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Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

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Mathematischer Hintergrund

Unter einem linearen Gleichungssystem versteht man eine Ansammlung linearer Gleichungen mit einer gewissen Anzahl von Variablen. Um die Variablen eindeutig bestimmen zu können, benötigt man mindestens eine Gleichung pro Variable. Speziell für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen gibt es verschiedene Lösungsverfahren: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren. Für Gleichungssysteme mit mehr als zwei Variablen ist meist eine Kombination mehrerer Lösungstechniken erforderlich. Gleichungssysteme mit zwei Variablen können darüber hinaus auch grafisch gelöst werden, denn jede Gleichung kann als Gerade dargestellt werden. Der Schnittpunkt dieser Geraden entspricht der Lösung des Gleichunggsystems.

Anwendungsgebiete

Das Lösen von linearen Gleichungssystemen zählt zu den Grundtechniken der Schulmathematik und kommt in verschiedenen Zusammenhängen vor. Ein häufiges innermathematisches Einsatzgebiet ist das Bestimmen von Funktionsparametern.

Aufgabensammlung

: Es fahren 48 Schüler auf Wintersportwoche. Diese verteilen sich auf insgesamt 14 Drei- und Vierbettzimmer. Wie viele Zimmer gibt es von jeder Sorte, wenn alle Zimmer voll belegt sind?

: Zwei Gläser Cola und drei Gläser Eistee kosten 10,60 €. Fünf Gläser Cola und ein Glas Eistee kosten 13,50 €. Bestimme den Preis der beiden Getränke!

: Jemand fährt mit einem Boot flussaufwärts mit einer Geschwindigkeit von 17 km/h und flussabwärts mit 23 km/h. Wie groß sind die Eigengeschwindigkeit des Bootes und die Fließgeschwindigkeit des Flusses?

: Ein Autofahrer und ein Motorradfahrer wohnen 360 km voneinander entfernt und fahren einander entgegen. Wenn beide um 8:00 Uhr wegfahren, treffen sie sich um 10:00 Uhr. Fährt der Motorradfahrer um 8:00 Uhr weg, aber der Autofahrer erst um 9:30 Uhr, so begegnen sie einander um 11:00 Uhr. Berechne die mittleren Geschwindigkeiten beider Fahrzeuge!

: Mischt man 2 Liter kaltes Wasser mit 3 Liter heißem Wasser, so erhält man eine Mischung mit einer Temperatur von 60 °C. Durch Mischen von 4 Liter kaltem und einem Liter heißen Wasser erhält man hingegen Wasser mit einer Temperatur von 30 °C. Welche Temperatur hatten das kalte und das heiße Wasser?

: Die Summe zweier Zahlen ist 25. Das Doppelte der ersten Zahl ist gleich dem Dreifachen der zweiten Zahl. Um welche Zahlen handelt es sich?

: Addiert man zur ersten Zahl 6, so erhält man das Dreifache der zweiten Zahl. Addiert man zur zweiten Zahl 9, so erhält man das Vierfache der ersten Zahl. Um welche Zahlen handelt es sich?

: Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 21 cm. Die Länge der Grundseite entspricht nur einem Drittel der Länge eines Schenkels. Wie lang sind die Seiten?

: Valentin kauft einen Gürtel und ein Paar Schuhe um insgesamt 130 €. Die Schuhe kosten um 100 € mehr als der Gürtel. Wie viel kosten die beiden Produkte jeweils?

: Lies dir das folgende Gespräch zweier Hirten durch und berechne, wie viele Schafe jeder Hirte besitzt!
Hirte A: „Wenn du mir fünf Schafe aus deiner Herde gibst, dann habe ich genauso viele Schafe wie du.“
Hirte B: „Wenn du mir drei von deinen Schafen gibst, dann habe ich doppelt so viele wie du.“

: Von einer vierköpfigen Familie, bestehend aus Vater, Mutter, Sohn und Tochter, sind folgende Informationen bekannt:
Der Vater ist um vier Jahre älter als die Mutter.
Sohn und Tochter sind zusammen genau halb so alt wie ihre Mutter.
Der Vater ist fünfmal so alt wie der Sohn.
Die Tochter ist um zwei Jahre älter als der Sohn.
a) Stelle ein Gleichungssystem auf, mit dem das Alter der vier Personen berechnet werden kann. Gib an, wofür die verwendeten Variablen stehen.
b) Berechne das Alter der vier Personen.

