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Aufgaben zu linearen Funktionen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu linearen Funktionen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Mathematischer Hintergrund

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat die Form $f(x)=k\cdot x+d$, wobei $k$ als Steigung und $d$ als Ordinatenabschnitt bzw. $y$-Achsenabschnitt bezeichnet wird. Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Je nachdem, welches Vorzeichen die Steigung $k$ besitzt, ist diese Gerade nach rechts ansteigend (bei positiver Steigung) bzw. nach rechts abfallend (bei negativer Steigung). Zu den Grundtechniken im Umgang mit linearen Funktionen gehört das Zeichnen des Funktionsgraphen, das Erstellen der Funktionsgleichung anhand des Funktionsgraphen, das Erstellen der Funktionsgleichung anhand von zwei Punkten, das Berechnen der Nullstelle anhand der Funktionsgleichung und das Berechnen des Schnittpunktes zweier Funktionsgraphen.

Anwendungsgebiete

Bei einer linearen Funktion führen gleiche Änderungen der unabhängigen Variable (Zeit, Menge, Stückzahl, ...) stets zu gleichen Änderungen des Funktionswertes. Somit ergeben sich hier vielfältige Anwendungsbereiche: diverse Wachstumsprozesse (z. B. Bevölkerung oder Pflanzen), der Fortschritt diverser Handlungen (z. B. Download oder Füllen eines Beckens), wirtschaftliche Anwendungen (z. B. Tarife oder Produktionskosten) und physikalische Sachverhalte (z. B. der zurückgelegte Weg bei konstanter Geschwindigkeit).

Aufgabensammlung

: Gegeben ist die lineare Funktion $f(x) = 2x – 1$.
a) Zeichne den Graphen dieser Funktion im Intervall $[-3,3]$.
b) Berechne die Nullstelle.
c) Berechne den Steigungswinkel der Gerade.
d) Gib die Funktionsgleichung einer beliebigen linearen Funktion an, deren Graph normal (im rechten Winkel) auf jenen von $f$ steht.

: Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden linearen Funktionen $f$ und $g$, welche folgende Eigenschaften erfüllen:
  ▪ Der Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen ist der Punkt $(\,2\mid 4\,)$.
  ▪ Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse beim Wert 5.
  ▪ Die Nullstelle von Funktion $g$ ist an der Stelle 4.

: Eine 7 cm große Kerze wird angezündet und schmilzt pro Minute um 0,4 Millimeter. Gib die Funktionsgleichung der linearen Funktion $h(t)$ an, welche die Höhe $h$ der Kerze (in Zentimeter) in Ab­hän­gig­keit von der Zeit $t$ (in Minuten nach dem Anzünden) beschreibt.

: Um 9:00 Uhr wird begonnen, ein Schwimmbecken mit Wasser zu füllen. Um 11:30 Uhr beträgt der Wasserstand 50 cm. Wann wird der gewünschte Wasserstand von 120 cm erreicht sein? Gib das Ergebnis in Form einer Uhrzeit an.

: Vergleiche folgende Stromtarife und ermittle jenen Energiebedarf („Stromverbrauch“) in Kilowattstunden (kWh), bei dem beide Tarife gleichwertig sind:
  ▪ Tarif A: Grundgebühr: 10,00 €, Kosten pro kWh: 4 c
  ▪ Tarif B: Grundgebühr: 8,70 €, Kosten pro kWh: 5 c

: Die bei uns gebräuchliche Temperatureinheit Grad Celsius (°C) kann anhand der linearen Funktion $y(x) = 1{,}8x + 32$ in die in den USA verbreitete Temperatureinheit Grad Fahrenheit (°F) umgerechnet werden, wobei $x$ die Temperatur in Grad Celsius angibt und $y$ die Temperatur in Grad Fahrenheit.
a) Berechne, bei wie viel Grad Celsius die Fahrenheit-Skala ihren Nullpunkt hat.
b) Gib die Umkehrfunktion an, also jene Funktion, die zur Umrechnung von Grad Fahrenheit in Grad Celsius verwendet werden kann.

