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Aufgaben zur Integralrechnung


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Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Mathematischer Hintergrund

Im Zentrum der Integralrechnung stehen zwei Aspekte: Einerseits werden Stammfunktionen bzw. unbestimmte Integrale berechnet, was dem Umkehren des Differenzierens entspricht. Anderseits kann durch die Berechnung von bestimmten Integralen der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse in einem bestimmten Intervall bestimmt werden. Dies lässt sich durch den sogenannten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung begründen.

Anwendungsgebiete

Die Integralrechnung wird verwendet, um aus Ableitungsfunktionen die ursprüngliche Funktion zu erhalten. Beispielsweise ist die Wegfunktion eine Stammfunktion der Geschwindigkeitsfunktion. Darüber hinaus können neben der einfachen Flächenberechnung auch komplexere geometrische Fragestellungen untersucht werden wie beispielsweise die Bogenlänge eines Funktionsgraphen oder die Mantelfläche und das Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers. Auch bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielt die Integralrechnung eine wesentliche Rolle (siehe Normalverteilung).

Aufgabensammlung

: In folgender Abbildung ist der blaue Funktionsgraph die obere Hälfte des Einheitskreises. Der rote Graph ist jener der Funktion g(x) = –x4 + 1.

Begründe rechnerisch, welcher Funktionsgraph zusammen mit der x-Achse den größeren Flächeninhalt besitzt.

: Berechne den Flächeninhalt, der von den Graphen der Funktionen $f(x) = x^3$ und $g(x) = 3^x$ eingeschlossen wird.

: Es sollen die Sinusfunktion und die quadratische Funktion verglichen werden.
a) Erstelle dazu die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion, die genauso wie die Sinusfunktion an den Stellen 0 und \(\pi\) eine Nullstelle besitzt und an der Stelle \(\tfrac{\pi}{2}\) den Wert 1 aufweist.
b) Berechne den Flächeninhalt zwischen den beiden Funktionsgraphen im Intervall \([0, \pi ]\).

: Bestimme die Funktionsgleichung jener nach unten geöffneten Parabel, welche den Scheitelpunkt $(3\mid 5) $ besitzt und deren Funktionsgraph mit der $x$-Achse zwischen den beiden Nullstellen eine Fläche von 10 FE einschließt.

: Gegeben ist die Funktion $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=\tfrac{1}{x}$.
a) Berechne das Volumen des Roationskörpers, der entsteht, wenn der Funktionsgraph um die x-Achse rotiert.
b) Berechne die Oberfläche des Roationskörpers, der entsteht, wenn der Funktionsgraph um die x-Achse rotiert.
c) Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, was daran bemerkenswert ist.

: Das in Europa, Australien und großen Teilen Asiens verwendete Stromnetz hat eine Frequenz von 50 Hz und eine Scheitelspannung von 325 V. Der zeitliche Spannungsverlauf kann somit durch die Funktion $U(t)=325\cdot \sin(2\pi t\cdot 50)$ beschrieben werden. Die Effektivspannung $\hat U$ ist jene Gleichspannung, die am selben Widerstand pro Periode die gleiche elektrische Energie liefert, wie die betrachtete Wechselspannung. Diese Energie ist proportional zur elektrischen Leistung und somit wiederum proportional zu $U^2$. Berechne die Effektivspannung der gegebenen Wechselspannung.

: Ein Stein wird zum Zeitpunkt $t=0\,$s von einem 30 Meter hohen Turm mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5 m/s nach unten geworfen. Durch die Gravitation wird der Stein mit der konstanten Beschleunigung $a(t)=-9{,}81\,$m/s² (nach unten orientiert) beschleunigt.
a) Bestimme die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$.
b) Bestimme die Höhenfuntion $h(t)$, die angibt, wie weit der Stein über dem Boden ist.
c) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit ist der Stein am Boden angekommen?

: Eine U-Bahn leitet zum Zeitpunkt t = 0 s bei einer Geschwindigkeit von 55 km/h den Bremsvorgang ein und verzögert dabei konstant mit -1,2 m/s².
a) Ermittle die Geschwindigkeitsfunktion v(t) vom Beginn des Bremsvorgangs bis zum Stillstand.
b) Ermittle die Wegfunktion s(t) vom Beginn des Bremsvorgangs bis zum Stillstand.
c) Nach welcher Zeit steht die U-Bahn und welchen Weg hat sie dabei zurückgelegt?

: Gegeben ist die folgende Funktion: $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$ Berechne die Obersumme der Funktion $f$ im Intervall $[0,2]$ ohne Computer. Zerlege das Intervall dazu in vier gleiche Teile.

