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Aufgaben zu linearen Funktionen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu linearen Funktionen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

Mathematischer Hintergrund

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat die Form $f(x)=k\cdot x+d$, wobei $k$ als Steigung und $d$ als Ordinatenabschnitt bzw. $y$-Achsenabschnitt bezeichnet wird. Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Je nachdem, welches Vorzeichen die Steigung $k$ besitzt, ist diese Gerade nach rechts ansteigend (bei positiver Steigung) bzw. nach rechts abfallend (bei negativer Steigung). Zu den Grundtechniken im Umgang mit linearen Funktionen gehört das Zeichnen des Funktionsgraphen, das Erstellen der Funktionsgleichung anhand des Funktionsgraphen, das Erstellen der Funktionsgleichung anhand von zwei Punkten, das Berechnen der Nullstelle anhand der Funktionsgleichung und das Berechnen des Schnittpunktes zweier Funktionsgraphen.

Anwendungsgebiete

Bei einer linearen Funktion führen gleiche Änderungen der unabhängigen Variable (Zeit, Menge, Stückzahl, ...) stets zu gleichen Änderungen des Funktionswertes. Somit ergeben sich hier vielfältige Anwendungsbereiche: diverse Wachstumsprozesse (z. B. Bevölkerung oder Pflanzen), der Fortschritt diverser Handlungen (z. B. Download oder Füllen eines Beckens), wirtschaftliche Anwendungen (z. B. Tarife oder Produktionskosten) und physikalische Sachverhalte (z. B. der zurückgelegte Weg bei konstanter Geschwindigkeit).

1. Allgemeine Aufgaben

Bestimme die Parameter $k$ und $d$, sodass der Funktionsgraph der linearen Funktion $f(x)=k\cdot x+d$ durch die vorgegebenen Punkte verläuft.
a) $A(3.4 \mid 2.8)$ und $B(5 \mid 0.3)$
b) $S(-2.6 \mid 2.2)$ und $T(5.2 \mid -3.5)$

Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden linearen Funktionen $f$ und $g$, welche folgende Eigenschaften erfüllen.
  ▪ Der Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen ist der Punkt $(-1.1\mid 3.3)$.
  ▪ Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse beim Wert 5.1.
  ▪ Die Nullstelle von Funktion $g$ ist an der Stelle 5.7.

#274 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Kreuze jeweils an, ob es sich um einen linearen Zusammenhang handelt oder nicht.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks in Abhängigkeit der Seitenlänge $a$, wenn die Seitenlänge $b$ unverändert bleibt.
Die Stromkosten in Abhängigkeit vom Energiebedarf in Kilowattstunden bei einem Tarif mit fixer Grundgebühr und fixen Kosten pro Kilowattstunde.
Der Flächeninhalt eines Kreises in Abhängigkeit vom Radius.
Die Anzahl an Einwohnern einer Gemeinde in Abhängigkeit von der Zeit, wenn die Einwohneranzahl jährlich um 1,5 % zunimmt.

#1076 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Beweise, dass für jede reelle Zahl $a$ und jede lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$ die folgende Eigenschaft erfüllt ist: $$\frac{f(a)+f(-a)}{2}=d$$

#1098 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Begründe jeweils, ob es sich bei den Varianten $I(R)=\frac{U}{R}$ und $I(U)=\frac{U}{R}$ des Ohmschen Gesetzes um eine lineare Funktion handelt.

2. Wachstums- und Abnahmeprozesse

Jemand wartet darauf, dass der Download seines neuen Computerspiels abgeschlossen ist. Vor 50 Minuten fehlten noch 9 GB. Aktuell fehlen noch 5.4 GB. Es wird angenommen, dass die Downloadgeschwindigkeit konstant ist, also ein linearer Zusammenhang zwischen fehlender Datenmenge und Zeit besteht.
a) Wie viel wird in 30 Minuten noch fehlen?
b) In wie vielen Minuten wird der Download abgeschlossen sein?

