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Aufgaben zur Elementargeometrie der Ebene


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Elementargeometrie der Ebene. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

1. Winkel

In der folgenden nicht maßstabsgetreuen Skizze sind die Winkel $\alpha=61^\circ$, $\delta=128^\circ$ und $\varepsilon=56^\circ$ bekannt. Bestimme die fehlenden Winkel.

Winkel $\beta$: [0] °
Winkel $\gamma$: [0] °

In der folgenden nicht maßstabsgetreuen Skizze sind die Winkel $\beta=29^\circ$ und $\gamma=104^\circ$ bekannt. Bestimme die fehlenden Winkel.

Winkel $\alpha$: [0] °
Winkel $\delta$: [0] °

Wandle die folgenden Winkelangaben jeweils in Grad, Winkelminuten und Winkelsekunden um. Runde die Winkelsekunden gegebenenfalls auf eine ganze Zahl.
a) $47.6068^\circ =$ [0]
b) $654.29' =$ [0]
c) $25751'' =$ [0]

Wandle die folgenden Winkelangaben jeweils in Grad um.
a) $15^\circ~44'~13'' =$ [5] °
b) $41'~18'' =$ [5] °

2. Dreiecke

Vom nachfolgend abgebildeten rechtwinkligen Dreieck sind die Kathete $x=8.3$ cm und die Hypotenuse $z=14.6$ cm bekannt. Berechne die fehlende Kathete $y$, den Flächeninhalt $A$ und die Höhe $t$. Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.

Kathete $y$: [2] cm
Flächeninhalt $A$: [2] cm²
Höhe $t$: [2] cm

Denise möchte bestimmen, wie hoch der Baum in ihrem Garten ist. Sie misst dazu die Länge ihres eigenen Schattens (1.3 m) sowie die Länge des Baumschattens (16.2 m). Ihre Körpergröße beträgt 179 cm. Wie hoch ist der Baum ungefähr?
Höhe des Baums: [1] m

Ein ursprünglich 36 m hoher Baum ist aufgrund eines Sturms so abgeknickt, dass seine Spitze 16 m vom Stamm entfernt den Boden berührt. In welcher Höhe ist der Baum abgeknickt?
Abknickhöhe: [1] m

Bei einem Sturm wurde ein Baum in einer Höhe von 11 m abgeknickt. Die Spitze des Baumes berührt den Boden in einer Entfernung von 6 m. Wie hoch war der Baum?
Ursprüngliche Höhe des Baums: [1] m

Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha=37.92\,^\circ$ und $\beta=112.28\,^\circ$. Berechne den fehlenden Winkel $\gamma$.
$\gamma=$ [2] Grad

Von einem gleichschenkligen Dreieck kennt man den Flächeninhalt $A=35.37$ cm² und die Höhe $h_c=49$ mm. Berechne die gesuchten Größen und achte dabei auf die Einheiten. Die Benennung der Variablen ist der abgebildeten nicht maßstabsgetreuen Skizze zu entnehmen.

$a=$ [2] mm
$c=$ [2] mm
$h_a=$ [2] mm

Der Schulweg von Niklas führt an einer 207 m × 92 m großen, rechteckigen Wiese vorbei. Niklas entscheidet sich dazu, die Wiese diagonal zu durchqueren, anstatt wie sonst immer, am Gehweg zu gehen. Welche Distanz erspart er sich durch diese Abkürzung?

ersparte Distanz: [1] m

#587 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Jedes Dreieck ist durch die Angabe von zwei unabhängigen Größen vollständig bestimmt.
Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch die Angabe von zwei unabhängigen Größen vollständig bestimmt.
Ein gleichseitiges Dreieck ist durch die Angabe einer einzigen Größe vollständig bestimmt.

