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Aufgaben zu linearen Gleichungen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu linearen Gleichungen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

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Aufgabensammlung

: Ist die Aussage $p + (1 - p) \cdot p + (1 - p)^2 = 1$ für alle $p$ wahr? Begründe deine Entscheidung.

: Bei einem Sportwettbewerb erhalten die ersten drei Plätze insgesamt 6974 €. Der 2. Platz erhält 70 % des Siegers. Der 3. Platz erhält die Hälfte des Siegers. Wieviel erhält der Sieger?

: Kreuze alle richtigen Aussagen an und begründe deine Entscheidungen!
    Mischt man eine Substanz mit einem Alkoholgehalt von 30 % mit einer Substanz mit einem Alkoholgehalt von 50 %, so hat die entstehende Mischung einen Alkoholgehalt von 80 %.
    Mischt man 200 Milliliter Salzsäure mit einer Konzentration von 30 % und 300 Milliliter Salzsäure mit einer Konzentration von 30 %, so erhält man 0,5 Liter Salzsäure mit einer Konzentration von 30 %.
    Mischt man 300 Milliliter Zuckerlösung mit einer Konzentration von 40 % mit 300 Milliliter Wasser, so erhält man eine Zuckerlösung mit einer Konzentration von 20 %.

: Stelle eine Gleichung mit einer Variable auf, welche für die Lösung des folgenden Sachverhaltes verwendet werden kann. Gib an, wofür die Variable steht.
Vier Unternehmen beteiligen sich mit insgesamt 218.000 € an der Finanzierung eines Projektes. Unternehmen A zahlt um 12.000 € mehr als Unternehmen B. Unternehmen C zahlt die Hälfte von Unternehmen A. Unternehmen D zahlt unabhängig von den anderen 50.000 €. Wie viel zahlt Unternehmen A?

: In einem Unternehmen arbeiten dreimal so viele Männer als Frauen bzw. anders ausgedrückt um 52 Männer mehr als Frauen. Kreuze alle zutreffenden Aussagen an, wenn $x$ die Anzahl der Männer und $y$ die Anzahl der Frauen beschreibt.
    $x-y=52$
    $y-x=52$
    $x=3y$
    $y=3x$

: Die bei uns gebräuchliche Temperatureinheit Grad Celsius (°C) kann mittels der Formel $y = 1{,}8x + 32$ in die in den USA verbreitete Temperatureinheit Grad Fahrenheit (°F) umgerechnet werden, wobei $x$ die Temperatur in Grad Celsius angibt und $y$ die Temperatur in Grad Fahrenheit angibt.
a) Welcher Temperatur in Grad Fahrenheit entsprechen 25 °C?
b) Welcher Temperatur in Grad Celsius entsprechen 167 °F?
c) Gib eine Formel an, mit welcher Grad Fahrenheit in Grad Celsius umgerechnet werden können. Verwende dazu dieselben Variablenbezeichnungen wie in der Angabe.

: Für diese Aufgabe soll angenommen werden, dass die Erde eine perfekte Kugel ist. Um den Äquator wird ein Band gespannt, welches die Erdoberfläche überall berührt. Dieses Band wird nun um 10 Meter verlängert und an jeder Stelle des Äquators gleichmäßig angehoben. Wie weit ist das Band dann über der Erdoberfläche?

: Kreuze an, ob die entsprechende Zeile aus der direkt darüber liegenden Zeile ohne fehlerhafte Umformung entstanden ist!

: Wo liegt der Fehler, der zu dieser falschen Aussage führt? $$\begin{eqnarray*} 4 -4 &=& 4-4 \\ 2\cdot (2-2) &=& (2+2)\cdot (2-2)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 2 &=& 2+2\\ 2 &=& 4 \end{eqnarray*}$$

: Ein Tankwagen hat 15 000 Liter Heizöl geladen. Kunde B erhält dreimal so viel wie Kunde A. Kunde C erhält 40 % von Kunde B. Nachdem alle Kunden beliefert wurden, befinden sich noch 3500 Liter im Tank. Wieviel hat jeder erhalten?

: Wie viel Kilogramm reines Zink müssen zu 70 kg einer Messinglegierung mit 20 % Zinkanteil hinzugefügt werden, um eine Messinglegierung mit 28 % Zinkanteil herzustellen?

