Impressum · Datenschutz
© 2016 – 2020 MATHE.ZONE
© 2016 – 2020  MATHE.ZONE · Impressum · Datenschutz      

Aufgaben zur Matrizenrechnung


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Matrizenrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Aufgabensammlung

: Zeige anhand eines passenden Beispiels, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an.
    Bei der Multiplikation von Matrizen gilt immer $A \cdot B = B \cdot A$.
    Hat eine Matrix $n$ Spalten, so hat ihre transponierte Matrix $n$ Zeilen.
    Für zwei Matrizen mit gleichem Format gilt immer $A +B = B + A$.

: Eine Konditorei verkauft drei Typen von Kekspackungen mit folgenden Inhalten:
  ▪  Typ 1: 10 Vanillekipferl, 5 Kokoskuppeln, 5 Zimtsterne, 7 Rumkugeln
  ▪  Typ 2: 20 Vanillekipferl, 10 Zimtsterne, 10 Rumkugeln
  ▪  Typ 3: 5 Vanillekipferl, 10 Kokoskuppeln, 15 Rumkugeln
Zeichne einen Gozintographen, der diese Produktion veranschaulicht.

: Eine Großbäckerei erhielt von einem Hotel den Auftrag, täglich folgende Produkte zu liefern: 500 Semmeln, 200 Kipferl und 100 Brotlaibe. Die Hauptzutaten dieser drei Produkte werden nachfolgend aufgelistet:
  ▪  Semmel: 80 g Mehl, 5 g Butter, 30 ml Milch
  ▪  Kipferl: 30 g Mehl, 10 g Butter, 15 ml Milch, 5 g Zucker
  ▪  Brot: 500 g Mehl
Die Rohstoffe haben folgende Kosten: Mehl (0,40 € pro kg), Butter (8,00 € pro kg), Milch (1,20 € pro Liter) und Zucker (0,80 € pro kg).
Als Herstellungskosten (hauptsächlich für die Beheizung des Ofens) werden für die Semmeln und die Kipferl jeweils 0,10 € pro Stück und für die Brotlaibe 0,25 € pro Stück angenommen.
Der tägliche Preis für die Lieferung soll 150 % der Produktionskosten betragen.
a) Stelle die Produktion durch einen Gozintographen dar!
b) Berechne den Produktionsvektor!
c) Berechne die täglichen Produktionskosten (bestehend aus Rohstoffkosten und Energiekosten)!
d) Berechne, wie viel das Hotel täglich für diesen Auftrag zu zahlen hat!

: Erkläre, warum für 2×2-Matrizen die binomische Formel $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ nicht allgemein gilt. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die binomische Formel verwendet werden kann?

: Gegeben ist die Matrix $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -2 & 1 & 2\\ 4 & 4 & -2 \end{pmatrix}.$$ Überprüfe, ob die Matrix $$\begin{pmatrix} 5 & -2 & -2\\ -2 & 1 & 1\\ 6 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$ die inverse Matrix von \(A\) ist und begründe deine Entscheidung.

: Gegeben sind die folgenden Matrizen $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}~~~~~~~~~~~~~~~B=\begin{pmatrix} 5 & -2 & 3\\ -2 & 3 & 1\\ 3 & 2 & -5 \end{pmatrix}.$$ Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    $\det(A) = 13$
    $A$ ist nicht invertierbar.
    $B$ ist die inverse Matrix von $A$.

: Betrachte die folgende korrekte Matrizenrechnng und kreuze anschließend alle richtigen Aussagen an! $$ A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
    Es gilt $A=-B$.
    $A$ ist die transponierte Matrix von $B$.
    $B$ ist die inverse Matrix von $A$.
    Das Produkt $A\cdot B$ ist kommutativ.
    $A$ ist die inverse Matrix von $B$.
    $B$ ist die transponierte Matrix von $A$.

: Der nachfolgend abgebildete Gozintograph zeigt einen einstufigen Produktionsprozess:

a) Gib die zugehörige Produktionsmatrix an.
b) Berechne mit Hilfe der Matrizenrechnung, welche Menge der drei Rohstoffe nötig ist, um 15 Stück des ersten Produktes (E1) und 12 Stück des zweiten Produktes (E2) zu erzeugen.

: Kreuze alle richtigen Aussagen zur inversen Matrix an!
    Jede quadratische Matrix ist invertierbar.
    Eine invertierbare Matrix ist immer quadratisch.
    Eine Matrix kann verschiedene inverse Matrizen besitzen.
    Für alle invertierbaren Matrizen gilt $(A^{-1})^{-1} = A$.
    Für jede invertierbare Matrix gilt $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A$.
    Für invertierbare Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$.
    Für invertierbare Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A \cdot B)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$.
    Für invertierbare Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$.
    Für alle invertierbaren Matrizen gilt $(2 \cdot A)^{-1} = 2 \cdot A^{-1}$.
    Für alle invertierbaren Matrizen gilt $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$.
    Es ist nicht möglich, dass bei einer $2\times 2$-Matrix $A$ sowohl die Matrix $A$ als auch ihre Inverse $A^{-1}$ keine negativen Einträge besitzt.
    Es ist nicht möglich, dass bei einer $2\times 2$-Matrix $A$ sowohl die Matrix $A$ als auch ihre Inverse $A^{-1}$ nur positive Einträge besitzen.

: Kreuze alle richtigen Aussagen zur transponierten Matrix an!
    Hat eine Matrix $n$ Spalten, so hat ihre transponierte Matrix $n$ Zeilen.
    Für quadratische Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A + B)^\top = A^\top + B^\top$.
    Für quadratische Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A \cdot B)^\top = A^\top \cdot B^\top$.
    Für quadratische Matrizen mit gleichem Format gilt immer $(A \cdot B)^\top = B^\top \cdot A^\top$.
    Für alle Matrizen gilt $(A^\top)^\top = A$.
    Für alle Matrizen gilt $(2 \cdot A)^\top = 2 \cdot A^\top$.
    Für alle Matrizen mit Determinante gilt $\det(A^\top)=\det(A)$.

: Kreuze alle richtigen Aussagen zur Determinante an!
    Für alle Matrizen mit Determinante gilt $\det(A^\top)=\det(A)$.
    Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit gleichem Format gilt immer $\det(A+ B)=\det(A)+ \det(B)$.
    Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit gleichem Format gilt immer $\det(A+ B)=\det(A)\cdot \det(B)$.
    Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit gleichem Format gilt immer $\det(A\cdot B)=\det(A)+ \det(B)$.
    Für zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit gleichem Format gilt immer $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)$.
    Ist $\det(A)=0$, so ist die Matrix $A$ nicht invertierbar.