Eine Person mit Aughöhe 1.68 m steht am Dach eines 20 m hohen Turms. 43 m vor dem Turm befindet sich eine 4 m hohe Mauer. Die Person sieht über die Mauer hinweg gerade noch das näher gelegene Ufer eines Flusses.
a) Erstelle eine vollständig beschriftete Skizze des Sachverhalts.
Skizze:
b) Berechne, wie weit der Fluss horizontal gemessen vom Turm entfernt ist.
Entfernung: [2] m

Eine 4.4 m lange Leiter muss am Boden einen Mindestabstand von 1.4 m zur Mauer haben, damit sie nicht umkippt. Was ist die maximal zulässige Höhe, in welcher die Leiter an die Mauer angelehnt werden darf?

#851 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Addiert man je zwei Seitenlängen eines Dreiecks, so erhält man die Ergebnisse 18.1 cm, 12.5 cm und 25.2 cm.
a) Erkläre, wie man den Umfang des Dreiecks berechnen kann, ohne zuvor die einzelnen Seitenlängen zu berechnen.

0/1000 Zeichen
b) Berechne die Seitenlängen des Dreiecks und gib den vollständigen Rechenweg an.
Seitenlängen:

#886 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Bestimme jeweils die fehlende Seitenlänge der unten abgebildeten rechtwinkligen Dreiecke.

$x=$ [2] mm
$y=$ [2] cm
$z=$ [2] cm

#1037 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Ermittle die drei Seitenlängen eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks, dessen Umfang 100 cm beträgt. Die Seitenlängen müssen nicht ganzzahlig sein. Dokumentiere deine Vorgehensweise!
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):

#1038 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen $x = 10$ cm und $y = 27$ cm. Wähle die fehlende Seitenlänge $z$ jeweils so, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
a) Das Dreieck ist nicht konstruierbar.
Seitenlänge $z$: [0] cm
b) Das Dreieck ist gleichschenklig.
Seitenlänge $z$: [0] cm
c) Das Dreieck ist rechtwinklig.
Seitenlänge $z$: [2] cm

#1088 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Die drei Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks betragen 120°.
Ein Dreieck mit zwei gleichen Winkeln ist immer gleichschenklig.
Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß.
Haben zwei Winkel eines Dreiecks 60°, dann handelt es sich immer um ein gleichseitiges Dreieck.
Jedes rechtwinklige Dreieck hat zwei spitze Winkel.
Jedes Dreieck mit zwei spitzen Winkeln ist rechtwinklig.
Ein Dreieck mit den Winkeln 30° und 60° ist immer rechtwinklig.

#1091 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Ein Dreieck mit den Seitenlängen 6 cm, 8 cm und 10 cm ist rechtwinklig.
Ein Dreieck mit den Seitenlängen 5 cm, 10 cm und 15 cm ist rechtwinklig.
Ein Dreieck mit den Seitenlängen 8 cm, 15 cm und 17 cm ist rechtwinklig.
Es gibt kein Dreieck mit den Seitenlängen 17 cm, 23 cm und 49 cm.
Es gibt kein Dreieck mit den Seitenlängen 52 cm, 49 cm und 98 cm.

3. Vierecke

Von einem Deltoid sind die beiden Diagonalen sowie eine Seitenlänge bekannt. Die Werte sind $e=10.7$ cm, $f=7.7$ cm und $a=7.3$ cm. Die Benennung der Größen ist der unten abgebildeten nicht maßstabsgetreuen Skizze zu entnehmen. Berechne die gesuchten Größen.

$b=$ [2] cm
$A=$ [2] cm²

Ein Monitor soll eine Diagonale von 26.3' besitzen. Das Seitenverhältnis soll 16:9 betragen. Wie lang müssen die beiden Seitenlängen des Monitors sein? Für die Umrechnung gilt, dass 1' einer Länge von 2,54 cm entspricht.
Längere Seite (Breite): [2] cm
Kürzere Seite (Höhe): [2] cm

Um wie viel Prozent wird der Flächeninhalt eines Quadrates vergrößert, wenn die Seitenlängen um 23.3 % vergrößert werden?
Ergebnis: [2] %

Bestimme die Seitenlängen eines Rechtecks, sodass die Differenz zwischen den beiden Seitenlängen dieselbe ist, wie jene zwischen der längeren Seite und der Diagonale. Die Länge der Diagonale beträgt 333 mm.
Kürzere Seitenlänge: [2] mm
Längere Seitenlänge: [2] mm

