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Aufgaben zu Differentialgleichungen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu Differentialgleichungen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

1. Vermischte Aufgaben

#1179 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Führe eine Klassifizierung der Differentialgleichung $3y''+2x\cdot y'-\sin(5x)=0$ durch. Hier ist $y$ eine von $x$ abhängige Funktion.

#1180 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Erstelle eine beliebige gewöhnliche inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, welche nicht ausschließlich konstante Koeffizienten hat. Dabei soll $x$ eine von $t$ abhängige Funktion sein.
Ergebnis:

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $6 x\cdot y'- 3 y=0$ und gib einen vollständigen Lösungsweg an.
Allgemeine Lösung (inkl. Lösungsweg):

Es ist die Differentialgleichung $\dot x+3 x\cdot \cos(t)=0$ mit der Nebenbedingung $x(2.4)=2$ gegeben.
a) Bestimme die allgemeine Lösung und gib einen vollständigen Lösungsweg an!
Allgemeine Lösung (inkl. Lösungsweg):
b) Bestimme die spezielle Lösung und gib einen vollständigen Lösungsweg an!
Spezielle Lösung (inkl. Lösungsweg):

Die zeitliche Temperaturänderung eines Objektes ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Objekt und Umgebung. Die Umgebungstemperatur beträgt für diese Aufgabe 21 °C
a) Erstelle eine zur obigen Aussage passende Differentialgleichung, wobei $T(t)$ die Temperatur des Objekts in Abhängigkeit der Zeit $t$ ist. Bestimme anschließend die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
b) Zum Zeitpunkt $t=0$ beträgt die Temperatur eines Metallstücks 550 °C. Nach 19 Minuten hat das Metallstück nur noch 89 °C. Ermittle die Temperaturfunktion $T(t)$ und gib den Lösungsweg an.
Ergebnis (inkl. Lösungsweg):
c) Nach welcher Zeit ist die Temperatur des Metallstücks nur noch 1 % von der Umgebungstemperatur entfernt?
Ergebnis: [1] min

Gegeben ist die nichtlineare Differentialgleichung $y' + a\cdot y^2 = 0$. Dabei ist $y(x)$ die Funktion und $a$ eine beliebige reelle Zahl.
a) Weise durch handschriftliche Rechnung nach, dass $y=\frac{1}{a\cdot x+c}$ die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
Nachweis:
b) Bestimme durch handschriftliche Rechnung die spezielle Lösung der Differentialgleichung $y' + 2.1 \cdot y^2 = 0$ mit der Nebenbedingung $y(4.3)=1.2$. Gib einen vollständigen Lösungsweg an.
Spezielle Lösung (inkl. Lösungsweg):

#1211 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
In einem Weingarten mit insgesamt 477 Weinreben breitet sich ein Schädling aus. Die Anzahl der wöchentlich neu befallenen Weinreben beträgt 8.3 % der noch nicht befallenen Pflanzen. Die Anzahl der nach $t$ Wochen befallenen Weinreiben wird durch die Funktion $N(t)$ beschrieben.
a) Erstelle eine Differentialgleichung, welche die Ausbreitung des Schädlings beschreibt.
Differentialgleichung:
b) Berechne die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung und gib einen handschriftlichen Lösungsweg an.
Allgemeine Lösung (inkl. Lösungsweg):
c) Nach wie vielen Wochen sind 95 % aller Weinreben befallen, wenn zum Zeitpunkt $t=0$ bereits 11 Pflanzen befallen waren?
Ergebnis: [1] Wochen

#1212 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
In einem Teich werden Fische ausgesetzt. Es wird geschätzt, dass maximal 970 Fische in diesem Teich leben können. Das Populationswachstum ist proportional zum bereits vorhandenen Fischbestand und zur Anzahl an noch verfügbaren Plätzen. Der aktuelle Fischbestand wird durch die Funktion $N(t)$ beschrieben. Erstelle eine Differentialgleichung, welche das Wachstum beschreibt.
Lösung:

Es ist die Differentialgleichung $6y'-7.1y=4.2x-23$ gegeben.
a) Bestimme die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
Ergebnis:
b) Bestimme durch handschriftliche Rechnung eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
Ergebnis (inkl. Rechenweg):
c) Bestimme durch handschriftliche Rechnung die spezielle Lösung der ursprünglich gegebenen Differentialgleichung mit der Bedingung $y(3.2)=14.2$.
Ergebnis (inkl. Rechenweg):

#1233 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Für den radioaktiven Zerfall gilt die Differentialgleichung $-\lambda \cdot N= \frac{dN}{dt}$, wobei $\lambda >0 $ eine Konstante ist und $N(t)$ die Anzahl der zum Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallenen Atome angibt.
a) Erkläre anhand mathematischer Argumente, wie man an dieser Differentialgleichung erkennen kann, dass die Anzahl an noch nicht zerfallenen Atomen mit zunehmender Zeit weniger wird.

0/1000 Zeichen
b) Berechne handschriftlich die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
Lösung (inkl. Lösungsweg):