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Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

Mathematischer Hintergrund

Unter einem linearen Gleichungssystem versteht man eine Ansammlung linearer Gleichungen mit einer gewissen Anzahl von Variablen. Um die Variablen eindeutig bestimmen zu können, benötigt man mindestens eine Gleichung pro Variable. Speziell für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen gibt es verschiedene Lösungsverfahren: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren. Für Gleichungssysteme mit mehr als zwei Variablen ist meist eine Kombination mehrerer Lösungstechniken erforderlich. Gleichungssysteme mit zwei Variablen können darüber hinaus auch grafisch gelöst werden, denn jede Gleichung kann als Gerade dargestellt werden. Der Schnittpunkt dieser Geraden entspricht der Lösung des Gleichunggsystems.

Anwendungsgebiete

Das Lösen von linearen Gleichungssystemen zählt zu den Grundtechniken der Schulmathematik und kommt in verschiedenen Zusammenhängen vor. Ein häufiges innermathematisches Einsatzgebiet ist das Bestimmen von Funktionsparametern.

1. Grafische Lösungsverfahren

Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch auf einem Blatt Papier!
[1] $3 x+ 6 y= 3$
[2] $6 x- 3 y= 2$
Grafische Lösung (Foto des Koordinatensystems):
$x= $ [1]
$y= $ [1]

2. Rechnerische Lösungsverfahren

Löse das folgende lineare Gleichungssystem!
[1] $6 x+ 4 y= 9$
[2] $5 x- 3 y= 12$
$x=$ [2]
$y=$ [2]

Löse das folgende lineare Gleichungssystem!

[1] $5 x-22 \cdot (x-10)=3 y$
[2] $(x-6)\cdot (y+ 11)=(x+7)\cdot (y- 8)$

Lösung:
$x=$ [2]
$y=$ [2]

Löse das folgende lineare Gleichungssystem!

[1] $x+3y+z=36$
[2] $2x+y-z=-10$
[3] $x+5y=19$

Lösung:
$x=$ [2]
$y=$ [2]
$z=$ [2]

3. Lösungsfälle

Ergänze die Lücken des folgenden linearen Gleichungssystems so, dass dieses unendlich viele Lösungen besitzt.

[1] $2a+11b=46$
[2] $8a+$ [0] $b=$ [0]

4. Geometrische Aufgaben

Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 14.5 cm. Die Länge der Basis $c$ entspricht nur einem Drittel der Länge eines Schenkels $a$. Berechne die Länge der Schenkel und der Basis.
Länge eines Schenkels: [2] cm
Länge der Basis: [2] cm

Der Umfang eines Rechtecks beträgt 34 m. Die längere Seite ist um 1.4 m länger als die kürzere Seite. Berechne die beiden Seitenlängen des Rechtecks.
Längere Seitenlänge: [2] m
Kürzere Seitenlänge: [2] m

#815 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Summe der Flächeninhalte zweier Quadrate beträgt 285 cm². Die Differenz der Flächeninhalte beträgt 147.3 cm². Berechne die Seitenlängen der beiden Quadrate ohne Computereinsatz und achte dabei auf einen möglichst effizienten Rechenweg.
Lösung (inkl. Rechenweg):

Eine Seitenlänge eines rechteckigen Grundstücks ist um 5.6 m größer als die andere. Verlängert man beide Seiten um 2.6 m, so wird der Flächeninhalt um 163.7 m² größer. Berechne die ursprünglichen Seitenlängen des Grundstücks!
Längere Seite: [2] m
Kürzere Seite: [2] m

#851 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Addiert man je zwei Seitenlängen eines Dreiecks, so erhält man die Ergebnisse 21.3 cm, 12 cm und 27.2 cm.
a) Erkläre, wie man den Umfang des Dreiecks berechnen kann, ohne zuvor die einzelnen Seitenlängen zu berechnen.

0/1000 Zeichen
b) Berechne die Seitenlängen des Dreiecks und gib den vollständigen Rechenweg an.
Seitenlängen:

Ein Dreieck hat den Umfang 61 cm. Seite $a$ ist um 37 % länger als Seite $b$. Seite $b$ ist um 17 mm länger als Seite $c$. Bestimme die drei Seitenlängen!
$a=$ [2] cm
$b=$ [2] cm
$c=$ [2] cm

#905 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Addiert man jeweils zwei Winkel eines ebenen Dreiecks, so erhält man 115°, 147° und 98°.
a) Berechne die drei Winkel des Dreiecks. Gib die Ergebnisse in aufsteigender Reihenfolge durch einen Beistrich getrennt ein.
Ergebnisse: [0]
b) Erkläre, warum diese Aufgabe mehr Information enthält, als man für die Lösung tatsächlich benötigt.