#815 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Die Summe der Flächeninhalte zweier Quadrate beträgt 283.9 cm². Die Differenz der Flächeninhalte beträgt 145.8 cm². Berechne die Seitenlängen der beiden Quadrate ohne Computereinsatz und achte dabei auf einen möglichst effizienten Rechenweg.
Lösung (inkl. Rechenweg):

Gegeben ist ein Quadrat mit Seitenlänge 5.9 cm. Berechne den Radius eines Kreises, der den doppelten Flächeninhalt des Quadrates hat.

#1060 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Die Diagonalen einer Raute stehen immer senkrecht aufeinander.
Die Diagonalen eines Trapezes stehen immer senkrecht aufeinander.
Die Diagonalen eines Deltoids stehen immer senkrecht aufeinander.
Die Diagonalen eines Rechtecks stehen immer normal aufeinander.
Die Diagonalen eines Parallelogramms stehen immer normal aufeinander.
Die Winkel einer Raute werden von den Diagonalen halbiert.

4. Kreis und Kreisteile

In einem Restaurant hat eine kleine Pizza einen Durchmesser von 22.5 cm. Der Flächeninhalt der großen Pizza soll um zwei Drittel größer sein als jener der kleinen Pizza. Welchen Durchmesser muss die große Pizza dafür haben?
Durchmesser der großen Pizza: [2] cm

Welcher Winkel befindet sich um 8:25 Uhr zwischen Stunden- und Minutenzeiger? Zur Eindeutigkeit des Ergebnisses wähle jenen Winkel, der höchstens 180° beträgt.
Abstand: [2] °

#495 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Das Triple-20-Feld einer Dartscheibe entspricht einem Kreisringsektor mit Außenradius 170 mm und Innenradius 162 mm. Das Dartboard ist unterteilt in 20 gleiche Sektoren. Berechne anhand dieser Informationen den Flächeninhalt des Triple-20-Feldes.
Flächeninhalt: [2] mm²

#750 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Ein Kreis soll durch gerade Schnitte in möglichst viele Teile zerteilt werden, wobei die Teile zwischen den einzelnen Schnitten nicht bewegt werden dürfen.
a) Wie viele Teile erhält man durch vier Schnitte höchstens?
Ergebnis: [0] Teile
b) Finde einen Term, der die Anzahl der Teile in Abhängigkeit von der Schnittanzahl $n$ beschreibt.
Term:

5. Zusammengesetze Figuren

#275 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Nachfolgende Abbildung zeigt den Grundriss eines Zimmers.

Kreuze jeweils an, ob die nachfolgenden Terme geeignet sind, um die Wohnfläche zu berechnen.
$a\cdot f+c\cdot d$
$a\cdot f+b\cdot c$
$e\cdot f+c\cdot d$
$b\cdot c+e\cdot f$
$a\cdot b-d\cdot e$

Ein 178×103 mm großes Stück Stahlblech wird an den Ecken abgerundet (siehe Skizze). Der Radius dieser Rundungen beträgt 16 mm.

a) Berechne den Umfang.
Umfang: [2] mm
b) Berechne den Flächeninhalt.
Flächeninhalt: [2] mm²

#593 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Bei einer Leichtathletikanlage haben die Geraden eine Länge von 84,39 m. Der Radius der Innenbahn beträgt 36,5 m. Die gesamte Laufbahn ist 9,76 m breit. Somit ist der Außenradius der Laufbahn 46,26 m. Alle Abmessungen sind unten in einer nicht maßstabgetreuen Skizze abgebildet.

a) Berechne die Länge der Innenbahn und gib einen Lösungsweg an.
Länge (in m):
b) Berechne den Flächeninhalt der gesamten Laufbahn und gib einen Lösungsweg an.
Flächeninhalt (in m²):

#713 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Es ist die Skizze einer geometrischen Figur abgebildet.

