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Aufgaben zur Elementargeometrie der Ebene


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Elementargeometrie der Ebene. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Aufgabensammlung

: Lisa möchte bestimmen, wie hoch der Baum in ihrem Garten ist. Sie misst dazu die Länge ihres Schattens (0,9 m) sowie die Länge des Baumschattens (15,3 m). Ihre Körpergröße beträgt 1,62 m. Wie hoch ist der Baum ungefähr?

: Zwei Personen stehen 50 m voneinander entfernt und fixieren die Enden eines 51 m langen Seils. Eine dritte Person soll das Seil in der Mitte so hoch heben, dass es straff gespannt ist. Wie hoch müsste das Seil dazu in der Mitte gehoben werden?

: Nachfolgende Abbildung zeigt den Grundriss eines Zimmers.

Kreuze alle Terme an, die verwendet werden können, um die Wohnfläche zu berechnen.
    $a\cdot f+c\cdot d$
    $a\cdot f+b\cdot c$
    $e\cdot f+c\cdot d$
    $b\cdot c+e\cdot f$
    $a\cdot b-d\cdot e$

: Nachfolgend ist die Skizze eines Bauteils dargestellt, welches aus 2 mm dickem Stahlblech hergestellt werden soll (alle Angaben in Millimeter).

a) Berechne den Flächeninhalt dieses Bauteils.
b) Berechne die Masse des Bauteils. Die Dichte von Stahl beträgt 7,85 g/cm³.

: Der Schulweg von Niklas führt an einem rechteckigen Feld mit den unten abgebildeten Abmessungen vorbei. Niklas entscheidet sich dazu, das Feld diagonal zu durchqueren, anstatt wie sonst immer, am Gehweg zu gehen. Welche Distanz erspart er sich durch diese Abkürzung?

: Welcher Winkel liegt um 14:00 Uhr zwischen Stunden- und Minutenzeiger?

: Das Dach einer 18 m langen und 12 m breiten Halle soll neu gedeckt werden. Es handelt sich dabei um ein sogenanntes Pultdach, das entlang der kürzeren Seite um 1,5 m abfallend ist. Bestimme die Größe der Dachfläche.

: Bei einem Sturm wurde ein Baum in einer Höhe von 7 m abgeknickt. Die Spitze des Baumes berührt den Boden in einer Entfernung von 12 m. Wie hoch war der Baum?

: Ein ursprünglich 30 m hoher Baum ist aufgrund eines Sturms so abgeknickt, dass seine Spitze 9 m vom Stamm entfernt den Boden berührt. In welcher Höhe ist der Baum abgeknickt?

: Das Triple-20-Feld einer Dartscheibe entspricht einem Kreisringsektor mit Außenradius 170 mm und Innenradius 162 mm. Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) entspricht einem Zwanzigstel des Vollwinkels, also 18°. Berechne den Flächeninhalt dieses Feldes.

: Aus einer Kreisscheibe mit einem Radius von 100 mm sollen drei Löcher gestanzt werden, die an den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks angeordnet sind. Der Mittelpunktsabstand zweier Löcher soll dabei jeweils 65 mm betragen.

a) Berechne den Umkreisradius des gleichseitigen Dreicks, also den Radius jenes Kreises auf dessen Umfang die drei Löcher liegen.
b) Beschreibe, wie man die Mittelpunkte der drei Löcher konstruiert, wenn der Mittelpunkt der Kreisscheibe und der Umkreisradius des gleichseitigen Dreiecks bekannt sind.

: Beweise, dass in der unten abgebildeten Figur die rote und die blaue Fläche gleich groß sind!

: Welche Innenwinkelsumme hat diese geometrische Figur?

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Jedes Dreieck kann durch die Angabe von zwei unabhängigen Größen vollständig bestimmt werden.
    Ein rechtwinkliges Dreieck kann durch die Angabe von zwei unabhängigen Größen vollständig bestimmt werden.
    Ein gleichseitiges Dreieck ist durch die Angabe einer einzigen Größe vollständig bestimmt.

: Ein 12×25 cm großes Stück Stahlblech wird an den Ecken abgerundet (siehe Skizze). Der Radius dieser Rundungen beträgt 3 cm.
a) Berechne den Umfang dieser Figur.
b) Berechne den Flächeninhalt dieser Figur.