: In einem Vergnügungspark befinden sich um 50 % mehr Kinder $k$ als Erwachsene $e$. Kreuze alle Gleichungen an, die geeignet sind, um diesen Zusammenhang zu beschreiben.
    $k=e+0{,}50$
    $k=1{,}5e$
    $3k=2e$
    $e=150k$

: Die kinetische Energie (in Joule) ist gegeben durch die Formel $E_\text{kin}=\frac{m}{2}\cdot v{^2}$, wobei \(m\) die Masse in Kilogramm und \(v\) die Geschwindigkeit in m/s ist.
a) Erstelle eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit \(v\).
b) Berechne die kinetische Energie für m = 1,2 t und v = 60 km/h.
c) Wie muss sich die Masse verändern, wenn die Geschwindigkeit verdoppelt wird und die kinetische Energie gleich bleiben soll?

: Legt man auf eine Schale einer Apothekerwaage eine ganze Tafel Schokolade und auf die andere Tafel ein Viertel einer Tafel, so benötigt man zusätzlich 75 g, damit die Waage im Gleichgewicht ist. Welche Masse hat eine ganze Tafel Schokolade?

: Viktor, Vanessa und Valentin nehmen gemeinsam an einer Sportwette teil. Viktor zahlt doppelt so viel Einsatz wie Vanessa, und Valentin zahlt halb so viel Einsatz wie Vanessa. Sie gewinnen 792,75 € und wollen diesen Gewinn im selben Verhältnis wie den Einsatz aufteilen. Wie viel erhalten die drei Personen jeweils?

: Eine Erbschaft von 290 000 € soll laut Testament folgendermaßen unter den drei Erben Andreas, Lisa und Vanessa aufgeteilt werden: Lisa soll drei Viertel des Anteils von Andreas bekommen und Vanessa zwei Drittel des Anteils von Andreas. Wie viel erhält jeder?

: Eine Handtasche und ein Gürtel kosten zusammen 130 €. Die Handtasche ist um 100 € teurer als der Gürtel. Wie viel kosten die beiden Produkte jeweils?

: Eine Klasse bestehend aus 23 Schülern erzielt bei einer Schularbeit folgendes Ergebnis: Es gibt dreimal so viele Vierer wie Einser. Die Anzahl der Fünfer ist um 1 kleiner als jene der Vierer. Dreier gibt es so viele wie Einser und Vierer zusammen. Zweier gibt es keine. Außerdem haben zwei Schüler bei der Schularbeit gefehlt. Ermittle die Notenverteilung.

: Vier Investoren beteiligen sich mit insgesamt 75 000 € an einem Projekt. Investor A zahlt unabhängig von den anderen 12 000 €. Investor C zahlt die Hälfte von Investor B, und Investor D zahlt 75 % von Investor B. Wie groß sind die einzelnen Beteiligungen?

: Drei Kinder wollen sich um 30 € einen Ball kaufen. Jedes Kind zahlt 10 €. Als sie das Geschäft verlassen, stellt der Verkäufer fest, dass der Ball nur 25 € kostet. Er gibt dem Lehrling 5 € und sagt, er soll sie den drei Kindern zurückgeben. Der Lehrling denkt sich: 5 geteilt durch 3 ist schlecht zu bewerkstelligen. Er gibt daraufhin jedem der drei jeweils 1 € zurück und behält sich selbst 2 €. Nun hat jedes Kind nur 9 € bezahlt. Das heißt aber: 3 · 9 € = 27 €. Mit den 2 €, die der Lehrling hat, sind es 29 €. Wo ist der fehlende Euro?

: Die Summe von fünf direkt aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen beträgt 95. Wie lautet die mittlere der fünf Zahlen?

: Die Summe von drei direkt aufeinanderfolgenden geraden Zahlen beträgt 114. Wie lautet die kleinste der drei Zahlen?

: Die Summe von drei direkt aufeinanderfolgenden Zweierpotenzen beträgt 224. Wie lauten die drei Zahlen?

: Die Summe vom Doppelten einer bestimmten Zahl, der Hälfte dieser Zahl, einem Viertel dieser Zahl sowie der Zahl 1 ergibt 100. Um welche Zahl handelt es sich?

: Tobias ist drei Jahre älter als Jasmin. Zusammen sind sie 27 Jahre alt. Wie alt sind die beiden?

: Pauls Mutter ist heute viermal so alt wie Paul. In vier Jahren wird sie nur noch dreimal so alt sein wie Paul. Wie alt sind die beiden heute?

: Maximilian hat eine drei Jahre jüngere Schwester und einen zwei Jahre älteren Bruder. Insgesamt sind sie 32 Jahre alt. Wie alt sind die drei Kinder?

: Ein rechteckiges Grundstück hat einen Umfang von 116 m. Eine Seite ist um 4 m länger als die andere. Wie lang sind die beiden Seiten des Grundstücks?

: Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 30 cm. Die Basis ist halb so lang wie die beiden Schenkel. Wie lang ist die Basis und wie lang sind die Schenkel?

: Ein Dreieck hat den Umfang 40 cm. Seite b ist dreimal so lang wie Seite a. Seite c ist 5 cm länger als Seite a.
a) Wie lang sind die drei Seiten?
b) Begründe, ob es möglich ist, dieses Dreieck zu konstruieren.

: Ein Radfahrer fährt mit 18 km/h bergauf und anschließend mit 30 km/h bergab. Für den gesamten Weg von 27 km benötigt er eine Stunde. Nach wie vielen Kilometern und nach welcher Fahrzeit erreichte er den höchsten Punkt seiner Radtour?

: Es fährt jemand 40 Minuten lang mit konstanter Geschwindigkeit und legt dabei eine gewisse Strecke zurück. Wird die Geschwindigkeit um 20 % reduziert, so ist die in derselben Zeit zurückgelegte Strecke um 10 km kürzer. Berechne die ursprüngliche Strecke, die ursprüngliche Geschwindigkeit, die neue Strecke und die neue Geschwindigkeit!

: Stefan und Tobias wohnen 28 km voneinander entfernt. Sie möchten eine gemeinsame Radtour unternehmen. Um 10:00 Uhr brechen sie von zuhause auf und fahren einander entgegen. Stefan fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 18 km/h, jene von Tobias beträgt 22 km/h. Wann (Uhrzeit) und in welcher Entfernung von Stefans Wohnort treffen sich die beiden?

: Weißgold ist eine Legierung bestehend aus Gold und silberfarbenen Metallen wie etwa Nickel, Titan, Silber oder Palladium. Wie viel reines Gold muss zu 100 g einer 9-Karat-Weißgoldlegierung (37,5 % Goldanteil) hinzugefügt werden, um eine 14-Karat-Weißgoldlegierung (58,5 % Goldanteil) zu erhalten?

: Welche Menge an alkoholfreien Getränken (in Milliliter) muss man zu 50 ml Vodka mit einem Alkoholgehalt von 40 % hinzufügen, um ein Getränk mit 5 % Alkoholgehalt zu erhalten?
Im Vergleich zu anderen Gemischen bezieht sich der Alkoholgehalt immer auf das Volumen und nicht auf die Masse. Deshalb spricht man auch von Volumenprozenten (kurz Vol.-%).

: Ein Getränkehersteller produziert Alkopops mit einem Alkoholgehalt von 5,6 Vol.-%. Dafür wird Rum mit einem Alkoholgehalt von 40 Vol.-% verwendet. Welche Menge an Rum (in Milliliter) befindet sich in einer 275-Milliliter-Flasche des fertigen Getränks?

: Wie viel Wasser muss hinzugefügt werden, um aus 200 g 31-prozentiger Salzsäure eine Lösung mit 12-prozentiger Salzsäure zu erhalten?

: Wie viel Stahl mit einem Kohlenstoffanteil von 0,5 % und wie viel Gusseisen mit einem Kohlenstoffanteil von 3,2 % müssen gemischt werden, um 10 t einer Legierung mit 2,5 % Kohlenstoffanteil zu erhalten?

: Wie viel Wasser muss verdampft werden, um aus 500 g einer 30-prozentigen Schwefelsäure 95-prozentige Schwefelsäure zu erzeugen? Wie viel Gramm dieser Substanz erhält man?

: Frische Steinpilze haben einen Wassergehalt von 90 %. Laut Deutschem Lebensmittelbuch dürfen Trockenpilze als Handelsware maximal 12 % Wasser enthalten.
a) Welche Masse an Trockenpilzen mit einem Wassergehalt von 12 % erhält man aus 1 kg frischen Steinpilzen?
b) Welche Masse an frischen Steinpilzen benötigt man für 200 g getrocknete Steinpilze (12 % Wassergehalt)?

: Einem Unternehmen steht ein Gesamtkapital von 50.000 € zur Verfügung. Davon sind 30 % Eigenkapital. Wie viel muss investiert werden, um den Eigenkapitalanteil auf 50 % anzuheben?

: Ein Investor beteiligt sich mit 20.000 € an einem Unternehmen. Dadurch gehört ihm ein Anteil von 10 %. Berechne das Gesamtkapital des Unternehmens (nach der Beteiligung durch den Investor).

: Zwei Arbeiter benötigen für das Verrichten einer Arbeit gemeinsam 20 Tage. Alleine würde einer der Arbeiter diese Arbeit in 30 Tagen erledigen können. Wie lange würde der andere Arbeiter dafür benötigen?