Für die folgenden beiden Aufgaben dürfen nur die Variablen $a,b,c,d$ verwendet werden.
a) Erstelle eine möglichst einfache Formel zur Berechnung des Umfangs der Figur.
Formel (inkl. Lösungsweg):
b) Erstelle eine möglichst einfache Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Figur.
Formel (inkl. Lösungsweg):

Aus einem Rechteck mit den Seitenlängen 189 cm und 111 cm wird ein Halbkreis mit Durchmesser 118 cm ausgeschnitten (siehe Skizze). Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der entstehenden Figur.

Umfang: [2] cm
Flächeninhalt: [2] cm²

6. Vermischte Aufgaben

Nachfolgend ist die Skizze eines Bauteils dargestellt, welches aus 1.5 mm dickem Stahlblech hergestellt werden soll (alle Angaben in Millimeter). Achte auf die Einheiten!

a) Berechne den Flächeninhalt dieses Bauteils.
Flächeninhalt: [2] cm²
b) Berechne die Masse des Bauteils. Die Dichte von Stahl beträgt 7,85 g/cm³.
Masse: [2] kg

Das Dach einer 30.4 m langen und 23.7 m breiten Halle soll neu gedeckt werden. Es handelt sich dabei um ein sogenanntes Pultdach, das entlang der kürzeren Wand der Halle um 2.1 m abfallend ist und nicht über die Wände hinausragt. Bestimme den Flächeninhalt des Daches.
Flächeninhalt: [2]

#732 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Ein Aufzug eines Krankenhauses ist 2.7 m breit und 4 m lang. Überprüfe rechnerisch, ob ein Krankenhausbett mit einer Breite von 1.4 m und einer Länge von 2.7 m darin um 180° gedreht werden kann. Beschreibe das Ergebnis durch einen vollständigen Satz.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):

Ein Raum ist 2.57 m hoch. Wie hoch darf ein 81 cm tiefer Kasten höchstens sein, damit man ihn durch frontales Kippen aufstellen kann, ohne an der Decke zu streifen? Erstelle eine aussagekräftige und vollständig beschriftete Skizze des Sachverhalts.
Skizze:
Höhe des Kastens: [1] cm

Ein ringförmiger Kerzenhalter (siehe Skizze, Bildquelle unbekannt) mit einem Durchmesser von 108 cm soll mit vier gleich langen Ketten an der Decke montiert werden, sodass er sich 1.9 m unter dieser befindet.

a) Wie lang ist jede einzelne der vier Ketten?
Länge einer Kette: [2] m
b) Wie viel Material muss insgesamt gekauft werden, wenn zur Sicherheit um ein Viertel mehr gekauft wird.
gekaufte Länge: [2] m

Rund um einen See führt ein 8.7 km langer Wanderweg, der direkt am Ufer liegt. Welchen Flächeninhalt hat die Wasseroberfläche des Sees höchstens?
Ergebnis: [2] km²

#865 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Eine Person ist 1.66 m groß. Ihre Augen befinden sich in einer Höhe von 1.51 m. Es soll ein Spiegel gekauft werden, in dem sich die Person gerade noch vollständig sehen kann. Gib an, in welcher Höhe sich die Ober- und Unterkante befinden müssen.
Höhe der Oberkante: [2] m
Höhe der Unterkante: [2] m

#1059 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Begründe anhand mathematischer Argumente, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist: Ein See, um welchen ein 9.6 km langer Rundweg führt, kann eine Wasseroberfläche von 2.3 km² haben.

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#1081 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Möchte man den Flächeninhalt einer ebenen geometrischen Figur verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[2]{3}$ multipliziert werden.
Möchte man den Flächeninhalt einer ebenen geometrischen Figur verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[3]{2}$ multipliziert werden.
Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdoppeln, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[3]{2}$ multipliziert werden.
Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdoppeln, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[2]{3}$ multipliziert werden.
Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[2]{3}$ multipliziert werden.
Möchte man das Volumen eines geometrischen Körpers verdreifachen, so muss jede Seitenlänge mit $\sqrt[3]{3}$ multipliziert werden.