Impressum · Datenschutz
© 2016 – 2020 MATHE.ZONE
© 2016 – 2020  MATHE.ZONE · Impressum · Datenschutz      

Aufgaben zur Differentialrechnung


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zur Differentialrechnung. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden. Bewegt man die Maus über die Aufgabennummer, so erscheint ein Dropdown-Menü mit verschiedenen Optionen.

Urheberrechtshinweis: Die auf dieser Seite aufgelisteten Aufgaben unterliegen dem Urheberrecht (siehe Impressum).

Mathematischer Hintergrund

Die Differentialrechnung beschäftigt sich im Wesentlichen mit der lokalen Veränderungen von Funktionen. Der zentrale Begriff ist dabei die Ableitungsfunktion, welche einer gegebenen differenzierbaren Funktion ihre lokale Steigung zuordnet. Darauf aufbauend kann ebenso der Steigungswinkel und die Krümmung der Funktion ermittelt werden.

Anwendungsgebiete

Die Differentialrechnung hat zahlreiche inner- und außermathematische Einsatzgebiete. Beispielsweise kann die Ableitungsfunktion verwendet werden, um Hochpunkte und Tiefpunkte von Funktionen zu bestimmen (da dort die Steigung und somit die Ableitung null ist). Auf diese Weise kann man durch Ermitteln des lokalen Minimums bzw. Maximums auch reale Sachverhalte optimieren (z. B. minimale Produktionskosten, maximaler Gewinn, kürzester Weg). Auch in den Naturwissenschaften spielen Ableitungsfunktionen eine wesentliche Rolle. Beispielsweise ist die Momentangeschwindigkeit eines Objektes die momentane Änderung des Weges (also die Ableitung der Wegfunktion).

Aufgabensammlung

: Die Bevölkerung eines Landes lässt sich näherungsweise durch die quadratische Funktion $f(t)=0.00294t^2+0.0859t+17.3$ beschreiben, wobei $t$ die Jahre seit dem 1.1.2000 und $f(t)$ die Einwohnerzahl gemessen in Mio. Einwohnern.
a) Berechne die absolute Änderung im Zeitraum vom 1.1.2012 bis zum 1.7.2017.
b) Berechne die relative Änderung im selben Zeitraum.
c) Berechne die mittlere (durchschnittliche) Änderungsrate im selben Zeitraum.
d) Berechne die momentane (lokale) Änderungsrate am 1.1.2010.

: Die Koordinaten (xS|yS) des Scheitelpunktes der quadratischen Funktion f(x) = ax2 + bx + c können durch die Formeln xS=-b/2a und yS=(4ac-b²)/4a berechnet werden.
a) Leite die Formel für xS mithilfe der Differentialrechnung her.
b) Leite mit dem Ergebnis von Teilaufgabe a) die Formel für yS her.

: Ein Rettungsschwimmer muss eine Person retten. Diese Person befindet sich entlang des Ufers gemessen in einer Entfernung von 400 m und ist dort 150 m vom Ufer entfernt (siehe Skizze). Welche Strecke sollte der Rettungsschwimmer entlang des Ufers laufen, bevor er hineinspringt, um schnellstmöglich bei der ertrinkenden Person zu sein, wenn er davon ausgeht, dass seine Laufgeschwindigkeit viermal so groß ist wie seine Schwimmgeschwindigkeit?

: Der Umfang eines Rechtecks beträgt 80 m. Was ist der maximale Flächeninhalt des Rechtecks?

: Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. Die Höhe (in Meter) zum Zeitpunkt t (in Sekunden) ist durch folgende Funktion gegeben: h(t) = -4,9t² + 13t.
a) Welche Abwurfgeschwindigkeit hat der Ball?
b) Was ist die Maximalhöhe des Balls?
c) Nach welcher Zeit erreicht er wieder den Boden?
d) Welche Beschleunigung hat der Ball während des gesamten Fluges?

: Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) = 0,06x³ - 2,1x² + 58x + 200, wobei x die produzierte Stückzahl angibt.
a) Gib die Fixkosten an!
b) Gib die Kosten für die Produktion von 100 Stück an!
c) Bestimme den Wendepunkt der Kostenfunktion und gib dessen Koordinaten an!

: Eine U-Bahn benötigt für die Strecke zwischen zwei Stationen 50 Sekunden. Die zugehörige Weg-Zeit-Funktion lautet s(t) = -0,012t³ + 0,9t². Dabei ist t die Zeit in Sekunden nach dem Losfahren und s(t) die zugehörige Strecke in Meter.
a) Wie weit sind die beiden Stationen voneinander entfernt?
b) Berechne die Geschwindigkeit der U-Bahn nach 10 s Fahrzeit!
c) Berechne die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [5 s; 20 s]!
d) Berechne die Höchstgeschwindigkeit der U-Bahn und wann diese erreicht wird!
e) Wie groß ist die Beschleunigung zum Zeitpunkt des Losfahrens?