: Möchte man eine bestimmte Badewanne mit dem Warmwasserhahn füllen, so dauert dies 12 Minuten, mit dem Kaltwasserhahn würde man dafür 10 Minuten benötigen, und mit dem Duschkopf 15 Minuten. Öffnet man den Abfluss, so leert sich die volle Badewanne innerhalb von 5 Minuten.
a) Wie lange dauert es, die Badewanne zu füllen, wenn alle drei Zuflüsse aktiv sind und der Abfluss verschlossen ist?
b) Wie lange dauert es, die Badewanne zu füllen, wenn alle drei Zuflüsse aktiv sind, jedoch der Abfluss geöffnet ist?
c) Wie lange dauert es, die Badewanne zu füllen, wenn man nur den Warm- und den Kaltwasserhahn verwendet, jedoch der Abfluss geöffnet ist?

: Ein Becken mit einem Volumen von 100 m³ verfügt über zwei Zuflüsse und einen Abfluss. Durch den ersten Zufluss können 5 m³/h einfließen, durch den zweiten Zufluss 3 m³/h. Durch den Abfluss können 4 m³/h abfließen.
a) Nach wie vielen Stunden ist das Becken voll, wenn die beiden Zuflüsse offen und der Abfluss geschlossen sind?
b) Nach wie vielen Stunden ist das Becken voll, wenn die beiden Zuflüsse offen, aber der Abfluss auch offen ist?
c) Nach wie vielen Stunden ist das Becken voll, wenn die beiden Zuflüsse offen sind, aber der Abfluss erst nach 5 Stunden geschlossen wird?

: Im Internet stößt man oftmals auf angebliche Widersprüche, welche Zweifel an der Sinnhaftigkeit der Mathematik aufkommen lassen wollen. Welche der Umformungen ist bei folgender Gleichung nicht zulässig und führt daher zu diesem widersprüchlichen Ergebnis? $$\begin{eqnarray} 5+2 & = & 7\\ 5\cdot (5+2) & = & 5\cdot 7 \\ 25+10 & = & 35\\ 25+10-35 & = & 35-35\\ 25+10-35 & = & 35-35-14+14\\ 25+10-35 & = & 35+14-49\\ 5\cdot (5+2-7) & = & 7\cdot (5+2-7)\\ 5 & = & 7 \end{eqnarray}$$

: Vier Personen teilen sich einen Gewinn von 2360 €. Person B bekommt das Doppelte von Person A. Person C erhält um 170 € mehr als Person A und Person D erhält 630 € (unabhängig von den anderen drei Personen). Berechne, wie viel A, B und C erhalten.

: Der Gesamtwiderstand RG einer Parallelschaltung bestehend aus den drei Widerständen R1 = 6,8 Ω, R2 = 5,2 Ω und R3 = 9,4 Ω kann durch folgende Gleichung berechnet werden: $$\frac{1}{R_G}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}$$ Ermittle den Gesamtwiderstand RG!

: Es werden 3,2 t Messing mit 35 % Zinkanteil, 2,5 t Messing mit 20 % Zinkanteil und 0,4 t reines Zink gemischt. Welche Masse und welchen Zinkanteil hat die entstehende Legierung?

: Gegeben ist der folgende Zusammenhang: $$ A+B=\frac{A\cdot C}{D} $$ Kreuze alle richtigen Formeln an, die man daraus erhalten kann! $$ \bigcirc~~~A=\tfrac{B\cdot D}{C-1} ~~~~~~~~~~~~~~~\bigcirc~~~C=\tfrac{B\cdot D}{A}+D ~~~~~~~~~~~~~~~\bigcirc~~~ D=\tfrac{A+B}{A\cdot C} ~~~~~~~~~~~~~~~\bigcirc~~~C=\tfrac{A+B\cdot D}{A} $$

: Gegeben ist die Gleichung $34x - (5x - 1) \cdot (4 - 2x) = x^2 + (3x + 2)^2 + 5$ mit der Grundmenge der reellen Zahlen. Kreuze die zutreffende Aussage an!
    Diese Gleichung besitzt keine Lösung.
    Diese Gleichung besitzt genau eine Lösung.
    Diese Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen.

: Gegeben ist die Gleichung $1{,}2x^2 - 4{,}9x + 2{,}3 = 3{,}5x - 9{,}7$. Grundmenge sind die natürlichen Zahlen. Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    1 ist Lösung dieser Gleichung.
    2 ist Lösung dieser Gleichung.
    3 ist Lösung dieser Gleichung.
    4 ist Lösung dieser Gleichung.
    5 ist Lösung dieser Gleichung.