0/1000 Zeichen

Addiert man jeweils zwei Winkel eines ebenen Dreiecks, so erhält man 120.6° und 147.4°. Berechne die drei Winkel des Dreiecks ohne Verwendung eines Computerprogramms. Wähle eine möglichst effiziente Vorgehensweise und erstelle ein Bild des Rechenweges.
Rechenweg:

5. Vermischte Aufgaben

Das Einkommen von Herrn Gruber und Frau Kern setzt sich aus demselben Grundgehalt und der Abgeltung der geleisteten Überstunden zusammen. Herr Gruber leistet 16 Überstunden und erhielt letztes Monat insgesammt 2960 Euro. Frau Kern leistete 35 Überstunden und erhielt 3467 Euro. Berechne das Grundgehalt sowie die Abgeltung pro Überstunde.

Grundgehalt: [2]
Abgeltung pro Überstunde: [2] €/h

Es fahren 72 Schüler auf Wintersportwoche. Diese verteilen sich auf insgesamt 23 Zimmer, wobei nur Drei- und Vierbettzimmer zur Verfügung stehen. Wie viele Zimmer gibt es von jeder Sorte, wenn alle Zimmer voll belegt sind?
Anzahl der Dreibettzimmer: [0]
Anzahl der Vierbettzimmer: [0]

#230 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Zwei Gläser Cola und drei Gläser Eistee kosten 10.60 €. Fünf Gläser Cola und ein Glas Eistee kosten 13.50 €. Bestimme den Preis der beiden Getränke!
Preis für ein Glas Cola: [2]
Preis für ein Glas Eistee: [2]

Ein Motorboot fährt bei gleicher Motorleistung flussaufwärts mit einer Geschwindigkeit von 32.8 km/h und flussabwärts mit 45 km/h. Wie groß sind die Eigengeschwindigkeit des Bootes und die Fließgeschwindigkeit des Flusses?
Eigengeschwindigkeit des Bootes: [2] km/h
Fließgeschwindigkeit des Flusses: [2] km/h

Ein Autofahrer und ein Motorradfahrer wohnen 368 km voneinander entfernt und fahren einander entgegen. Wenn beide um 8:00 Uhr wegfahren, treffen sie sich um 10:43 Uhr. Fährt der Motorradfahrer um 8:00 Uhr weg, aber der Autofahrer erst um 9:30 Uhr, so begegnen sie einander um 11:15 Uhr. Berechne die mittleren Geschwindigkeiten beider Fahrzeuge!
Geschwindigkeit des Autos: [2] km/h
Geschwindigkeit des Motorrads: [2] km/h

Mischt man 2 Liter kaltes Wasser mit 3 Liter heißem Wasser, so erhält man eine Mischung mit einer Temperatur von 48 °C. Durch Mischen von 4 Liter kaltem und einem Liter heißen Wasser erhält man hingegen Wasser mit einer Temperatur von 26 °C. Welche Temperatur hatten das kalte und das heiße Wasser?
Temperatur des kalten Wassers: [2] °C
Temperatur des heißen Wassers: [2] °C

Die Summe zweier Zahlen ist 20. Das Doppelte der ersten Zahl ist gleich dem Dreifachen der zweiten Zahl. Um welche Zahlen handelt es sich?
erste Zahl: [0]
zweite Zahl: [0]

Valentin kauft einen Gürtel und ein Paar Schuhe um insgesamt 132 €. Die Schuhe kosten um 100 € mehr als der Gürtel. Wie viel kosten die beiden Produkte jeweils?
Preis der Schuhe: [2]
Preis des Gürtels: [2]

#238 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Lies dir das folgende Gespräch zweier Hirten durch und berechne, wie viele Schafe jeder Hirte besitzt!
  ▪  Hirte A: „Wenn du mir fünf Schafe aus deiner Herde gibst, dann habe ich genauso viele Schafe wie du.“
  ▪  Hirte B: „Wenn du mir drei von deinen Schafen gibst, dann habe ich doppelt so viele wie du.“
Hirte A: [0]
Hirte B: [0]

#270 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
In einem Unternehmen arbeiten dreimal so viele Männer wie Frauen bzw. anders ausgedrückt um 48 Männer mehr als Frauen.
a) Kreuze alle zutreffenden Aussagen an, wenn $x$ die Anzahl der Männer und $y$ die Anzahl der Frauen beschreibt.
$x-y=48$
$y-x=48$
$x=3y$
$y=3x$
b) Berechne, wie viele Männer und wie viele Frauen in diesem Unternehmen arbeiten.
Anzahl der Männer: [0]
Anzahl der Frauen: [0]