: Die Form einer 30 cm hohen Vase kann näherungsweise beschrieben werden, indem man den Graphen der Funktion $f(x)=5\cdot\sqrt[6]{x}$ im Intervall $[0,30]$ um die $x$-Achse rotieren lässt.
a) Welches Volumen besitzt die Vase?
b) Welchen Durchmesser hat die Vase bei ihrer Öffnung?

: Bei der Analyse eines Speerwurfs stellte sich heraus, dass die Flugbahn des Speers durch die quadratische Funktion $f(x)=-0{,}01x^2+0{,}6x+2$ beschrieben werden kann, wobei sich die Abwurfstelle bei $x=0$ befindet, $x$ die horizontale Entfernung von der Abwurfstelle ist und $f(x)$ die zugehörige Höhe des Speers angibt (jeweils in Meter).
a) Berechne, in welcher Entfernung von der Abwurfstelle der Speer gelandet ist.
b) Berechne die Länge der Flugbahn des Speers (Bogenlänge der Kurve zwischen Abwurf und Landung).

: Die Ableitung einer Preis-Absatz-Funktion lautet $p'(x)=-0{,}1x-2{,}7$. Der Höchstpreis dieses Produkts beträgt 420 GE.
a) Bestimme die Preis-Absatz-Funktion $p(x)$.
b) Berechne die Sättigungsmenge.

: Gegeben ist die Polynomfunktion $f(x)=-x^4+12x^3-51x^2+90x-52$. Beachte das Vorzeichen am Beginn!
a) Berechne den Flächeninhalt, den der Funktionsgraph mit der $x$-Achse zwischen den beiden Nullstellen einschließt.
b) Berechne, an welcher Stelle sich eine vertikale Gerade befinden muss, damit die Fläche von Aufgabe a) im Verhältnis 2:1 geteilt wird (d. h. der linke Teil soll doppelt so groß wie der rechte Teil sein).

: Unten ist der Graph der Funktion $f$ im Intervall $[0,3]$ abgebildet. Skizziere den Graphen einer möglichen Stammfunktion von $f$.

: Der Radius einer 30 cm hohen Vase wird im Intervall $[0,30]$ durch die Funktion $r(x)=0{,}0025x^3-0{,}13x^2+1{,}7x+5{,}3$ beschrieben. Dabei gibt $x$ den Abstand vom Boden der Vase an.
a) Berechne das Volumen der Vase.
b) Berechne den Durchmesser an der dicksten und an der dünnsten Stelle der Vase.
c) Berechne die Standfläche der Vase.
d) Damit die Vase nicht kippt, sollte sie mit mindestens 70 % ihres maximalen Volumens gefüllt sein. Wie hoch muss dazu der Wasserstand sein?

: Berechne die Fläche zwischen den Funktionsgraphen von $f(x)=\cos(x)$ und $g(x)=x^2-\tfrac{3}{2}$.

: Ein Donut kann mathematisch beschrieben werden, indem man eine Kreisfläche um die x-Achse rotieren lässt. Man bezeichnet diese Figur als Torus. Die obere Hälfte der Kreisfläche wird durch die Funktion $f(x)=\sqrt{4-x^2}+5$ beschrieben und die untere Hälfte wird durch die Funktion $g(x)=-\sqrt{4-x^2}+5$. Die Maße sind dabei in Zentimeter gegeben. Berechne das Volumen des entstehenden Torus.

: Gegeben ist die Funktion $f(x)=-x^4+3x^2+2$.
a) Berechne die beiden Nullstellen.
b) Berechne den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse im durch die beiden Nullstellen begrenzten Intervall.
c) Berechne die beiden Hochpunkte.
d) Wie viel Prozent der Fläche aus Aufgabe b) liegen im durch die x-Werte der beiden Hochpunkte begrenzten Intervall zwischen Funktionsgraph und x-Achse?
e) Bestimme die Variable $a$ so, dass die Fläche im Intervall $[-a,a]$ genau 5 beträgt.

: Leite mittels Integralrechnung eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Drehkegels mit Höhe $h$ und Radius $r$ her.

: Leite mittels Integralrechnung eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Drehkegelstumpfes mit Höhe $h$ und den Radien $r_1$ und $r_2$ her.

: Gegeben ist die Funktion $f:[0,\infty)\to\mathbb{R},~~f(x)=0{,}5^x$.
a) Berechne das Volumen des Roationskörpers, der entsteht, wenn der Funktionsgraph um die $x$-Achse rotiert.
b) Berechne die Oberfläche des Roationskörpers, der entsteht, wenn der Funktionsgraph um die $x$-Achse rotiert.