#265 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Eine 13.4 cm große Kerze wird angezündet und schmilzt pro Minute um 0.72 Millimeter. Gib die Funktionsgleichung der linearen Funktion $h(t)$ an, welche die Höhe $h$ der Kerze (in Zentimeter) in Ab­hän­gig­keit von der Zeit $t$ (in Minuten nach dem Anzünden) beschreibt.

Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Um 13:14 Uhr betrug der Wasserstand 50 cm. Um 16:38 Uhr betrug er 1.14 m. Zu welcher Uhrzeit wird die vollständige Füllhöhe von 1.65 m erreicht sein? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an.

Die Bevölkerung Brasiliens wächst seit 1950 annähernd linear. Im Jahr 2000 lebten dort ca. 176 Mio. Menschen. Im Jahr 2015 waren es etwa 208 Mio. Menschen. Wie groß wird die Einwohnerzahl im Jahr 2034 sein, wenn man annimmt, dass weiterhin ein lineares Wachstum vorliegt?

Eine aktuell 13.6 cm dicke Schneeschicht schmilzt pro Stunde um 12 mm.
a) Wie dick wird die Schneeschicht nach 4.4 Stunden noch sein?
b) Nach wie vielen Stunden wird der Schnee vollständig geschmolzen sein?

Eine Kerze brennt pro Stunde 2.6 cm nieder. Zu Beginn ist sie 31 cm hoch. Nach welcher Zeit ist die Kerze nur noch 10 cm hoch, wenn man von einem linearen Zusammenhang ausgeht?

Bei einem vom Boden wachsenden Tropfstein wurde vor 16 Jahren eine Höhe von 0.81 m gemessen. Heute ist der Tropfstein 1.09 m hoch. Wie hoch wird der Tropfstein in 15 Jahren sein, wenn man von einem linearen Wachstum ausgeht?

#704 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Einwohnerzahl der Türkei wuchs in den letzten Jahrzehnten annähernd linear und kann durch die Funktion $E(t)=0{,}96t+64{,}23$ beschrieben werden. Dabei steht $t$ für die Zeit in Jahren beginnend am 1. Jänner 2000 und $E(t)$ für die zugehörige Einwohnerzahl (in Millionen). Die Bevölkerung Deutschlands liegt seit 1995 fast konstant bei 82 Millionen Einwohnern. In welchem Jahr werden laut diesem Modell beide Länder gleich viele Einwohner haben?

3. Tarifvergleiche

Es stehen die folgenden beiden Stromtarife zur Auswahl:
  ▪  Tarif A: Grundgebühr: 5.7 €, Kosten pro kWh: 8.2 c
  ▪  Tarif B: Grundgebühr: 7.4 €, Kosten pro kWh: 4.5 c
a) Ermittle jenen Energiebedarf („Stromverbrauch“) in Kilowattstunden (kWh), bei dem beide Tarife gleichwertig sind sowie den zughörigen Preis.
b) Wie groß ist der Preisunterschied bei 125 kWh?

Herr Maier möchte Holzpellets kaufen. Er findet im Internet zwei passende Angebote:
  ▪  Bei Angebot A betragen die Lieferkosten 35 € und der Preis pro Kilogramm 73 Cent.
  ▪  Bei Angebot B betragen die Lieferkosten 58 € und der Preis pro Kilogramm 45 Cent.
Berechne, ab welcher Menge Angebot B besser wäre!

4. Bewegungsaufgaben

Die Donau hat zwischen Linz und Wien eine Länge von 215 km. Ein Schiff startet um 11:20 Uhr in Linz und fährt Richtung Wien mit einer Geschwindigkeit von 18 km/h. Zur selben Uhrzeit startet ein anderes Schiff von Wien Richtung Linz mit einer Geschwindigkeit von 11 km/h.
a) Erstelle ein Weg-Zeit-Diagramm, welches die Entfernung der beiden Schiffe von Wien veranschaulicht.
b) Zu welcher Uhrzeit fahren die beiden Schiffe aneinander vorbei? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an!
c) In welcher Entfernung von Wien findet das Aufeinandertreffen statt?
d) Zu welcher Uhrzeit erreicht das Linzer Schiff Wien? Gib das Ergebnis im Format HH:MM an!

