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Aufgaben zur Kombinatorik


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Kombinatorik. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Aufgabensammlung

: Für eine natürliche Zahl $n$ ist die Fakultät $n!$ definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis $n$. Beispielsweise ist $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Was ist die letzte Ziffer von $n!$ für $n\geq 5$, und warum ist das für jede natürliche Zahl ab $n=5$ so?

: Im Fußball werden beim Elfmeterschießen von den elf Spielern, die beim Abpfiff der Verlängerung am Platz standen, zunächst fünf Spieler ausgewählt, die einen Elfmeter schießen. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt?

: Aus den sechs Farben rot, gelb, grün, blau, weiß und schwarz sollen Flaggen mit drei horizontalen Streifen erstellt werden (also so wie jene von Österreich oder Deutschland). Zwei benachbarte Streifen sollen nicht dieselbe Farbe haben. Wie viele Flaggen können erstellt werden?

: Eine bestimmte Schulklasse hat pro Woche 30 Schulstunden, die so aufgeteilt werden, dass an jedem der fünf Tage sechs Schulstunden sind (also das Format des Stundenplanes ist bereits vorgegeben). Außerdem gibt es in diesem vereinfachten Modell keine Vorschriften bezüglich Doppelstunden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 30 Schulstunden aufzuteilen? Gib das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung an!

: Eine bestimmte Schulklasse hat zwölf verschiedene Unterrichtsgegenstände. Pro Unterrichtsgegenstand gibt es vier verschiedene Lehrer, die dieses Fach unterrichten könnten. Wie viele verschiedene Lehrerkonstellationen sind für diese Klasse möglich? Gib das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung an!

: In der italienischen Serie A spielen 20 Fußballvereine. Jeder dieser Vereine spielt pro Saison zweimal gegen jeden anderen Verein (ein Heimspiel und ein Auswärtsspiel).
a) Wie viele Spiele absolviert ein Verein innerhalb einer Saison?
b) Wie viele Spiele finden in der Serie A insgesamt pro Saison statt?

: Bei einer Webseite können Passwörter mit einer Länge zwischen 6 und 16 Zeichen gewählt werden. Es stehen dafür die 26 Groß- und Kleinbuchstaben des Alphabets sowie die 10 Ziffern zur Verfügung.
a) Wie viele verschiedene Passwörter mit einer Länge von 12 Zeichen können gebildet werden? Gib das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung an.
b) Wie lange würde ein Computer, der pro Sekunde 250.000 Passwörter prüfen kann, benötigen, um alle möglichen Passwörter mit dieser Länge zu versuchen.

: Im Vergleich zum österreichischen Lottosystem „6 aus 45“ spielt man beim schwedischen Lotto das System „7 aus 35“. Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen schwedischen Lottoschein gültig auszufüllen?

: Tobias feiert mit seiner Familie und seinen Großeltern Silvester. Insgesamt sind sieben Personen anwesend. Wie oft klingen die Gläser, wenn jeder mit jedem einmal anstößt?

: Aus unseren zehn Ziffern sollen fünfstellige Zahlen gebildet werden (d. h. die erste Stelle darf nicht 0 sein). Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es unter Berücksichtigung der nachfolgenden Bedingungen jeweils?
a) keine zusätzlichen Bedingungen
b) Jede Ziffer darf höchstens einmal vorkommen.
c) Es dürfen keine zwei gleichen Ziffern aufeinanderfolgen.
d) Die letzten beiden Ziffern sind vorgegeben.
e) Die zweite und die dritte Ziffer sollen ungerade sein, wobei die dritte Ziffer nicht 7 sein darf.

: Ein Bit kann die Werte 0 und 1 annehmen. Ein Byte fasst acht aufeinanderfolgende Bits zusammen. Wie viele verschiedene Bytes gibt es?

: Lena fährt mit ihren Eltern und ihrem älteren Bruder Daniel in den Urlaub. Ihre Eltern haben beide den Führerschein. Auch ihr Bruder hat diesen seit vier Monaten. Lena selbst darf den Wagen hingegen noch nicht steuern. Wie viele Möglichkeiten hat die Familie, sich während der Fahrt auf den vier Plätzen ihres Autos zu verteilen.

: Valentin steht vor dem Kleiderschrank und überlegt, was er heute anziehen soll. Es kommen dafür zwölf T-Shirts, fünf Hosen und drei Paar Socken mit unterschiedlichen Farben in Frage. Entscheidet er sich für seine rote Hose, so möchte er keinesfalls eines der beiden roten T-Shirts anziehen. Zusätzlich stehen zwei Paar Schuhe zur Auswahl. Wie viele Möglichkeiten hat Valentin, sich zu kleiden?