: Kreuze alle Zusammenhänge an, die durch eine lineare Funktion modelliert werden können.
    Der Flächeninhalt eines Rechtecks in Abhängigkeit der Seitenlänge $a$, wenn die Seitenlänge $b$ unverändert bleibt.
    Die Stromkosten in Abhängigkeit vom Energiebedarf in Kilowattstunden bei einem Tarif mit fixer Grundgebühr und fixen Kosten pro Kilowattstunde.
    Der Flächeninhalt eines Kreises in Abhängigkeit vom Radius.
    Die Anzahl an Einwohnern einer Gemeinde in Abhängigkeit von der Zeit, wenn die Einwohneranzahl jährlich um 5 % zunimmt.

: Marco beginnt um 15:00 Uhr mit einer Geschwindigkeit von 12 km/h seine wöchentliche Laufrunde. Eine halbe Stunde später startet sein Bruder Luca auf derselben Strecke eine kruze Radtour. Seine Geschwindigkeit beträgt 20 km/h. Zu welcher Uhrzeit und in welcher Entfernung vom Startpunkt treffen sie sich?

: Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Um 13:30 Uhr betrug der Wasserstand 0,4 m. Um 16:00 Uhr betrug er 0,7 m. Zu welcher Uhrzeit wird die vollständige Füllhöhe von 1,2 m erreicht sein?

: Die Bevölkerung Brasiliens wächst seit 1950 annähernd linear. Im Jahr 2000 lebten dort ca. 176 Mio. Menschen. Im Jahr 2015 waren es etwa 208 Mio. Menschen. Wie groß wird die Einwohnerzahl im Jahr 2050 sein, wenn man annimmt, dass weiterhin ein lineares Wachstum vorliegt?

: Eine aktuell 12 cm dicke Schneeschicht schmilzt pro Stunde um 0,8 cm. Wie dick wird die Schneeschicht nach 6,5 Stunden noch sein?

: Eine Kerze brennt pro Stunde 1,2 cm nieder. Zu Beginn ist sie 28 cm hoch. Nach welcher Zeit ist die Kerze nur noch 10 cm hoch, wenn man von einem linearen Zusammenhang ausgeht?

: Bei einem vom Boden wachsenden Tropfstein wurde vor 20 Jahren eine Höhe von 0,61 m gemessen. Heute ist der Tropfstein 0,93 m hoch. Wie hoch wird der Tropfstein in 15 Jahren sein, wenn man von einem linearen Wachstum ausgeht?

: Die beiden Tanks A und B sind am Boden durch einen Schlauch verbunden. Zu Beginn ist Tank A vollständig mit Öl gefüllt und Tank B ist leer. Öffnet man das Ventil, so fließt so lange Öl aus Tank A in Tank B, bis beide Tanks gleich hoch gefüllt sind. Die Füllhöhe der beiden Tanks (in Meter) lässt sich während dieses Vorgangs durch die Funktionen $h_A(t) = 2{,}3 - 0{,}15t$ und $h_B(t) = 0{,}25t$ beschreiben, wobei $t$ die Zeit in Minuten nach dem Öffnen ist.
a) Wie hoch ist der Ölstand zu Beginn in Tank A?
b) Berechne, nach welcher Zeit die Füllhöhe in beiden Tanks ausgeglichen ist.

: Gegeben ist die lineare Funktion $f(x) = 3 + 5x$. Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Der Punkt $(\,2 \mid 11\,)$ liegt unterhalb des Funktionsgraphen von $f$.
    Der Graph der Funktion $g(x) = 0{,}2x + 1$ steht normal auf den Graphen von $f$.
    Der Funktionsgraph von $f$ schneidet die vertikale Achse bei 5.
    Die Nullstelle von $f$ ist bei $x=2$.
    Der Graph von $h(x) = 5x - 1$ ist parallel zu jenem von $f$.

: Stefan wartet darauf, dass der Download seines neuen Computerspiels abgeschlossen ist. Vor 50 Minuten fehlten noch 9,2 GB. Aktuell fehlen noch 6,7 GB. Es wird angenommen, dass die Downloadgeschwindigkeit konstant ist, also ein linearer Zusammenhang zwischen fehlender Datenmenge und Zeit besteht.
a) Wie viel wird in 30 Minuten noch fehlen?
b) Wann wird der Download abgeschlossen sein?

: In Österreich gibt es seit 2016 bei der Einkommensteuer sieben Tarifzonen, von denen die ersten vier folgendermaßen aussehen:
  ▪  0 % für jenen Teil bis 11.000 €
  ▪  25 % für jenen Teil zwischen 11.000 € und 18.000 €
  ▪  35 % für jenen Teil zwischen 18.000 € und 31.000 €
  ▪  42 % für jenen Teil zwischen 31.000 € und 60.000 €
Erstelle eine stückweise lineare Funktion, die jedem Bruttojahreseinkommen zwischen 0 und 60.000 € das zugehörige Nettojahreseinkommen zuordnet.