: In einem Unternehmen arbeiten dreimal so viele Männer wie Frauen bzw. anders ausgedrückt um 52 Männer mehr als Frauen.
a) Kreuze alle zutreffenden Aussagen an, wenn $x$ die Anzahl der Männer und $y$ die Anzahl der Frauen beschreibt.
    $x-y=52$
    $y-x=52$
    $x=3y$
    $y=3x$
b) Berechne, wie viele Männer und wie viele Frauen in diesem Unternehmen arbeiten.

: Ist $(x,y,z)=(2,-1,3)$ eine Lösung des folgenden Gleichungssystems? Begründe deine Entscheidung. $$(1)~~~3x+5y+4z=13\\ (2)~~~2x+2y+3z=15\\ (3)~~~5x+5x+2z=11$$

: Drei ungefähr gleich schwere Objekte A, B und C sollen gewogen werden. Mit der zur Verfügung stehenden Waage können die Objekte aber nicht einzeln abgewogen werden, da sie zu leicht sind (die Waage zeigt erst ab einer Masse von 10,0 kg ein Ergebnis). Es müssen daher pro Messung mindestens zwei Objekte auf der Waage liegen. Alle drei Objekte zusammen wiegen 17,3 kg. Die Objekte A und B wiegen zusammen 12,2 kg und die Objekte A und C wiegen zusammen 10,8 kg. Bestimme möglichst effizient die Masse der drei Objekte!

: Clemens und seine Freunde haben gestern für sechs Gläser Eistee und neun Gläser Cola 34,20 € bezahlt. Letzte Woche zahlten sie für acht Gläser Eistee und zwölf Gläser Cola 45,60 €. Kann man mit dieser Information berechnen wie viel ein Glas Eistee bzw. Cola kostet? Begründe deine Entscheidung.

: Marco beginnt um 15:00 Uhr mit einer Geschwindigkeit von 12 km/h seine wöchentliche Laufrunde. Eine halbe Stunde später startet sein Bruder Luca auf derselben Strecke eine kruze Radtour. Seine Geschwindigkeit beträgt 20 km/h. Zu welcher Uhrzeit und in welcher Entfernung vom Startpunkt treffen sie sich?

: Bei einem Test mit 46 Fragen kann man maximal 150 Punkte erhalten. Der Test besteht aus 3-Punkt-Fragen und aus 5-Punkt-Fragen. Wie viele Fragen gibt es von jeder Sorte?

: Der Umfang eines Rechtecks beträgt 60,2 m. Die längere Seite ist um 5,5 m länger als die kürzere Seite.
a) Stelle ein Gleichungssystem auf, mit dem diese Aufgabe gelöst werden kann.
b) Berechne die beiden Seitenlängen des Rechtecks.

: Es sollen drei unbekannte Zahlen bestimmt werden. Die Summe der drei Zahlen ergibt 37. Die zweite Zahl ist doppelt so groß wie die erste Zahl. Die erste Zahl ist um 3 größer als die dritte Zahl.
a) Stelle ein Gleichungssystem auf, mit dem diese Aufgabe gelöst werden kann und gib an, wofür die verwendeten Variablen stehen.
b) Bestimme die drei Zahlen.

: Gegeben sind die beiden Gleichungen \(3a+2b = -43\) und \(5a-4b = -145\). Löse dieses Gleichungssystem rechnerisch.

: Eine Klasse bestehend aus 23 Schülern erzielt bei einer Schularbeit folgendes Ergebnis: Es gibt dreimal so viele Vierer wie Einser. Die Anzahl der Fünfer ist um 1 kleiner als jene der Vierer. Dreier gibt es so viele wie Einser und Vierer zusammen. Zweier gibt es keine. Außerdem haben zwei Schüler bei der Schularbeit gefehlt. Ermittle die Notenverteilung.

