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Aufgaben zur Funktionsanalyse


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Funktionsanalyse. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Aufgabensammlung

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Es gibt eine Funktion, die gerade und ungerade zugleich ist.
    Jede Funktion ist entweder gerade oder ungerade.
    Eine Polynomfunktion mit ausschließlich geraden Exponenten ist immer gerade.
    Eine Polynomfunktion mit ausschließlich ungerade Exponenten ist immer ungerade.
    Der Funktionsgraph jeder ungeraden Funktion verläuft durch den Koordinatenursprung.
    Multipliziert man eine gerade Funktion mit einer geraden Funktion, so ist das Ergebnis ebenfalls eine gerade Funktion.
    Multipliziert man eine ungerade Funktion mit einer ungeraden Funktion, so ist das Ergebnis ebenfalls eine ungerade Funktion.
    Multipliziert man eine ungerade Funktion mit einer ungeraden Funktion, so ist das Ergebnis eine gerade Funktion.
    Multipliziert man eine ungerade Funktion mit einer geraden Funktion, so ist das Ergebnis immer eine ungerade Funktion.

: Wie viele Schnittpunkte haben die Funktionen $f(x) = x^2$ und $g(x) = 2^x$?

: Die Koordinaten (xS|yS) des Scheitelpunktes der quadratischen Funktion f(x) = ax2 + bx + c können durch die Formeln xS=-b/2a und yS=(4ac-b²)/4a berechnet werden.
a) Leite die Formel für xS mithilfe der Differentialrechnung her.
b) Leite mit dem Ergebnis von Teilaufgabe a) die Formel für yS her.

: Gegeben ist die Funktion $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^x$.
a) Berechne den Tiefpunkt dieser Funktion und gib dessen Koordinaten an!
b) Begründe, warum der Funktionsterm für negative Werte nicht definiert ist.
c) Mit Hilfe der Ableitungsregel für Potenzfunktionen erhält man $f'(x)=x\cdot x^{x-1}$. Erkläre, warum diese Vorgehensweise falsch ist.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Eine gebrochenrationale Funktion kann höchstens zwei Asymptoten haben.
    Jede gebrochenrationale Funktion hat mindestens eine senkrechte Asymptote.
    Eine Asymptote kann den Funktionsgraphen auch schneiden.

: Finde die Koordinaten des Tiefpunkts der Funktion $f(x) = x^x$.

: Gegeben ist die Polynomfunktion f(x) = 0,5x³ + 3x² - 7x + 2.
a) Berechne die Nullstellen dieser Funktion.
b) Ermittle alle Hoch- und Tiefpunkte und gib deren Koordinaten an.
c) Berechne die Koordinaten des Wendepunkts.

: Gib die Funktionsgleichung einer beliebigen Polynomfunktion an, welche $x = 3$ eine Nullstelle besitzt und den Hochpunkt (5|2) hat.

: Die Analyse einer bestimmten Produktion lieferte folgende Ergebnisse:
  ▪  Die Gewinnfunktion besitzt den Hochpunkt $(630\,\text{ME}\mid 23\,500\,\text{GE})$.
  ▪  Die Fixkosten betragen $7800$ GE. Das bedeutet, dass die Gewinnfunktion den Ordinatenabschnitt $-7800$ GE besitzt.
a) Bestimme eine Gewinnfunktion $G$, welche die beiden oben genannten Eigenschaften erfüllt!
b) Bestimme anhand dieser Gewinnfunktion die Gewinnzone des Produktes! Das ist jener Bereich der $x$-Achse, für welchen der Gewinn positiv ist.

: Nachfolgend ist der Graph der Funktion $f(x)=1+2x^2-\frac{1}{2}\,x^4$ abgebildet.

Kreuze jeweils an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Die Funktion $f(x)=3^x$ ist durchgehend linksgekrümmt.
    Die Funktion $f(x)=x^4$ hat an der Stelle 0 einen Wendepunkt.
    Die Funktion $f(x)=2^x\cdot x^2$ besitzt genau zwei Wendepunkte.
    Die Funktion $f(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}$ ist im Intervall $[2,5]$ streng monoton fallend.
    Die Funktion $f(x)=x^3-6x^2+12x-3$ besitzt einen Sattelpunkt.
    Die Funktion $f(x)=-\frac{5}{16}x^3+\frac{15}{4}x$ besitzt den Hochpunkt $(\, 5 \mid 2 \,)$.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Wenn $f'(x) = 0$ ist und $f''(x) > 0$ ist, dann hat $f$ an der Stelle $x$ immer einen Tiefpunkt.
    Wenn $f''(x) = 0$ ist, dann hat $f$ an der Stelle $x$ immer einen Wendepunkt.
    Ist $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$, dann hat die Funktion an dieser Stelle keinesfalls einen Hochpunkt.
    Jeder Sattelpunkt ist ein Wendepunkt.
    Beim globalen Maximum einer Funktion $f$ gilt immer $f'(x)=0$.
    Es gibt Funktionen, die monoton wachsend und monoton fallend zugleich sind.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Eine kubische Funktion hat niemals genau zwei reelle Nullstellen.
    Polynomfunktionen mit ungeradem Grad besitzen immer eine reelle Nullstelle.
    Jede Polynomfunktion besitzt eine reelle Nullstelle.