: Gegeben sind die beiden linearen Funktionen $f(x) = 0,4x - 2$ und $g(x) = 0,3x - 1$. Berechne den spitzen Winkel zwischen den beiden Funktionsgraphen.

: In einer Tropfsteinhöhle befindet sich die Spitze eines Stalaktits (herabhängender Tropfstein) in einer Höhe von 1,61 m und der zugehörige Stalagmit (nach oben wachsender Tropfstein) ist 78 cm hoch. Jedes Jahr wächst der Stalaktit durchschnittlich 2,5 mm und der Stalagmit 4 mm. In wie vielen Jahren werden die beiden Tropfsteine zusammengewachsen sein?

: Gib eine Funktionsgleichung an, welche den abgebildeten Funktionsgraphen beschreibt.

: Zeichne den Funktionsgraphen der folgenden Funktion im Intervall [-4, 4]. Gib außerdem an, ob die Funktion stetig ist bzw. an welchen Stellen sie nicht stetig ist. $$ f(x)=\begin{cases} x+4, & x\in [-4,-2]\\ 1, & x\in (-2,2)\\ 5-x, & x\in [2,4]\\ \end{cases} $$

: Tobias läuft zu Beginn 20 Minuten lang mit 12,5 km/h, anschließend zwölf Minuten lang mit 14 km/h und die letzten 3 Minuten mit einer Geschwindigkeit von 16 km/h.
a) Gib die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ in Form einer Fallunterscheidung an.
b) Gib die zugehörige Wegfunktion $s(t)$ in Form einer Fallunterscheidung an.
c) Welche Distanz ist er insgesamt gelaufen?
d) Was war seine Durchschnittsgeschwindigkeit?

: Beim „Wings for Life World Run“ läuft man solange, bis man vom sogenannten „Catcher Car“ überholt wird. Dieses bewegt sicht gemäß folgender Bestimmungen:
  ▪  Die ersten 30 Minuten bleibt es am Start stehen.
  ▪  Danach fährt es eine Stunde lang mit 15 km/h.
  ▪  Danach fährt es eine Stunde lang mit 16 km/h.
  ▪  Danach fährt es eine Stunde lang mit 17 km/h.
  ▪  Danach fährt es zwei Stunden lang mit 20 km/h.
  ▪  Am Ende fährt so lange mit 35 km/h, bis alle Läufer eingeholt wurden.
a) Gib die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ des Catcher Cars als Fallunterscheidung an!
b) Gib die Wegfunktion $s(t)$ des Catcher Cars als Fallunterscheidung an!
c) Nach welcher Zeit hat das Catcher Car eine Distanz von 21,0975 km erreicht (Halbmarathon)?
d) Welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit entspricht das?

: Die Einkommensfunktion $E(x)$, die jedem Bruttojahreseinkommen $x$ das zugehörige Nettojahreseinkommen zuordnet, lautet für die ersten vier Steuerklassen folgendermaßen: $$ E(x)=\begin{cases} x, & \text{falls } 0\leq x\leq 11000\\ 0{,}75\cdot(x-11000)+11000, & \text{falls } 11000\leq x\leq 18000\\ 0{,}65\cdot(x-18000)+16250, & \text{falls } 18000\leq x\leq 31000\\ 0{,}42\cdot(x-31000)+24700, & \text{falls } 31000\leq x\leq 60000\\ \end{cases}$$ Berechne das Nettojahreseinkommen einer Person, die ein Bruttojahreseinkommen von 47.000 € hat.

: Bestimme jeweils eine lineare Funktion, deren Graph die gewünschten Eigenschaften erfüllt!
a) Nullstelle bei $x=65$ und Steigung $k=-2{,}7$
b) Ordinatenabschnitt bei $7{,}5$ und durch den Punkt $(3{,}2\mid 1{,}8)$
c) durch den Punkt $(-5\mid 3)$ und normal auf den Graphen von $f(x)=0{,}25x-3$
d) parallel zu $g(x)=2x-1$ und Nullstelle bei $x=5$
e) unterhalb von $(4\mid 1)$ und oberhalb von $(-2\mid 5)$
f) normal auf den Graphen von $f(x)=5-2x$ und Schnittpunkt mit $f$ bei $x=3$

: Die Einwohnerzahl der Türkei wuchs in den letzten Jahrzehnten annähernd linear und kann durch die Funktion $E(t)=0{,}96t+64{,}23$ beschrieben werden. Dabei steht $t$ für die Zeit in Jahren beginnend am 1. Jänner 2000 und $E(t)$ für die zugehörige Einwohnerzahl (in Millionen). Die Bevölkerung Deutschlands liegt seit 1995 fast konstant bei 82 Millionen Einwohnern. In welchem Jahr werden laut diesem Modell beide Länder gleich viele Einwohner haben?