: Der Gewinn, den ein Unternehmen mit einem bestimmten Produkt erzielt, lässt sich durch folgende Funktion beschreiben: G(x) = 0,00013x³ - 0,16x² + 60x - 1460. Die Variable x steht für die produzierte Stückzahl.
a) Berechne den Maximalgewinn, wenn die Produktionsmenge höchstens 800 Stück beträgt!
b) Berechne, ab welcher Produktionsmenge ein positiver Gewinn vorliegt!

: Die Zahl 100 soll in zwei Faktoren x und y zerlegt werden, also 100 = x · y. Diese Faktoren sollen so gewählt werden, dass der Term x² + y³ minimal wird. Bestimme x und y.

: Bei der Herstellung von Taschenrechnern entstehen Fixkosten von 2000 € und variable Kosten von 10 €. Die Erlösfunktion lautet $E(x)=-0{,}01 x^2+22 x$.
a) Gib die Funktionsgleichung für die Kostenfunktion an.
b) Bei welcher Stückzahl ist der Erlös 0?
c) Bei welcher Stückzahl ist der Erlös maximal? Welchen Wert hat er dann?
d) Gib die Gewinnfunktion an.
e) Berechne, in welchem Bereich der Gewinn positiv ist.
f) Für welche Stückzahl ist der Gewinn maximal und wie hoch ist dieser Maximalgewinn?

: Die Gewinnfunktion für die Herstellung eines bestimmten Produkts ist gegeben durch $G(x)=0{,}0000014x^3-0{,}007x^2+10{,}8x-3000$, wobei $x$ die Produktionsmenge ist.
a) Berechne, für welches Produktionsintervall ein Gewinn vorliegt.
b) Gib den Maximalgewinn und die zugehörige Produktionsmenge an.
c) Wie hoch sind die Fixkosten für diese Produktion?

: In eine Milchpackung sollen 1000 ml Milch gefüllt werden. Dabei soll das Packungsvolumen um 5 Prozent größer sein. Die Form der Packung soll einem quadratischen Quader entsprechen. Welche Höhe und welche Seitenlänge soll die Verpackung haben, damit möglichst wenig Material verwendet werden muss?

: Welche Seitenlängen muss ein Rechteck mit Umfang $u=100\,$cm haben, damit der Flächeninhalt maximal wird.

: Jemand möchte mit einem 20 m langen Maschendrahtzaun ein Gehege für seine Kaninchen anfertigen. Dieses Gehege soll rechteckig sein und mit einer Seitenlänge vollständig an der Hausmauer liegen (dort ist dann kein Zaun). Wie müssen die Seitenlängen des Rechtecks gewählt werden, damit der Flächeninhalt des Geheges maximal ist?

: Erstelle eine Zeit-Weg-Funktion $s(t)$ in Form einer Polynomfunktion dritten Grades für die Fahrt einer U-Bahn zwischen zwei Stationen, wenn folgende Daten vorliegen: Die Streckenlänge beträgt 600 m und die Fahrzeit beträgt 40 Sekunden.

: Im Inneren einer Leichtathletikbahn soll sich ein Fußballfeld befinden. Die Länge der Bahn ist mit 400 m vorgegeben. Der Rand des Fußballfeldes soll vom umgebenden Rechteck auf allen Seiten 3 m weit entfernt sein (siehe Skizze). Berechne die Längen x und y der Skizze, bei denen das Fußballfeld maximalen Flächeninhalt hat.

: Ein 2 m langes Stück Draht wird in zwei Teile geschnitten. Aus einem Teil wird ein Kreis und aus dem anderen Teil wird ein Quadrat geformt. Wie lang müssen die beiden Drahtstücke sein, damit der Flächeninhalt der Figuren insgesamt möglichst groß wird?

: Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^3 - 7 x^2 + 5 x + 10$. Bestimme, welcher Punkt des Funktionsgraphen den kleinsten Abstand zum Punkt $(2\mid 15)$ besitzt und wie groß dieser Abstand ist. Stelle zunächst graphisch eine Vermutung auf!

: [SCHWIERIG] Gegeben ist die Funktion $f(x)=-0{,}5x^4-2x^3+2x^2+10x+5$. Die beiden „Gipfel“ des Funktionsgraphen sollen, wie in folgender Abbildung ersichtlich, durch eine Gerade verbunden werden. Dabei soll die Gerade den Funktionsgraphen an den beiden Berührungspunkten tangieren (also dieselbe Steigung wie dieser besitzen). Es handelt sich bei den Berührungspunkten daher nicht um die beiden Hochpunkte (denn dort ist die Steigung 0). Bestimme die Koordinaten der gesuchten Punkte A und B.