Bei einem Test mit 12 Fragen kann man maximal 40 Punkte erhalten. Der Test besteht aus 3-Punkt-Fragen und aus 5-Punkt-Fragen. Wie viele Fragen gibt es von jeder Sorte?
3-Punkt-Fragen: [0]
5-Punkt-Fragen: [0]

Eine vierköpfige Familie verbrauchte im März 18 m³ Wasser und zahlte dafür 33.6 €. Im Juli verbrauchte sie 23.5 m³ Wasser und zahlte 43 €. Die Monatskosten setzen sich jeweils aus monatlicher Grundgebühr und den Kosten pro Kubikmeter Wasser zusammen. Berechne die Grundgebühr und die Kosten pro Kubikmeter.
Grundgebühr: [2]
Kosten pro Kubikmeter: [2]

Markus und Isabella bekommen das gleiche monatliche Grundeinkommen. Markus leistete 5 Überstunden und bekam insgesamt 2744 €. Isabella leistete 15 Überstunden und bekam insgesamt 3063 €. Wie groß ist das Grundeinkommen der beiden und wie viel bekommen sie pro Überstunde?
Grundeinkommen: [2]
Zahlung pro Überstunde: [2]

#811 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Ein betrügerischer Online-Händler verkauft pro Monat 295 billige Fälschungen eines Notebook-Netzteils als vermeintliche Originalware. Gibt es keine Beschwerden des Käufers (da er es nicht bemerkt oder er sich die damit verbundenen Umstände ersparen möchte), so macht der Händler pro Netzteil einen Gewinn von 7,50 €. Bei einer Beschwerde beträgt der durchschnittliche Verlust hingegen 5,30 €. Nach einem Monat beträgt der Gesamtgewinn 1841,30 €. Wie viele der 295 Käufer beschwerten sich?

#819 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Im Mittelalter war es üblich, Tauschhandel zu betreiben. Nachfolgend sind drei Angebote ersichtlich:
  ▪  Für zwei Rinder und fünf Schafe erhält man 13 Schweine und 1000 Goldstücke.
  ▪  Für drei Rinder und drei Schweine erhält man neun Schafe.
  ▪  Für sechs Schafe, acht Schweine und 600 Goldstücke erhält man fünf Rinder.
a) Erstelle ein lineares Gleichungssystem, welches dazu geeignet ist, zu berechnen, wie viele Goldstücke jedes der drei Tiere wert ist. Gib an, wofür die verwendeten Variablen stehen.
Lineares Gleichungssystem:
b) Berechne den Wert der drei Tiere:
Rind: [0] Goldstücke
Schaf: [0] Goldstücke
Schwein: [0] Goldstücke

Bei der sogenannten Dreieck-Stern-Transformation wird eine dreieckförmige Anordnung von Widerständen in eine gleichwertige sternförmige Anordnung umgewandelt.

Dafür gelten die folgenden Zusammenhänge: $$r_1+r_2=\frac{R_3\cdot (R_1+R_2)}{R_1+R_2+R_3}\hspace{1cm}r_2+r_3=\frac{R_1\cdot (R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3}\hspace{1cm}r_1+r_3=\frac{R_2\cdot (R_1+R_3)}{R_1+R_2+R_3}$$ Berechne die Widerstände $r_1,r_2,r_3$ der sternförmigen Schaltung, wenn die Widerstände der Dreiecksschaltung folgende sind: $R_1=24\,\Omega$, $R_2=37\,\Omega$, $R_3=50\,\Omega$.
$r_1=$ [2] $\Omega$
$r_2=$ [2] $\Omega$
$r_3=$ [2] $\Omega$

Gegeben ist die unten abgebildete elektrische Schaltung, wobei $U=32.9\,\mathrm{V}$, $R_1=2.6\,\Omega$, $R_2=3.8\,\Omega$ und $R_3=7.5\,\Omega$ bekannt sind.

Anhand der Kirchhoffschen Regeln (Knotenregel und Maschenregel) sowie des Ohmschen Gesetzes können folgende Zusammenhänge festgestellt werden: $$I_1=I_2+I_3\hspace{15mm} I_1R_1+I_3R_3=U \hspace{15mm} I_2R_2=I_3R_3$$ Bereche die Ströme $I_1,I_2$ und $I_3$, welche durch die jeweiligen Widerstände fließen.
$I_1=$ [2] A
$I_2=$ [2] A
$I_3=$ [2] A