: Welchen Zinkanteil hat die entstehende Legierung, wenn man 3 t Messing mit 25 % Zink und 5 t Messing mit 35 % Zink mischt?

: Bei einer bestimmten Lupe erscheint das Bild scharf bei einer Gegenstandsweite g = 35 cm und einer Bildweite b = 15 cm. Berechne mit Hilfe der sogenannten Linsengleichung (siehe unten) die Brennweite f dieser Lupe! $$\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}$$

: Die Anziehungskraft $F$ (in Newton) zwischen zwei Massen $m_1$ und $m_2$ (in Kilogramm) kann durch folgende Formel berechnet werden: $$F=R\cdot\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$$ Dabei ist $R\approx 6{,}67\cdot 10^{-11}$ die Gravitationskonstante und $r$ der Abstand der beiden Massen (in Meter). Berechne die Anziehungskraft, welche die Erde auf den Mond ausübt, wenn die Masse des Monds $7,35\cdot 10^{22}\,$kg, die Masse der Erde $5,97\cdot 10^{24}\,$kg und der Abstand zwischen Erde und Mond $3,75\cdot 10^{8}\,$m beträgt.

: Die nachfolgenden Aufgabestellungen beziehen sich stets auf 1,5 t Bronze mit einem Zinnanteil von 20 %.
a) Welchen Zinnanteil hat die entstehende Legierung, wenn man 2,4 t Bronze mit 28 % Zinnanteil hinzufügt?
b) Wie viel reines Zinn muss man hinzufügen, um Bronze mit einem Zinnanteil von 25 % zu erhalten?
c) Wie viel Bronze mit Zinnanteil 30 % muss hinzugefügt werden, um Bronze mit 25 % Zinnanteil zu erhalten?

: Es werden 50 ml Vodka (40 % Alkohol) mit 125 ml Cola (0 % Alkohol) gemischt. Welchen Alkoholgehalt hat das entstehende Getränk?

: Niklas ist 24 Jahre alt. Er ist momentan doppelt so alt wie sein jüngerer Bruder Fabian war, als Niklas so alt war, wie Fabian jetzt ist. Wie alt ist Fabian jetzt?

: Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts $A$ eines Trapezes lautet $A=\tfrac{a+c}{2}\cdot h$. Daraus soll eine Formel zur Berechnung der Seitenlänge $a$ erstellt werden. Kreise alle korrekten Umformungen an! $$ a=\frac{h-c}{2A}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ a=\frac{2A-2c}{h} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ a=\frac{2A-c}{h} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ a=c+\frac{Ah}{2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ a=\frac{2A-hc}{h} $$

: Gib jeweils ein Beispiel eines Terms, einer Gleichung, einer Ungleichung, einer Formel und einer Funktion an!

: Kreuze jeweils an, ob es sich bei den folgenden mathematischen Objekten um einen Term oder eine Gleichung handelt. Es kann auch sein, dass keiner der Begriffe passt!

: Die Donau hat zwischen Linz und Wien eine Länge von 215 km. Ein Schiff startet um 12:30 Uhr in Linz und fährt Richtung Wien mit einer Geschwindigkeit von 18 km/h. Ein anderes Schiff startet um 15:00 Uhr in Wien und fährt Richtung Linz mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h.
a) Zu welcher Uhrzeit fahren die beiden Schiffe aneinander vorbei?
b) In welcher Entfernung von Wien findet das Aufeinandertreffen statt?

: Die kinetische Energie $E$ wird durch die Formel $$E=\frac{m\cdot v^2}{2}$$ berechnet, wobei $m$ die Masse und $v$ die Geschwindigkeit ist. Schreibe nachfolgend den passenden Buchstaben in die freie Spalte, damit richtige Sätze entstehen.

: Herr Weber tankt immer um denselben Geldbetrag. Da der Benzinpreis um 3 % gestiegen ist, erhält er um 0,9 Liter weniger als beim letzten Mal. Wie viele Liter tankte er letztes Mal und wie viele waren es dieses Mal?

: Philipp und Clemens fahren mit dem Rad vom selben Ort weg in dieselbe Richtung. Philipp beginnt um 14:00 Uhr mit einer konstanten Geschwindigkeit von 15 km/h. Clemens startet um 10 Minuten später und fährt mit 20 km/h.
a) Erstelle eine Skizze mit allen wichtigen Informationen!
b) Berechne den Treffpunkt (Uhrzeit und Entfernung vom Startpunkt)!