: Bei Kraftfahrzeugen ist der Treibstoffverbrauch von der Geschwindigkeit abhängig. Sehr langsame Durchschnittsgeschwindigkeiten und auch große Geschwindigkeiten führen zu einem erhöhten Treibstoffverbrauch. Für ein bestimmtes Modell ist der Verbrauch im höchsten Gang (gemessen in Liter/100 km) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit (in km/h, gültig ab 40 km/h) durch folgende Funktion gegeben: $$f(x)=0{,}0008x^2-0{,}09x+8$$ Für eine Fahrt stehen zwei Routen zur Verfügung. Einerseits können 230 km auf der Autobahn (Durchschnittsgeschwindigkeit: 120 km/h) gefahren werden und andererseits kann das Ziel auch durch 280 km auf Landstraßen (Durchschnittsgeschwindigkeit: 75 km/h) erreicht werden.
a) Stelle die Funktion im Intervall $[40;150]$ graphisch dar!
b) Berechne, bei welcher Geschwindigkeit das Fahrzeug den geringsten Verbrauch hat.
c) Berechne, auf welcher der beiden Routen weniger Treibstoff verbraucht wird. Gib jeweils den tatsächlichen Gesamtverbrauch an!
d) Berechne, wie viel Zeit man sich durch die erste Route (Autobahn) erspart.

: Gegeben ist die Funktion $f(x)=3-2x^2$. Bestimme die Breite und die Höhe jenes Rechtecks zwischen Funktionsgraph und x-Achse, dessen Flächeninhalt maximal ist.

: Für die ersten Sekunden nach dem Absprung gilt für einen Fallschirmspringer näherungsweise die folgende Formel für den freien Fall (da hier der Luftwiderstand noch keine große Rolle spielt): $$s(t)=\frac{g}{2}\cdot t^2$$ Dabei ist $t$ die Zeit nach dem Absprung (gemessen in Sekunden), $g=9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ist die Gravitationsbeschleunigung und $s(t)$ ist der zurückgelegte Weg (gemessen in Meter).
a) Bestimme die Geschwindigkeitsfunktion des Fallschirmspringers.
b) Berechne die Geschwindigkeit, die der Fallschirmspringer nach 2,5 s hat. Gib das Ergebnis in km/h an.
c) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit, welche er im Zeitintervall $[3\,\text{s};~ 5\,\text{s}]$ hat. Gib das Ergebnis in km/h an.
d) Wie lange dauert es, bis er 100 m zurückgelegt hat?

: Für die Produktion eines bestimmten Produktes wurde die Kostenfunktion $K(x)=0{,}001x^3-0{,}13x^2+6{,}2x+75$ ermittelt, wobei $x$ die Menge (gemessen in ME) und $K(x)$ die Kosten (gemessen in GE) sind.
a) Bestimme die sogenannte Kostenkehre! Das ist jene Produktionsmenge, bei welcher die Kostenfunktion einen Wendepunkt hat.
b) Die Gewinnfunktion $G$ wird berechnet durch $G(x)=E(x)-K(x)$, wobei $E(x)=p\cdot x$ gilt. Bestimme die Gewinnfunktion für einen Verkaufspreis von $p=5{,}3$ GE/ME. Vereinfache sie anschließend so weit wie möglich!
c) Berechne den Break-Even-Point, also jene Produktionsmenge, ab welcher erstmals ein Gewinn vorliegt!
d) Die maximale Produktionsmenge liegt bei 65 ME. Berechne den unter diesen Rahmenbedingungen möglichen Maximalgewinn und die zugehörige Produktionsmenge.

: Die Höhe einer Feuerwerksrakete wird näherungsweise durch die Funktion $h(t)=11t^2$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit (in Sekunden) nach dem Start und $h(t)$ die zugehörige Höhe (in Metern) sind. Die Rakete explodiert 2,3 s nach dem Start. Gib bei jedem Endergebnis die verwendete Einheit an!
a) Berechne, in welcher Höhe die Rakete explodiert.
b) Berechne, welche Geschwindigkeit die Rakete zum Zeitpunkt der Explosion hat.
c) Berechne die Beschleunigung der Rakete.
d) Wie lange dauert es, bis eine Höhe von 30 m erreicht wurde?
e) Nach welcher Zeit wurde eine Geschwindigkeit von 100 km/h erreicht? Achte auf die Einheiten!

: Kreuze alle richtigen Aussagen an!
    Jede stetige Funktion ist differenzierbar.
    Jede differenzierbare Funktion ist stetig.
    Für eine Polynomfunktion mit höchster Potenz $n$ sind ab einschließlich der $n$-ten Ableitung alle Ableitungen 0.
    Die Funktion $f(x)=e^x$ ist die einzige Funktion, für die gilt $f'(x)=f(x)$.
    Für alle differenzierbaren Funktionen $f$ und $g$ gilt $(\,f+g\,)'=f'+g'$.
    Für alle differenzierbaren Funktionen $f$ und $g$ gilt $(\,f\cdot g\,)'=f'\cdot g'$.

: Berechne, an welchen Stellen die Funktion $f(x)=x^3-5x^2+5x-1$ den Steigungswinkel 60° besitzt.

: Eine dreiteilige zylindrische Konservendose besteht aus zwei kreisförmigen Deckeln und einem röhrenförmigen Dosenkörper (der sogenannten Zarge). Für ein neues Produkt soll eine Dose mit einem Inhalt von 400 mL entworfen werden. Das Material für die beiden Deckel kostet 12,50 €/m² und das Material für den Dosenkörper kostet 10,75 €/m². Berechne, bei welcher Kombination von Radius und Höhe die Materialkosten der Dose am geringsten sind. Berechne außerdem diese minimalen Materialkosten.