Philipp und Clemens fahren mit dem Rad vom selben Ort weg in dieselbe Richtung. Philipp beginnt um 16:30 Uhr mit einer konstanten Geschwindigkeit von 18.1 km/h. Clemens startet um 10 Minuten später und fährt mit 23 km/h.
a) Erstelle eine vollständig beschriftete Skizze eines Weg-Zeit-Diagramms, welches beide Aktivitäten veranschaulicht.
b) Zu welcher Uhrzeit (im Format HH:MM) und in welcher Entfernung vom Startpunkt treffen sie sich?

Bei einem Trainingsspiel soll Philipp 3000 m laufen. Der langsamere Markus erhält 240 m Vorsprung auf Philipp. Das heißt, er startet weiter vorne und muss daher weniger als 3000 m laufen. Beide starten zur selben Zeit. Philipp läuft mit 14.3 km/h und Markus mit 12.8 km/h.
a) Wie weit vor der Ziellinie wird Markus von Philipp eingeholt? Achte auf die Einheiten!
b) Wie schnell müsste Markus mindestens laufen, um das Ziel vor Philipp zu erreichen?

5. Stückweise definierte Funktionen

#630 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
In Österreich gibt es seit 2021 bei der Einkommensteuer sieben Tarifzonen, von denen die ersten vier folgendermaßen aussehen:
  ▪  0 % für jenen Teil bis 11.000 €
  ▪  20 % für jenen Teil zwischen 11.000 € und 18.000 €
  ▪  35 % für jenen Teil zwischen 18.000 € und 31.000 €
  ▪  42 % für jenen Teil zwischen 31.000 € und 60.000 €
a) Erstelle die Funktionsgleichung einer stückweise lineare Funktion, die jedem Bruttojahreseinkommen zwischen 0 und 60.000 € das zugehörige Nettojahreseinkommen zuordnet.
b) Zeichne den Funktionsgraphen dieser Funktion im Intervall $[0, 60\,000]$ entweder auf Papier oder mit einem geeigneten Computerprogramm.
c) Berechne das Nettojahreseinkommen einer Person, die ein Bruttojahreseinkommen von 35500 € hat.
d) Frau Klein hatte letztes Jahr ein Nettojahreseinkommen von 31800 €. Wie hoch war ihr Bruttojahreseinkommen?

#638 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Bestimme die Funktionsgleichung des abgebildeten Funktionsgraphen.


Zeichne den Funktionsgraphen der folgenden stückweise definierten Funktion. $$f(x)= \begin{cases} \frac{5}{4}x+3,& \textrm{falls }x\in [-6,-2)\\ 2.5x-2,& \textrm{falls }x\in [-2,1)\\ -\frac{1}{4}x+4,& \textrm{falls }x\in [1,7]\\ \end{cases} $$

6. Vermischte Aufgaben

Bestimme die Funktionsgleichung $f(x)=k\cdot x+d$ einer linearen Funktion, deren Graph senkrecht auf den Graphen der Funktion $g(x)=-0.7 \cdot x+2.7$ steht und durch den Punkt $P(\,8 \mid 5\,)$ verläuft.

Die Gesamtkosten für die Herstellung eines bestimmten Produkts lassen sich durch eine lineare Funktion beschreiben. Für 719 Stück betragen die Kosten 3215 € und für 2210 Stück sind es 4293 €.
a) Bestimme die Parameter $k$ und $d$ der Kostenfunktion $K(x)=k\cdot x+ d$.
b) Der Verkaufspreis beträgt 4.6 € pro Stück. Berechne den Break-Even-Point. Runde auf ganze Stück auf!