: Bei einer Leichtathletikanlage haben die Geraden eine Länge von 84,39 m. Der Radius der Innenbahn beträgt 36,5 m. Die gesamte Laufbahn ist 9,76 m breit. Somit ist der Außenradius der Laufbahn 46,26 m. Alle Abmessungen sind unten in einer nicht maßstabgetreuen Skizze abgebildet.
a) Berechne die Länge der Innenbahn!
b) Berechne den Flächeninhalt der gesamten Laufbahn (orange Fläche in der Skizze).

: Eine Person mit Aughöhe 1,65 m steht am Dach eines 14 m hohen Turms. 35 m vor dem Turm befindet sich eine 4 m hohe Mauer. Die Person sieht über die Mauer hinweg gerade noch das näher gelegene Ufer eines Flusses. Wie weit ist dieser Fluss horizontal gemessen vom Turm entfernt.

: Eine Laterne und ein Hydrant stehen gleich weit von einer Mauer entfernt. Berechne anhand der Schattenlängen aus nachfolgender Abbildung (Bildquelle: https://www.facebook.com/raetseldestages/, bearbeitet) die Höhe der Laterne!

: Berechne den Umfang der beiden abgebildeten Figuren nachvollziehbar!

: Ein Monitor soll eine Diagonale von 27'' besitzen. Das Seitenverhältnis soll 16:9 betragen. Wie lang müssen die beiden Seitenlängen des Monitors sein? Hinweis: 1'' entspricht 2,54 cm.

: Für die folgenden beiden Teilaufgaben dürfen nur die Variablen $a,b,c,d$ verwendet werden.

a) Erstelle eine möglichst einfache Formel zur Berechnung des Umfangs der grauen Figur.
b) Erstelle eine möglichst einfache Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der grauen Figur.

: Ein Aufzug eines Krankenhauses ist 3,1 m breit und 4,3 m lang. Überprüfe rechnerisch, ob ein Krankenhausbett mit einer Breite von 1,3 m und einer Länge von 2,5 m darin um 180° gedreht werden kann.

: Eine 5,4 m lange Leiter muss am Boden einen Mindestabstand von 1,5 m von der Mauer haben, damit sie nicht umkippt. In welcher Höhe lehnt die Leiter an der Mauer?

: Ein Dreieck hat im Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|4), B(7|3) und C(1|5). Zeichne diese Punkte, verbinde sie und berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks. Kontrolliere den Umfang anschließend dein Ergebnis durch Abmessen.

: Ein Raum ist 2,5 m hoch. Wie hoch darf ein 65 cm tiefer Kasten höchstens sein, damit man ihn durch frontales Kippen aufstellen kann, ohne an der Decke zu streifen?

: Ein Kreis soll durch gerade Schnitte in möglichst viele Teile zerteilt werden.
a) Wie viele Teile erhält man durch vier Schnitte höchstens?
b) Versuche einen allgemeinen Zusammenhang zu finden, der die Anzahl der Teile in Abhängigkeit von der Schnittanzahl beschreibt.

: Drücke den Radius $r$ des grauen Kreises durch die Seitenlänge $a$ des Quadrates aus!

: Ein ringförmiger Kerzenhalter (siehe Skizze [Bildquelle unbekannt]) mit einem Durchmesser von 0,8 m soll mit vier gleich langen Ketten an der Decke montiert werden, sodass er sich 2,0 m unter dieser befindet.

a) Wie lang muss jede einzelne der vier Ketten sein?
b) Wie viel Material muss insgesamt gekauft werden, wenn zur Sicherheit 20 % mehr gekauft werden.

: Rund um einen See führt ein 7,5 km langer Wanderweg. Welchen Flächeninhalt hat die Wasseroberfläche des Sees höchstens?

: Um welchen Faktor ändert sich der Flächeninhalt eines Quadrates, wenn der Umfang verdreifacht wird?

: Bestimme die Seitenlängen eines Rechtecks, sodass die Differenz zwischen den beiden Seitenlängen dieselbe ist, wie jene zwischen der längeren Seite und der Diagonale. Die Länge der Diagonale beträgt 685 mm.