: Vor der Nationalratswahl treten im Fernsehen die Parteichefs der fünf im Nationalrat vertretenen Parteien in Zweierduellen gegeneinander an. Wie viele Duelle gibt es insgesamt?

: Eine sogenannte Blockwette ist eine Zusammenstellung aller möglichen Kombiwetten auf insgesamt zehn Einzelereignisse. Das bedeutet, es wird auf alle möglichen 2er-Kombiwetten, alle möglichen 3er-Kombiwetten usw. jeweils derselbe Einsatz geleistet. Aus wie vielen einzelnen Kombiwetten besteht eine solche Blockwette?

: Ein vierstelliger Code, bestehend aus den zehn Ziffern des Dezimalsystems, soll geknackt werden. Es ist bekannt, dass die erste Stelle nicht 0 ist und dass jede Ziffer höchstens einmal vorkommt. Wie viele Ziffernkombinationen muss man im schlimmsten Fall ausprobieren?

: Der Kurz-URL-Dienst Bitly ermöglicht es, für lange Webadressen eine kompakte Weiterleitung im Format https://bit.ly/x zu erzeugen. Dabei steht x für einen siebenstelligen Code bestehend aus den Zeichen a-z, A-Z und 0-9. Wie viele mögliche Weiterleitungen können auf diese Weise erzeugt werden?

: Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es, wenn drei sechsseitige Würfel gleichzeitig geworfen werden und die Anordnung der Würfel keine Rolle spielt?

: Wie viele unterschiedliche Zeichenketten können durch Verdrehen der Buchstaben des Wortes MATHEMATIK gebildet werden?

: In Wien bestehen Autokennzeichen aus einer fünfstelligen Zahl (ohne führende Null) und einem Buchstaben. In einem anderen Bezirk bestehen sie aus zwei Buchstaben und einer dreistelligen Zahl (ohne führende Null). Wie viele verschiedene Kennzeichen sind bei diesen Formaten jeweils möglich?

: An einem 100-Meter-Lauf nehmen 8 Läufer teil. Aufgrund der Zielfotoanalyse gibt es kein Unentschieden.
a) Berechne, wie viele mögliche Ergebnisse es gibt, wenn alle Läufer das Ziel erreichen.
b) Berechne, wie viele mögliche Ergebnisse es gibt, wenn eine beliebige Anzahl an Läufern ausscheiden/aufgeben/disqualifiziert werden könnte und diese keine Platzierung erhalten.

: In einem Topf befinden sich drei rote und sieben blaue Kugeln. Eine Person zieht gleichzeitig und zufällig fünf Kugeln. Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es?

: Wie viele Möglichkeiten gibt es, um 12 Personen in zwei gleich große Gruppen zu teilen?

: In einem bestimmten Büro begrüßen sich die Mitarbeiter jeden Morgen durch Händeschütteln. Wie oft werden die Hände geschüttelt, wenn 7 Personen anwesend sind?

: Gegeben ist das Wort „ANANAS“.
a) Wie viele verschiedene Zeichenketten können durch Vertauschen der Buchstaben dieses Wortes erzeugt werden, wenn der erste Buchstabe A sein soll?
b) Wie viele verschiedene sechsstellige Zeichenketten können gebildet werden, wenn die Buchstaben A, N, S beliebig oft vorkommen dürfen?
c) Wie viele verschiedene sechsstellige Zeichenketten können gebildet werden, wenn die Buchstaben A, N, S beliebig oft vorkommen dürfen, jedoch keine gleichen Buchstaben aufeinanderfolgen dürfen?

: Wie viele Mögllichkeiten gibt es, eine Gruppe von 15 Personen in drei 5er-Gruppen zu teilen?

: Eine Schulklasse hat insgesamt 15 Unterrichtsgegenstände. Wie viele verschiedene Zeugnisse sind hinsichtlich der Notenverteilung möglich, wenn in jedem Gegenstand die Noten 1 bis 5 vergeben werden?

: Ein bestimmter Sicherheitscode besteht aus 8 Großbuchstaben (26 mögliche Zeichen) gefolgt von 5 Ziffern (10 mögliche Zeichen). Alle Zeichen dürfen jeweils nur einmal vorkommen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diesen Code zu bilden? Gib das Ergebnis als normierte Gleitkommazahl an!

: Untersuche nachvollziehbar die Richtigkeit der folgenden Aussage: „Beim italienischen Lotto 6 aus 90 gibt es genau doppelt so viele Möglichkeiten wie beim österreichischen Lotto 6 aus 45.“