: Beim Gewichtheben geben die Farben der Hantelscheiben Auskunft über deren Masse. Die Hantelstange inklusive Verschlüssen zum Fixieren der Scheiben wiegt 25 kg. Jemand beobachtet im Fern­sehen folgende Zusammensetzungen:
  ▪  138 kg (Stange, 4 rot, 2 weiß, 2 gelb)
  ▪  148 kg (Stange, 4 rot, 4 weiß, 2 gelb)
  ▪  178 kg (Stange, 6 rot, 0 weiß, 2 gelb)
a) Erstelle ein Gleichungssystem, mit dem die Masse der verschiedenen Farben bestimmt werden kann.
b) Löse dieses Gleichungssystem.

: Eine vierköpfige Familie verbrauchte im März 15 m³ Wasser und zahlte dafür 29,06 €. Im heißeren Juli verbrauchte sie 21 m³ Wasser und zahlte 39,32 €. Die Monatskosten setzen sich jeweils aus monatlicher Grundgebühr und den Kosten pro Kubikmeter Wasser zusammen. Berechne die Grundgebühr und die Kosten pro Kubikmeter.

: Auf den Verpackungen verschiedener Lebensmittel findet man für jeweils 100 Gramm folgende Angaben:
  ▪  Schokolade - Brennwert: 530 kcal, Fett: 29 g, Kohlenhydrate: 59 g, Eiweiß: 6 g
  ▪  Parmesan - Brennwert: 528 kcal, Fett: 40 g, Kohlenhydrate: 0 g, Eiweiß: 42 g
  ▪  Walnüsse - Brennwert: 703 kcal, Fett: 65 g, Kohlenhydrate: 14 g, Eiweiß: 15 g
Berechne mit Hilfe dieser Werte, welchen Brennwert die drei Nahrungshauptbestandteile (Fett, Kohlenhydrate, Eiweiß) pro 100 g durchschnittlich haben.

: Markus und Isabella bekommen das gleiche monatliche Grundeinkommen. Markus leistete im April 12 Überstunden und bekam insgesamt 3066 €. Isabella leistete 19 Überstunden und bekam insgesamt 3262 €. Wie groß ist das Grundeinkommen der beiden und wie viel bekommen sie pro Überstunde?

: Familie Kern und Familie Karner machen gemeinsam einen Ausflug in den Tiergarten. Familie Kern muss für 2 Erwachsene und 3 Kinder insgesamt 55,10 € Eintritt zahlen. Familie Karner zahlt für 4 Erwachsene und ein Kind insgesamt 71,70 € Eintritt. Wie viel kosten die Eintrittskarten für Erwachsene und für Kinder?

: Ein betrügerischer Online-Händler verkauft pro Monat 295 billige Fälschungen eines Notebook-Netzteils als vermeintliche Originalware. Gibt es keine Beschwerden des Käufers (da er es nicht bemerkt oder er sich die damit verbundenen Umstände ersparen möchte), so macht der Händler pro Netzteil einen Gewinn von 7,50 €. Bei einer Beschwerde beträgt der durchschnittliche Verlust (durch rückerstattete Versandkosten usw.) hingegen 5,30 €. Nach einem Monat beträgt der Gesamtgewinn 1841,30 €. Wie viele der 295 Käufer beschwerten sich?

: In einem technischen Betrieb stehen Salzsäure-Lösungen mit verschiedenen Konzentrationen zur Verfügung. Mischt man sie im Verhältnis 5:1, so hat die entstehende Lösung eine Konzentration von 8,5 %. Mischt man sie hingegen im Verhältnis 2:3, so entsteht Salzsäure mit einer Konzentration von 20,2 %.
a) Welche Konzentration haben die beiden zur Verfügung stehenden Lösungen?
b) In welchem Verhältnis muss man sie mischen, um eine Konzentration von 25 % zu erhalten?

: Die Summe der Flächeninhalte zweier Quadrate beträgt 229,32 cm². Deren Differenz beträgt 88,2 cm². Welche Seitenlängen haben die beiden Quadrate?

: Eine Seitenlänge eines rechteckigen Grundstücks ist um 5 m größer als die andere. Verlängert man beide Seiten um 2 m, so wird der Flächeninhalt um 66 m² größer. Berechne die ursprünglichen Seitenlängen des Grundstücks!