: Der Schmelzpunkt von Wasser, also 0 °C, entsprechen 32 °F. Der Siedepunkt von Wasser, also 100 °C, entsprechen 212 °F.
a) Erstelle eine lineare Funktion, mit welcher Grad Celsius in Grad Fahrenheit umgerechnet werden können.
b) Berechne, wie viel Grad Celsius einer Temperatur von 0 °F entsprechen!

: Berechne den kleinsten Abstand zwischen dem Punkt $(\,2\mid 1\,)$ und dem Graphen der linearen Funktion $f(x)=\tfrac{1}{3}\,x+2$.

: Herr Moser möchte sich ein neues Auto kaufen und schwankt dabei zwischen zwei Modellen. Modell A kostet 17.300 € und hat laufende Kosten von 23 c pro Kilometer (dazu zählen u. a. Versicherung, Steuer, Wartung und Treibstoff). Modell B kostet hingegen 21.600 € und hat laufende Kosten von 18 c pro Kilometer. Berechne, ab wie vielen gefahrenen Kilometern Modell B bezüglich der Kosten zu bevorzugen wäre.

Ein derartiger Kostenrechner kann beispielsweise unter https://www.oeamtc.at/ai-webapp/ gefunden werden. Dazu muss nach der Wahl des Modells die Kategorie "Kosten" angeklickt werden.

: Es werden gleichzeitig zwei unterschiedliche Kerzen angezündet. Die dünnere Kerze ist zu Beginn 30 cm hoch und wird nach jeweils 7 Minuten einen Zentimeter niedriger. Die dickere Kerze ist anfangs 15 cm hoch und brennt pro Stunde 12 mm ab.
a) Nach welcher Zeit sind beide Kerzen gleich hoch?
b) Um welche Dauer brennt die dickere Kerze länger als die dünnere Kerze?

: Herr R. möchte Holzpellets kaufen. Er findet im Internet zwei passende Angebote:
  ▪  Bei Angebot A betragen die Lieferkosten 55 € und der Preis pro Kilogramm 65 Cent.
  ▪  Bei Angebot B betragen die Lieferkosten 70 € und der Preis pro Kilogramm 52 Cent.
Berechne, ab welcher Menge (in Kilogramm) Angebot B besser wäre!

: Herr Maier hat derzeit 870 Liter Heizöl in seinem Tank und benötigt pro Tag ungefähr 12 Liter. Frau Kern hat aktuell 1230 Liter Heizöl in ihrem Tank und benötigt pro Tag ca. 21 Liter.
a) In wie vielen Tagen werden beide Personen gleich viel Öl in ihren Tanks haben?
b) Frau Kern möchte neues Heizöl bestellen, wenn sie nur noch 200 Liter im Tank hat. In wie vielen Tagen wird es soweit sein?

: Frau Klein möchte sich ein neues Auto kaufen und schwankt dabei zwischen zwei Modellen. Modell A kostet 17.300 € und hat laufende Kosten von 23 c pro Kilometer (dazu zählen u. a. Versicherung, Steuer, Wartung und Treibstoff). Modell B kostet hingegen 21.600 € und hat laufende Kosten von 18 c pro Kilometer.
a) Stelle die Kostenfunktionen graphisch dar und beschrifte die Achsen!
b) Berechne, ab wie vielen gefahrenen Kilometern Modell B hinsichtlich der Kosten zu bevorzugen wäre.

: Beweise, dass für jede reelle Zahl $s$ und jede lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$ die folgende Eigenschaft erfüllt ist: $$\frac{f(s)+f(-s)}{2}=d$$

: Begründe ob die Varianten $I(R)=\frac{U}{R}$ und $I(U)=\frac{U}{R}$ des Ohmschen Gesetzes eine lineare Funktion darstellen.