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Aufgaben zu Differentialgleichungen


Auf dieser Seite findet man Aufgaben zu Differentialgleichungen. Jede Aufgabe besitzt eine Nummer, über welche sie durch die Suchfunktion jederzeit wieder aufgerufen werden kann. Dazu muss als Suchbegriff die Aufgabennummer mit einer Raute davor eingegeben werden, also z. B. #123.

Die Aufgaben werden bei jedem Laden der Seite neu generiert. Bei den meisten Aufgaben bedeutet dies, dass sich Werte in der Angabe verändern. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt erneut auf die selbe Aufgabe zugreifen, so sollte ein Screenshot angefertigt werden.

Hinter den Eingabefeldern wird jeweils die Anzahl an Nachkommastellen angegeben. Zur Kontrolle der eigenen Rechnungen können bei vielen Aufgaben die Lösungen eingeblendet werden. Sollte Ihnen bei einer Aufgabe ein Fehler auffallen, so melden Sie diesen bitte.

1. Vermischte Aufgaben

#1179 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Führe eine Klassifizierung der Differentialgleichung $3y''+2x\cdot y'-\sin(5x)=0$ durch. Hier ist $y$ eine von $x$ abhängige Funktion.

#1180 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Erstelle eine beliebige gewöhnliche inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, welche nicht ausschließlich konstante Koeffizienten hat. Dabei soll $x$ eine von $t$ abhängige Funktion sein.

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $6 x\cdot y'- 3 y=0$.

Es ist die Differentialgleichung $\dot x+7 x\cdot \cos(t)=0$ mit der Nebenbedingung $x(2.6)=4.6$ gegeben.
a) Bestimme die allgemeine Lösung!
b) Bestimme die spezielle Lösung!

Die zeitliche Temperaturänderung eines Objektes ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Objekt und Umgebung. Die Umgebungstemperatur beträgt für diese Aufgabe 19 °C
a) Erstelle eine zur obigen Aussage passende Differentialgleichung, wobei $T(t)$ die Temperatur des Objekts in Abhängigkeit der Zeit $t$ ist. Bestimme anschließend die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
b) Zum Zeitpunkt $t=0$ beträgt die Temperatur eines Metallstücks 640 °C. Nach 12 Minuten hat das Metallstück nur noch 80 °C. Ermittle die Temperaturfunktion $T(t)$ und gib den Lösungsweg an.
c) Nach welcher Zeit ist die Temperatur des Metallstücks nur noch 1 % von der Umgebungstemperatur entfernt?

Gegeben ist die nichtlineare Differentialgleichung $y' + a\cdot y^2 = 0$. Dabei ist $y(x)$ die Funktion und $a$ eine beliebige reelle Zahl.
a) Weise nach, dass $y=\frac{1}{a\cdot x+c}$ die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
b) Bestimme die spezielle Lösung der Differentialgleichung $y' + 2.6 \cdot y^2 = 0$ mit der Nebenbedingung $y(5.2)=2.6$.

#1211 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
In einem Weingarten mit insgesamt 339 Weinreben breitet sich ein Schädling aus. Die Anzahl der wöchentlich neu befallenen Weinreben beträgt 8.4 % der noch nicht befallenen Pflanzen. Die Anzahl der nach $t$ Wochen befallenen Weinreiben wird durch die Funktion $N(t)$ beschrieben.
a) Erstelle eine Differentialgleichung, welche die Ausbreitung des Schädlings beschreibt.
b) Berechne die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
c) Nach wie vielen Wochen sind 85 % aller Weinreben befallen, wenn zum Zeitpunkt $t=0$ bereits 11 Pflanzen befallen waren?

#1212 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
In einem Teich werden Fische ausgesetzt. Es wird geschätzt, dass maximal 1060 Fische in diesem Teich leben können. Das Populationswachstum ist proportional zum bereits vorhandenen Fischbestand und zur Anzahl an noch verfügbaren Plätzen. Der aktuelle Fischbestand wird durch die Funktion $N(t)$ beschrieben. Erstelle eine Differentialgleichung, welche diesen Zusammenhang beschreibt.

Es ist die Differentialgleichung $3y'-5.2y=3.2x-24$ gegeben.
a) Bestimme die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
b) Bestimme eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
c) Bestimme die spezielle Lösung der ursprünglich gegebenen Differentialgleichung mit der Bedingung $y(3.1)=18.2$.

#1233 | keine Lösung vorhanden · Einzelansicht · Projektoransicht · Fehler melden
Für den radioaktiven Zerfall gilt die Differentialgleichung $-\lambda \cdot N= \frac{dN}{dt}$, wobei $\lambda >0 $ eine Konstante ist und $N(t)$ die Anzahl der zum Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallenen Atome angibt.
a) Erkläre anhand mathematischer Argumente, wie man an dieser Differentialgleichung erkennen kann, dass die Anzahl an noch nicht zerfallenen Atomen mit zunehmender Zeit weniger wird.
b) Berechne die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.

Ein Konferenzraum hat ein Volumen von 524 m³. Als die Lüftungsanlage zum Zeitpunkt $t=0$ eingeschaltet wird, beträgt CO2-Gehalt der Raumluft 1170 ppm. Von nun an werden pro Sekunde 2.7 m³ Raumluft abgesaugt und durch frische Außenluft (400 ppm CO2-Gehalt) ersetzt. Das gesamte CO2-Volumen, welches sich zum Zeitpunkt $t$ im Raum befindet, soll mit $V(t)$ bezeichnet werden. Dabei wird $t$ in Sekunden und $V$ in m³ gemessen.
a) Erstelle eine Differentialgleichung, welche die Änderung des CO2-Volumens beschreibt.
b) Ermittle die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
c) Ermittle die spezielle Lösung dieser Differentialgleichung.
d) Berechne, nach wie vielen Sekunden der CO2-Gehalt auf 800 ppm gesunken ist.