: Im Mittelalter war es üblich, Tauschhandel zu betreiben. Berechne aus folgenden drei Angaben, wie teuer die drei Tierarten sind:
  ▪  Für zwei Rinder und fünf Schafe erhält man 13 Schweine und 1000 Goldstücke.
  ▪  Für drei Rinder und drei Schweine erhält man neun Schafe.
  ▪  Für sechs Schafe, acht Schweine und 600 Goldstücke erhält man fünf Rinder.

: Bei der sogenannten Dreieck-Stern-Transformation wird eine dreieckförmige Anordnung von Widerständen in eine gleichwertige sternförmige Anordnung umgewandelt.

Dafür gelten die folgenden Zusammenhänge: $$r_1+r_2=\frac{R_3\cdot (R_1+R_2)}{R_1+R_2+R_3}\hspace{1cm}r_2+r_3=\frac{R_1\cdot (R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3}\hspace{1cm}r_1+r_3=\frac{R_2\cdot (R_1+R_3)}{R_1+R_2+R_3}$$ Berechne die Widerstände $r_1,r_2,r_3$ der sternförmigen Schaltung, wenn die Widerstände der Dreiecksschaltung folgende sind: $R_1=15\,\Omega$, $R_2=20\,\Omega$, $R_3=30\,\Omega$.

: Gegeben ist die unten abgebildete elektrische Schaltung, wobei $U=20\,\text{V}$, $R_1=1{,}2\,\Omega$, $R_2=2{,}5\,\Omega$ und $R_3=4\,\Omega$ bekannt sind.

Anhand der Kirchhoffschen Regeln (Knotenregel und Maschenregel) sowie des Ohmschen Gesetzes können folgende Zusammenhänge festgestellt werden: $$I_1=I_2+I_3\hspace{15mm} I_1R_1+I_3R_3=U \hspace{15mm} I_2R_2=I_3R_3$$ Bereche die Ströme $I_1,I_2$ und $I_3$, welche durch die jeweiligen Widerstände fließen.

: Bei einem bestimmten Test gibt es 20 Fragen und insgesamt sind 80 Punkte erreichbar. Jede Frage bringt entweder 2, 3 oder 5 Punkte und es gibt von jedem Fragentyp mindestens drei Fragen. Wie viele Fragen gibt es von jedem Typ?

: Bei der Photosynthese erzeugen Pflanzen aus Wasser $\text{H}_2\text{O}$ und Kohlenstoffdioxid $\text{CO}_2$ Glucose (Traubenzucker) $\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6$ und Sauerstoff $\text{O}_2$. Die zugehörige Reaktionsgleichung lautet folgendermaßen: $$ a~\text{H}_2\text{O}+ b~ \text{CO}_2 \to c~ \text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6 + d~\text{O}_2$$ Bestimme die fehlenden Koeffizienten $a,b,c,d$. Diese sollen natürliche Zahlen sein und so klein wie möglich sein.

: Berechnet man die Summen von je zwei Seitenlängen eines Dreiecks, so erhält man 30,1 cm, 27,4 cm und 32,9 cm.
a) Bestimme den Umfang des Dreiecks, ohne zuvor die einzelnen Seitenlängen zu berechnen.
b) Berechne die Seitenlängen des Dreiecks!

: Ein Vater und seine zwei Töchter sind zusammen 103 Jahre alt. Der Vater ist genau doppelt so alt, wie die ältere Tochter. Der Altersunterschied der beiden Töchter beträgt fünf Jahre. Wie alt sind die drei Personen?

: Ein Dreieck hat den Umfang 82 cm. Seite $a$ ist dreimal so lang wie Seite $b$. Seite $c$ ist um 20 cm länger als Seite $b$. Bestimme die drei Seitenlängen!

: Addiert man jeweils zwei Winkel eines Dreiecks, so erhält man 115 °, 147 ° und 98 °.
a) Berechne die drei Winkel des Dreiecks.
b) Erkläre, warum diese Aufgabe mehr Information enthält, als man für die Lösung tatsächlich benötigt.