben ist die Matrix $A$: $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -2 & 1 & 2\\ 4 & 4 & -2 \end{pmatrix}$$ Überprüfe, ob die Matrix $B$ die inverse Matrix von $A$ ist und begründe deine Entscheidung. $$B=\begin{pmatrix} 5 & -2 & -2\\ -2 & 1 & 1\\ 6 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$

#581 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gegeben sind die folgenden beiden Matrizen: $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}~~~~~~~~~~~~~~~B=\begin{pmatrix} 5 & -2 & 3\\ -2 & 3 & 1\\ 3 & 2 & -5 \end{pmatrix}$$ Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
$\det(A) = 5$
$A$ ist nicht invertierbar.
$B$ ist die inverse Matrix von $A$.

#760 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Betrachte die folgende Matrizenrechnng und gib anschließend an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. $$ A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Es gilt $A=-B$.
$A$ ist die transponierte Matrix von $B$.
$B$ ist die inverse Matrix von $A$.
Das Produkt $A\cdot B$ ist kommutativ.
$A$ ist die inverse Matrix von $B$.
$B$ ist die transponierte Matrix von $A$.

#1094 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen zur transponierten Matrix wahr oder falsch sind.
Hat eine Matrix $n$ Spalten, so hat ihre transponierte Matrix $n$ Zeilen.
Für quadratische Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A + B)^\top = A^\top + B^\top$.
Für quadratische Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A \cdot B)^\top = A^\top \cdot B^\top$.
Für quadratische Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A \cdot B)^\top = B^\top \cdot A^\top$.
Für alle Matrizen gilt $(A^\top)^\top = A$.
Für alle Matrizen gilt $(2 \cdot A)^\top = 2 \cdot A^\top$.
Für alle Matrizen mit Determinante gilt $\det(A^\top)=\det(A)$.

#1095 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen zur Determinante wahr oder falsch sind.
Für alle quadratischen Matrizen gilt $\det(A^\top)=\det(A)$.
Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit gleichem Format gilt immer $\det(A+ B)=\det(A)+ \det(B)$.
Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit gleichem Format gilt immer $\det(A+ B)=\det(A)\cdot \det(B)$.
Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit gleichem Format gilt immer $\det(A\cdot B)=\det(A)+ \det(B)$.
Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit gleichem Format gilt immer $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)$.
Ist $\det(A)=0$, so ist die Matrix $A$ nicht invertierbar.

Berechne mit Hilfe eines geeigneten Computerprogramms die Determinante der folgenden Matrix: $$ \begin{pmatrix} -5 & 0 & -2 & 2 \\ 1 & 9 & 9 & 0 \\ -9 & 6 & 0 & 4 \\ 5 & 6 & 3 & 8 \end{pmatrix} $$

3. Matrizengleichungen

Löse die folgende Matrizengleichung! $$\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}\cdot X= \begin{pmatrix} -6 & 3 \\ -3 & -7 \end{pmatrix}$$

Löse die folgende Matrizengleichung! $$\begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\cdot X\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$

4. Lineare Gleichungssysteme

Es ist das folgende Gleichungssystem gegeben:
[1] $3a+2b+7c=2$
[2] $-2a+b=9$
[3] $5a-2b+c=-4$
Verwende die Cramersche Regel, um die Variable $c$ zu bestimmen.

Löse das folgende lineare Gleichungssystem mit Hilfe der inversen Matrix.
[1] $7 x+ 4 y= 4$
[2] $6 x- 5 y= -6$

#1277 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist das folgende lineare Gleichungssystem gegeben:
[1] $2x+ 3y= 12$
[2] $6x+ 9y= -7$
a) Berechne die Determinante der zugehörigen Koeffizientenmatrix.
b) Erkläre, wie man anhand dieser Determinante erkennen kann, dass dieses Gleichungssystem keine eindeutige Lösung besitzt.

5. Transformationsmatrizen

Ein Dreieck hat die Eckpunkte $A(9 \mid 7)$, $B(1 \mid 4)$ und $C(6 \mid 1)$.
a) Berechne die Koordinaten des dieses Dreiecks.
b) Das Dreieck soll im mathematisch positiven Sinn um 72° um den geometrischen Schwerpunkt gedreht werden. Berechne die Koordinaten der transformierten Eckpunkte $A'$, $B'$ und $C'$.
c) Zeichne das ursprüngliche Dreieck und das transformierte Dreieck in einem gemeinsamen Koordinatensystem.

Der Punkt $P(6 \mid 4)$ soll an der Gerade $g:\,y=0.55x$ gespiegelt werden.
a) Berechne den Steigungswinkel der Gerade $g$.
b) Berechne die Koordinaten des gespiegelten Punktes $P'$.

Bei einer Vektorgrafik sollen verschiedene Transformationen in der nachfolgend vorgegebenen Reihenfolge durchgeführt werden:
  ▪  Spiegelung um die $x$-Achse
  ▪  horizontale Streckung um 33 %
  ▪  vertikale Stauchung um 10 %
  ▪  Drehung um 32° um den Ursprung (im mathematisch positiven Sinn)
Erstelle eine Transformationsmatrix $T$, mit welcher die Punkte der Vektorgrafik multipliziert werden können, um die gewünschte Transformation zu realisieren.

Ein Dreieck wurde zuerst horizontal um den Faktor 3.1 gestreckt und anschließend 65° um den Ursprung gedreht (im mathematisch positiven Sinn). Die neuen Koordinaten lauten $X'(5 \mid -2)$, $Y'(3 \mid 7)$ und $Z'(-3 \mid -3)$.
a) Berechne die Koordinaten $X$, $Y$ und $Z$ des ursprünglichen Dreiecks.
b) Zeichne beide Dreiecke in einem gemeinsamen Koordinatensystem.

6. Vermischte Aufgaben

#347 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Bei der Multiplikation von Matrizen gilt immer $A \cdot B = B \cdot A$.
Hat eine Matrix $n$ Spalten, so hat ihre transponierte Matrix $n$ Zeilen.
Für zwei Matrizen mit gleichem Format gilt immer $A +B = B + A$.

#1077 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Jede quadratische Matrix ist invertierbar.
Eine invertierbare Matrix ist immer quadratisch.
Eine Matrix kann verschiedene inverse Matrizen besitzen.
Für alle invertierbaren Matrizen gilt $(A^{-1})^{-1} = A$.
Für jede invertierbare Matrix gilt $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$.

#1248 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Für invertierbare Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$.
Für invertierbare Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A \cdot B)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$.
Für invertierbare Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$.
Für alle invertierbaren Matrizen gilt $(2 \cdot A)^{-1} = 2 \cdot A^{-1}$.
Für alle invertierbaren Matrizen gilt $(A^{-1})^\top = (A^\top)^{-1}$.

#1249 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Beantworte die folgenden Fragen jeweils nachvollziehbar (z. B. durch konkrete Beispiele oder die Verwendung allgemein gültiger Eigenschaften).
a) Ist es möglich, dass bei einer $2\times 2$-Matrix $A$ sowohl die Matrix $A$ als auch ihre Inverse $A^{-1}$ keine negativen Einträge besitzen?
b) Ist es möglich, dass bei einer $2\times 2$-Matrix $A$ sowohl die Matrix $A$ als auch ihre Inverse $A^{-1}$ nur positive Einträge besitzen?

Berechne die Inverse der folgenden Matrix. $$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -8 & 7 \end{pmatrix}$$