: Es soll das Volumen und die Mantelfläche jenes Paraboloids berechnet werden, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ im Intervall $[0,1]$ um die $x$-Achse rotieren lässt.

: An einer Hauswand befindet sich ein Blumenbeet, dessen Grundfläche näherungsweise durch den Graph folgender Polynomfunktion im Intervall zwischen den beiden Nullstellen beschrieben werden kann: $$f(x)=-0{,}0018x^4+0{,}0495x^3-0{,}443x^2+1{,}28x+1{,}1$$ Die Hauswand verläuft entlang der $x$-Achse und alle Abmessungen sind in Meter gegeben.
a) Berechne den Flächeninhalt des Blumenbeets.
b) Berechne, wie viele Blumen ungefähr gekauft werden sollten, wenn jede Blume ca. 300 cm² Platz haben soll.

: Gegeben sind die Funktionen $f(x)=\tfrac{1}{x^2+1}$ und $g(x)=e^{-x^2}$.
a) Skizziere die Funktionsgraphen beider Funktionen und beschreibe deren Unterschiede.
b) Berechne für beide Funktionen jeweils den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse im Intervall $(-\infty,\infty)$.
c) Berechne die Volumen der beiden Rotationskörper, welche entstehen, wenn die Flächen aus Aufgabe b) um die $x$-Achse rotieren.
d) Berechne die Volumen der beiden Rotationskörper, welche entstehen, wenn die Flächen aus Aufgabe b) um die $y$-Achse rotieren.
e) Was ist bemerkenswert an den Ergebnissen? Versuche eine Begründung dafür zu finden.

: Die Funktion $f(x)=\frac{1}{x^2}$ ist überall positiv. Somit kann die folgende Rechnung, welche zu einem negativen Integral führt, keinesfalls richtig sein. Beschreibe den Fehler und korrigiere ihn! $$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx=\left(-\frac{1}{x}\right)\Bigg|_{-1}^{1}=-\frac{1}{1}-\left( -\frac{1}{(-1)} \right)=-2$$

: Marco möchte am Laufband 10 km laufen. Er startet mit einer Geschwindigkeit von 12,5 km/h und erhöht diese pro Minute um 0,1 km/h. Zur einfacheren Rechnung soll angenommen werden, dass die Geschwindigkeitsfunktion stetig ist und sich nicht sprunghaft ändert.
a) Beschreibe die Geschwindigkeit durch eine lineare Funktion.
b) Berechne, wie viele Minuten er für 10 km benötigt?

: Es ist die Funktion $f(x)=x^3-x^2-0{,}5x+2$ gegeben.
a) Berechne die Nullstelle dieser Funktion.
b) Berechne, welche Obergrenze nötig ist, damit der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse 15 Flächeneinheiten beträgt. Die untere Integralgrenze ist die zuvor berechnete Nullstelle.

: Eine Tomatenpflanze hat 30 Tage nach der Aussaat eine Höhe von 18 cm erreicht. Ab diesem Zeitpunkt kann der Höhenzuwachs durch die Funktion $h'(t)=2{,}62\cdot 0{,}985^t$ beschrieben werden, wobei $t$ die Zeit in Tagen nach dem 30. Tag und $h'(t)$ der Zuwachs in cm/Tag sind.
a) Was beschreibt das folgende Integral? $$\int_{5}^{10} h'(t)\,dt$$
b) Wie hoch ist die Pflanze 50 Tage nach der Aussaat?

: Ein Holztor wird gemäß der untenstehenden Skizze gefertigt. Die Rundung entspricht dabei einer quadratischen Funktion. Alle Angaben sind in Meter.

a) Bestimme die Funktionsgleichung jener quadratischen Funktion, welche durch die Punkte C, D, E verläuft.
b) Berechne die Querschnittsfläche des Holztors.
c) Berechne die Masse des Holztors, wenn dessen Dicke 6 cm beträgt und die Dichte des verwendeten Lärchenholzes 0,55 g/cm³ ist.

: Die Grenzkostenfunktion für ein bestimmtes Produkt lautet $K'(x)=6x^2-20x+25$. Bei einer Produktionsmenge von 6 ME betragen die Kosten 596 GE. Bestimme die Kostenfunktion $K(x)$.

: Die Breite der Sporthalle „The Wave“ in Singapur (siehe Foto, Bildquelle: https://www.structure-magazin.de/artikel/the-wave-sporthalle-in-singapur-32322/) beträgt 72 m. Das Dach entspricht einer quadratischen Parabel. Es ist an den Seiten ca. 17 m hoch und in der Mitte ungefähr 27 m hoch. Die Länge der Halle beträgt 42 m.

a) Erstelle eine quadratische Funktion, durch welche der Verlauf des Daches beschrieben werden kann.
b) Berechne das Volumen der Halle.