: Die Summe der Flächeninhalte zweier Quadrate beträgt 229,32 cm². Deren Differenz beträgt 88,2 cm². Welche Seitenlängen haben die beiden Quadrate?

: Berechnet man die Summen von je zwei Seitenlängen eines Dreiecks, so erhält man 30,1 cm, 27,4 cm und 32,9 cm.
a) Bestimme den Umfang des Dreiecks, ohne zuvor die einzelnen Seitenlängen zu berechnen.
b) Berechne die Seitenlängen des Dreiecks!

: Eine Person ist 1,82 m groß. Ihre Augen befinden sich in einer Höhe von 1,68 m. Wie groß muss ein Spiegel sein, damit sich die Person darin vollständig sehen kann. Gib an, in welcher Höhe sich die Ober- und Unterkante befinden müssen.

: Bestimme jeweils die fehlende Seitenlänge der unten abgebildeten rechtwinkligen Dreiecke.

: Gegeben ist ein Quadrat mit Seitenlänge 5 cm. Berechne den Radius eines Kreises, der den doppelten Flächeninhalt des Quadrates hat.

: Gib die drei Seitenlängen eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks an, dessen Umfang 100 cm beträgt. Die Seitenlängen müssen nicht ganzzahlig sein. Dokumentiere deine Vorgehensweise!

: Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen $x = 7$ cm und $y = 20$ cm. Wähle die fehlende Seitenlänge $z$ jeweils so, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
a) Das Dreieck ist nicht konstruierbar.
b) Das Dreieck ist gleichschenklig.
c) Das Dreieck ist rechtwinklig.

: Stelle eine Formel auf, mit welcher der Flächeninhalt und der Umfang der abgebildeten Figur berechnet werden können. Verwende dazu ausschließlich die Variablen a, b und γ.

: Begründe, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist: Ein See, um welchen ein 8,3 km langer Rundweg führt, kann eine Wasseroberfläche von 10 km² haben.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Die Diagonalen einer Raute stehen immer senkrecht aufeinander.
    Die Diagonalen eines Trapezes stehen immer senkrecht aufeinander.
    Die Diagonalen eines Deltoids stehen immer senkrecht aufeinander.
    Die Diagonalen eines Rechtecks stehen immer normal aufeinander.
    Die Diagonalen eines Parallelogramms stehen immer normal aufeinander.
    Die Winkel einer Raute werden von den Diagonalen halbiert.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Möchte man den Flächeninhalt einer ebenen geometrischen Figur verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[2]{3}$ multipliziert werden.
    Möchte man den Flächeninhalt einer ebenen geometrischen Figur verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[3]{2}$ multipliziert werden.
    Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdoppeln, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[3]{2}$ multipliziert werden.
    Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdoppeln, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[2]{3}$ multipliziert werden.
    Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[2]{3}$ multipliziert werden.
    Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[3]{3}$ multipliziert werden.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Die Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks betragen 120°.
    Ein Dreieck mit zwei gleichen Winkeln ist immer gleichschenklig.
    Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß.
    Haben zwei Winkel eines Dreiecks 60°, dann handelt es sich immer um ein gleichseitiges Dreieck.
    Jedes rechtwinklige Dreieck hat zwei spitze Winkel.
    Jedes Dreieck mit zwei spitzen Winkeln ist rechtwinklig.
    Ein Dreieck mit den Winkeln 30° und 60° ist immer rechtwinklig.

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Ein Dreieck mit den Seitenlängen 6 cm, 8 cm und 10 cm ist rechtwinklig.
    Ein Dreieck mit den Seitenlängen 8 cm, 15 cm und 17 cm ist rechtwinklig.
    Ein Dreieck mit den Seitenlängen 5 cm, 10 cm und 15 cm ist rechtwinklig.
    Es gibt kein Dreieck mit den Seitenlängen 17 cm, 23 cm und 49 cm.
    Es gibt ein Dreieck mit den Seitenlängen 52 cm, 49 cm und 105 cm.

: Wien befindet sich 48° nördlich des Äquators. Der Erdradius beträgt 6371 km. Wie schnell müsste ein Auto entlang des entsprechenden Breitenkreises fahren, um dem Sonnenuntergang zu „entkommen“?