#272 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die bei uns gebräuchliche Temperatureinheit Grad Celsius (°C) kann anhand der linearen Funktion $y(x) = \frac{9}{5}\,x + 32$ in die in den USA verbreitete Temperatureinheit Grad Fahrenheit (°F) umgerechnet werden, wobei $x$ die Temperatur in Grad Celsius angibt und $y$ die Temperatur in Grad Fahrenheit.
a) Berechne, bei wie viel Grad Celsius die Fahrenheit-Skala ihren Nullpunkt hat.
b) Ermittle die Umkehrfunktion, also jene Funktion, die zur Umrechnung von Grad Fahrenheit in Grad Celsius verwendet werden kann.

Die beiden Tanks A und B sind am Boden durch einen Schlauch verbunden. Zu Beginn ist Tank A vollständig mit Öl gefüllt und Tank B ist leer. Öffnet man das Ventil, so fließt so lange Öl aus Tank A in Tank B, bis beide Tanks gleich hoch gefüllt sind. Die Füllhöhe der beiden Tanks (in Meter) lässt sich während dieses Vorgangs durch die Funktionen $h_A(t) = 1.6 - 0.06t$ und $h_B(t) = 0.15t$ beschreiben, wobei $t$ die Zeit in Minuten nach dem Öffnen ist.
a) Wie hoch ist der Ölstand zu Beginn in Tank A?
b) Berechne, nach welcher Zeit die Füllhöhe in beiden Tanks ausgeglichen ist.
c) Wie lautet am Ende der Füllstand beider Tanks?

#620 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gegeben ist die lineare Funktion $f(x) = 3 + 5x$. Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Der Punkt $(\,2 \mid 11\,)$ liegt unterhalb des Funktionsgraphen von $f$.
Der Graph der Funktion $g(x) = 0{,}2x + 1$ steht normal auf den Graphen von $f$.
Der Funktionsgraph von $f$ schneidet die vertikale Achse bei 5.
Die Nullstelle von $f$ ist bei $x=2$.
Der Graph von $h(x) = 5x - 1$ ist parallel zu jenem von $f$.

Die Einwohnerzahl einer Stadt hat sich folgendermaßen entwickelt:
  ▪  2006: 32377 Einwohner
  ▪  2011: 36000 Einwohner
  ▪  2020: 42282 Einwohner
a) Überprüfe und begründe nachvollziehbar, ob es sich um ein lineares Bevölkerungswachstum handelt.
b) Wie viele Einwohner müssten 2020 in dieser Stadt leben, damit es sich um ein lineares Wachstum handeln würde?

Zeichne die Funktionsgraphen der folgenden Funktionen auf kariertes Papier und beschrifte die Graphen. Als Skalierung soll pro Kästchen 0,5 verwendet werden.
a) $\,\,f(x)=5-2.5x$
b) $\,\,g(x)=\frac{1}{2}\,x-2.5$
c) $\,\,h(x)=0.5x$

Es sind nachfolgend drei Wertepaare vorgegeben:
  ▪  $x=1.8,\,\,\,y=2.8$
  ▪  $x=4.3,\,\,\,y=4.3$
  ▪  $x=13.1,\,\,\,y=6.8$
a) Überprüfe nachweislich, ob es sich bei diesen Wertepaaren um einen linearen Zusammenhang handelt. Beschreibe das Ergebnis der Überprüfung durch einen vollständigen Satz.
b) Welchen $y$-Wert müsste der dritte Punkt haben, damit es sich um einen linearen Zusammenhang handeln würde?

#1216 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Nachfolgend sind drei Funktionsgraphen von linearen Funktionen abgebildet. Ermittle jeweils die zugehörige Funktionsgleichung.


Die Gerade $f$ verläuft durch die Punkte $A(-4\mid -2)$ und $B(4\mid 2)$. Die Gerade $g$ ist parallel zu $f$ und verläuft durch den Punkt $C(2 \mid 5)$. Bestimme die Funktionsgleichung von $g$.