: Der Boden eines Wassertrogs (ein Trinkwasserbehälter für Tiere) entspricht näherungsweise dem Graphen der Funktion $f(x)=50x^4-0{,}2x^2$. Die Breite des Trogs beträgt 60 cm und die Länge ist 2 m.
a) Berechne, wie viel Wasser in den Trog passt, wenn dieser randvoll gefüllt wird.
b) Berechne, wie viel Wasser in den Trog passt, wenn dieser bis 10 cm unter dem Rand gefüllt wird.

: Die Dosisleistung im Inneren eines Atomkraftwerks an einem bestimmten Tag wurde laut Messungen durch folgende Funktion beschrieben: $$f(t)=8{,}2\cdot 10^{-4}\cdot x^3 - 3{,}05\cdot 10^{-2}\cdot x^2+0{,}32\cdot x+1{,}12 $$ Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden, wobei $t=0$ für 0 Uhr und $t=24$ für 24 Uhr steht. Der Funktionswert $f(t)$ gibt die momentane Dosisleistung in Mikrosievert pro Stunde (µSv/h) an.
a) Ein Arbeiter befand sich von 4 Uhr bis 12 Uhr im Kernkraftwerk. Berechne, welche Dosis er über diesen Zeitraum aufgenommen hat.
b) Zu welcher Uhrzeit war die Dosisleistung an diesem Tag am größten?
c) Laut Sicherheitsbestimmungen, darf eine Person pro Tag nur 20 µSv aufnehmen. Jemand begann um 8:00 Uhr im Atomkraftwerk zu arbeiten. Um welche Uhrzeit (Stunde und Minute) musste er die Arbeit beenden?

: Der Querschnitt eines Erdwalls, welcher als Lärmschutz entlang einer Bahnstrecke dient, kann durch den positiven Teil des Funktionsgraphen von $f(x)=2{,}5-\frac{x^4}{10}$ beschrieben werden (siehe Abbildung). Dabei werden $x$ und $f(x)$ jeweils in Metern gemessen.

a) Bestimme die Höhe des Erdwalls und die Basisbreite (die Breite am Boden) des Erdwalls!
b) Bestimme die Querschnittsfläche des Erdwalls in der Einheit m².
c) Wie viele Tonnen Bodenmaterial mit der Dichte $\rho=1350~\text{kg}/\text{m}^3$ werden benötigt, wenn der Erdwall eine Länge von 1,2 km haben soll.

: Nachfolgend sind die Querschnitte von drei Gläsern abgebildet. Es ist dabei jeweils die Funktionsgleichung angegeben, aus welcher die Mantelfläche durch Rotation um die $y$-Achse entsteht. Der Boden des Glases befindet sich jeweils bei $y=0$.

Berechne das Volumen der drei Gläser.

: Es sollen wie in Aufgabe 864 zwei Gläser mit Höhe 10 cm erzeugt werden, indem ein Funktionsgraph um die $y$-Achse rotiert. Ist es möglich, dass Glas A ein größeres Volumen hat als Glas B, obwohl die Querschnittsfläche von Glas A kleiner als jene von Glas B ist? Falls ja, finde ein passendes Beispiel. Falls nein, begründe deine Entscheidung.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann gilt $f'(x) = F(x)$.
    Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann gilt $f(x)=F'(x)$.
    Stimmen zwei Funktionen bis auf eine additive Konstante überein, so ist ihr unbestimmtes Integral gleich.
    Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann ist auch $F + 3$ eine Stammfunktion von $f$.
    Wenn $F_1$ und $F_2$ Stammfunktionen von $f$ sind, dann ist immer auch $F_1 + F_2$ eine Stammfunktion von $f$.
    Jede integrierbare Funktion besitzt unendlich viele Stammfunktionen.
    Wenn $F_1(x) = x^2 + 2x - 5$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann ist auch $F_2(x) = (x + 1)^2$ eine Stammfunktion von $f$.
    Jede stetige Funktion ist integrierbar.
    Jede integrierbare Funktion ist stetig.

: Eine Pistole wird senkrecht nach oben abgefeuert. Die Mündungsgeschwindigkeit beträgt 240 m/s. Die Gravitationsbeschleunigung beträgt -9,81 m/s². Für die gesamte Aufgabe soll der Luftwiderstand ignoriert werden. Es soll stets mit den Einheiten Meter und Sekunden gerechnet werden.
a) Erstelle eine Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ und eine Höhenfunktion $h(t)$.
b) Berechne den höchsten Punkt der Pistolenkugel.
c) Nach welcher Zeit landet die Kugel wieder am Erdboden?