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Aufgaben zu Folgen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu Folgen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Aufgabensammlung

: Bestimme den Grenzwert der Folge, deren Glieder durch folgenden Term definiert sind: $$a_n=\frac{6n^2+3n-2}{2n^2-5}$$

: Leite eine Formel zur Berechnung der $n$-ten Dreieckszahl her. Diese entspricht der Summe $1 + 2 + 3 + ... + n$.

: Nachfolgende Abbildung zeigt die ersten drei Glieder einer Folge.

Gib einen Term an, mit dem man die Anzahl der schwarzen Punkte für beliebige Folgenglieder berechnen kann.

: Das Collatz-Problem (benannt nach dem deutschen Mathematiker Lothar Collatz) ist eine bisher nicht bewiesene Vermutung, die besagt, dass für eine beliebige natürliche Zahl $n \geq 1$ die nachfolgend definierte Folge immer mit dem Zyklus $4, 2, 1, 4, 2, 1, ...$ endet:
  ▪ Falls das aktuelle Folgenglied gerade ist, dividiere es durch 2.
  ▪  Falls das aktuelle Folgenglied ungerade ist, multipliziere es mit 3 und addiere 1.
Bestätige diese Vermutung für eine beliebige Zahl $n$ mit $20\leq n \leq 30$.

: Ein Unternehmen produziert im ersten Jahr 120 Tonnen eines bestimmten chemischen Stoffes.
a) Pro Jahr wird die Produktionsmenge um 15 Tonnen erhöht.
b) Pro Jahr wird die Produktionsmenge um 10 % erhöht.
Gib jeweils einen Term an, mit dem man die Produktionsmenge im n-ten Jahr berechnen kann.

: Die ersten fünf Glieder der Folge $a_n= n^2 - n + 41$ lauten 41, 43, 47, 53 und 61. Diese fünf Zahlen sind Primzahlen. Gib an, ob es sich bei den Gliedern dieser Folge ausschließlich um Primzahlen handelt und begründe deine Entscheidung.

: Nachfolgende Abbildung zeigt die ersten drei Glieder einer Folge.

Gib einen Term an, mit dem man die Anzahl der schwarzen Punkte für beliebige Folgenglieder berechnen kann.

: Ein Stück Papier mit einer Dicke von 0,1 mm wird immer wieder in der Hälfte gefaltet.
a) Gib einen Term an, der beschreibt, wie hoch der „Papierturm“ nach $n$ Faltungen wäre.
b) Wann wäre der Turm erstmals höher als ein Meter?

: Ein bestimmtes Kapital wird veranlagt. Der jährliche Zinssatz beträgt 2,5 %, wobei das erste Mal genau ein Jahr nach Einzahlung verzinst wird. Nach wie vielen Jahren ist das Kapital erstmals doppelt so groß wie bei der Einzahlung?

: Gegeben ist die Folge $$ \left( \sqrt{2},~~~ \sqrt{2+\sqrt{2}},~~~ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}},~~~ ... \right).$$
a) Finde eine implizite Darstellung dieser Folge.
b) Zeige, dass 2 eine obere Schranke dieser Folge ist.

: In einem Teich werden Seerosen gepflanzt. Zu Beginn nehmen diese eine Fläche von 0,5 m² ein. Jede Woche verdreifacht sich die mit Seerosen bedeckte Fläche. Gib eine explizite Folge an, die beschreibt, welche Fläche nach $n$ Wochen bedeckt ist.

: Jemand verfolgt bei Sportwetten folgende Strategie:
  ▪ Bei der ersten Wette sowie nach jeder gewonnenen Wette wird ein bestimmter Starteinsatz gesetzt.
  ▪ Nach jeder verlorenen Wette wird der zuletzt getätigte Einsatz verdoppelt.
Welchen Einsatz müsste man bei der nächsten Wette setzen, wenn der Starteinsatz 5 € beträgt und acht Wetten in Folge verloren wurden?

: Das sogenannte Newton-Verfahren kann verwendet werden, um die Quadratwurzel von positiven Zahlen zu approximieren. Es handelt sich dabei um eine Folge mit der folgenden rekursiven (impliziten) Definition: $$x_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)$$ Dabei ist \(a\) jene Zahl, von der man die Wurzel bestimmen möchte. Der Startwert \(x_0\) kann prinzipiell beliebig gewählt werden, wobei er aber möglichst nahe am erwarteten Wert liegen sollte. Berechne den fünften Näherungswert \(x_5\) für \(\sqrt{7}\), wobei als Startwert \(x_0=1\) gewählt werden soll. Vergleiche mit dem tatsächlichen Wert.

: Bestimme den Grenzwert dieser Folge: $$\lim\limits_{n\to \infty} \left( \frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+...+\frac{n}{n} \right)$$

: Bei einem Experiment soll eine automatische Messreihe durchgeführt werden. Die verwendete Spannung soll abwechselnd größer und kleiner als 50 V sein und sich diesem Wert immer weiter annähern (z. B. 51 V, 49.5 V, 50.25 V, 49.875 V, ...). Finde einen beliebigen Folgenterm, der diese Anforderungen erfüllt.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Eine nach oben unbeschränkte Folge ist immer streng monoton wachsend.
    Jede streng monoton wachsende Folge ist nach oben unbeschränkt.
    Eine Folge kann zugleich monton wachsend und monoton fallend sein.
    Eine nach oben beschränkte Folge ist niemals streng monoton wachsend.
    Die Folge mit dem erzeugenden Term $5 + (-1)^n$ ist alternierend.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Die Zahl $a$ kann Grenzwert einer Folge sein, obwohl kein einziges Folgenglied tatsächlich den Wert $a$ hat.
    Wenn unendlich viele Glieder einer Folge den Wert $a$ haben, dann ist $a$ jedenfalls der Grenzwert dieser Folge.
    Wenn $a_n$ eine beschränkte Folge ist und die Folge $b_n$ den Grenzwert 5 besitzt, dann ist der Grenzwert der Folge $a_n \cdot b_n$ ebenfalls 5.
    Wenn $a_n$ eine beschränkte Folge ist und die Folge $b_n$ den Grenzwert 0 besitzt, dann ist der Grenzwert der Folge $a_n \cdot b_n$ ebenfalls 0.