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Aufgaben zu komplexen Zahlen

Auf dieser Seite befinden sich Aufgaben zu komplexen Zahlen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123. Die Aufgaben dieser Internetseite werden in jeder Session – also nach jedem Neustart des Webbrowsers oder nach jedem neuen Login – neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich einzelne Zahlenwerte verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf exakt dieselbe Aufgabe zugreifen, so sollte daher ein Screenshot angefertigt werden. Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können außerdem bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden.

#297 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Bekanntlich ist $i^2=-1$. Die folgende Umformung muss daher fehlerhaft sein. $$i^2=i\cdot i=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1$$ Finde und beschreibe den Fehler!

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#944 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Finde eine komplexe Zahl $z$, für welche gilt $|z|=40$ und $\text{Re}(z)=11$.
Ergebnis: [2]

#947 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Finde eine komplexe Zahl $z$, für welche gilt $|z|=54$ und $\text{Im}(z)=22$.
Ergebnis: [2]

#1083 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Für jede komplexe Zahl $z$ gilt $\overline{(\overline{z})}=z$.
Für zwei komplexe Zahlen $z_1$ und $z_2$ gilt immer $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$.
Für jede komplexe Zahl $z$ gilt $z\cdot \overline{z}=|\,z\,|^{\,2}$.
Für jede komplexe Zahl $z$ gilt $|\,\overline{z}\,|=|\,z\,|$.
$i^{\,2}+i^{\,4}=0$
$i^{i}$ ist eine reelle Zahl.

#1423 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Berechne $(1 + 4i)\cdot (8-7i)$ handschriftlich und stelle das Ergebnis in der Form $a+b\cdot i$ dar.
Ergebnis (inkl. Rechenweg):

#1424 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Berechne $\frac{9 + 8i}{4-3i}$ handschriftlich und stelle das Ergebnis in der Form $a+b\cdot i$ dar.
Ergebnis (inkl. Rechenweg):

#1425 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Berechne $(7 + 2i)^2 - (2-9i)^2$ handschriftlich und stelle das Ergebnis in der Form $a+b\cdot i$ dar.
Ergebnis (inkl. Rechenweg):

#1426 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die komplexe Zahl $z=48 + 17i$ gegeben.
a) Berechne den Betrag $|z|$.
Ergebnis: [2]
b) Gib den Realteil $\mathrm{Re}(z)$ und den Imaginärteil $\mathrm{Im}(z)$ an.
Realteil $\mathrm{Re}(z)$: [0]
Imaginärteil $\mathrm{Im}(z)$: [0]
c) Gib die komplex konjugierte Zahl $\bar z$ an.
Ergebnis: [0]

#1427 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Vereinfache die folgenden Potenzen der imaginären Einheit $i$. Das Ergebnis soll keinen Exponent mehr enthalten.
a) $i^{\,44}=$ [0]
b) $i^{\,-27}=$ [0]

#1428 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Zeichne die folgenden komplexen Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene. Rechne dafür zuerst den Winkel $\varphi$ in Grad um und gib das Ergebnis an. Beschrifte die Zahlen.
$z_1=2.3\cdot e^{1.38\cdot i}$, $z_2=4.9\cdot e^{2.11\cdot i}$, $z_3=4.5\cdot e^{-2.98\cdot i}$
Ergebnis für $z_1$ (inkl. Umrechnungen):
Ergebnis für $z_2$ (inkl. Umrechnungen):
Ergebnis für $z_3$ (inkl. Umrechnungen):

#1429 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Rechne die komplexe Zahl $-8+3i$ von der Komponentenform in die Exponentialform und in die trigonometrische Form um.
Berechnung der Polarkoordinaten:
Exponentialform:
trigonometrische Form:

#1430 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Rechne die komplexe Zahl $\,5.7 \cdot e^{-0.34\cdot i}\,$ von der Exponentialform in die Komponentenform $a+bi$ um.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):

#1431 | Lösung anzeigen · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es sind die komplexen Zahlen $z_1 = 5.9 \cdot e^{2\cdot i}$ und $z_2 = 1.5 \cdot e^{-0.72\cdot i}$ gegeben. Führe die folgenden Berechnungen durch und gib die Ergebnisse ebenfalls in Exponentialform an, wobei $\varphi$ im Intervall $(-\pi; \pi]$ liegen soll.
a) $z_1\cdot z_2$
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
b) $\frac{z_1}{z_2}$
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
c) $z_1^{7}$
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):

#1432 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Berechne $i^{i}$ und gib einen vollständigen Lösungsweg an.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).
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