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Aufgaben zur analytischen Geometrie


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Aufgabensammlung

: Auf ein Objekt wirken im Schwerpunkt die folgenden drei Kräfte (alle Angaben in Newton): $$\vec F_1=\begin{pmatrix} 320 \\ -150 \\ 170\end{pmatrix},\hspace{7mm} \vec F_2=\begin{pmatrix} -120\\ 230 \\ 110\end{pmatrix},\hspace{7mm} \vec F_3=\begin{pmatrix} -90\\ 250 \\ -310\end{pmatrix}$$
a) Berechne die resultierende Kraft $\vec F_R$, welche auf dieses Objekt wirkt, sowie deren Betrag!
b) Berechne den Winkel, um welchen $\vec F_R$ von der positiven $y$-Richtung (der zweiten Komponente des Vektors) abweicht.
c) Füge eine beliebige vierte Kraft hinzu, sodass das Objekt ausschließlich in $y$-Richtung beschleunigt wird.

: Ein ebenes Dreieck im Raum ist gegeben durch die Eckpunkte $A(5\mid 3\mid -2)$, $B(-4\mid 6\mid 4)$ und $C(7\mid -5\mid 2)$.
a) Berechne die Seitenlänge $\overline{AC}$.
b) Berechne, welchen Winkel das Dreieck im Eckpunkt $A$ hat.
c) Beschreibe möglichst genau und mathematisch korrekt mindestens zwei verschiedene Möglichkeiten, um den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen.
d) Berechne den Flächeninhalt mit der – deiner Meinung nach – effizientesten Methode.
e) Punkt $C$ soll durch einen beliebigen anderen Punkt $D$ ersetzt werden, sodass das Dreieck $ABD$ rechtwinklig ist. Finde nachvollziehbar einen derartigen Punkt und gib dessen Koordinaten an!

: Bei einem Computerspiel bewegen sich die Charaktere auf einer zweidimensionalen Karte, welche ganz allgemein in Längeneinheiten (LE) vermessen wird. Der Charakter des Spielers steht momentan auf Position $A(330\mid 570)$. Durch Klicken auf den Punkt $B(1120\mid 810)$ bewegt sich die Figur geradlinig mit einer Geschwindigkeit von 30 LE/s von $A$ nach $B$. Nach 12 Sekunden klickt der Spieler jedoch auf den Punkt $C(670\mid 1030)$. Die Figur bewegt sich nun ausgehend von der aktuellen Position geradlinig und mit gleicher Geschwindigkeit zum Punkt $C$.
a) Wie lange benötigte die Figur insgesamt, um von $A$ nach $C$ zu gelangen?
b) Um wie viele Sekunden schneller wäre sie in Punkt $C$ gewesen, wenn der Spieler gleich dort hingeklickt hätte?

: Gegeben sind die folgenden drei Vektoren: $$\vec a=\binom{2}{4},~~\vec b=\binom{3}{6},~~\vec c=\binom{5}{-2}$$
a) Überprüfe, ob \(\vec a\) und \(\vec c\) senkrecht aufeinander stehen.
b) Überprüfe, ob \(\vec a\) und \(\vec b\) parallel sind.
c) Gib einen beliebigen Normalvektor zu \(\vec b\) an.
d) Berechne \(3\vec a-2\vec b+5\vec c\).

: Ein Deltoid besitzt die Spitze \(A(2\mid 1)\) und den Mittelpunkt \(M(-1\mid -3)\). Die Diagonale zwischen \(A\) und \(C\) (also jene entlang der Symmetrieachse) hat die Länge \(e=15\). Die andere Diagonale hat die Länge \(f=12\). Berechne die Koordinaten der fehlenden drei Eckpunkte.

: Einem bestimmten Computerspiel liegt ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem zugrunde, welches in Längeneinheiten (LE) vermessen wird. Ein Projektil wurde vom Punkt $(370\mid 510\mid 35)$ abgefeuert, wobei der Punkt $(630\mid 870\mid 52)$ anvisiert wurde. Die Projektilgeschwindigkeit beträgt konstant 750 LE/s. Nach welcher Zeit ist das Ziel erreicht?

: Gib die Menge aller Punkte der Ebene an, die vom Punkt (1|3) nicht weiter als 2 entfernt sind. Stelle diese Menge außerdem graphisch dar!

: Bei einem Computerspiel wird ein Projektil vom Punkt $(120\mid 1750\mid 21)$ in Richtung $\vec r=(5, -3, 0.2)^\top$ abgefeuert. Die Bewegung erfolgt geradlinig. Eine Wand eines Gebäudes ist durch die Eckpunkte $A(365\mid 1603\mid 30)$, $B(365\mid 1603\mid 34)$, $C(372\mid 1589\mid 30)$ und $D(372\mid 1589\mid 34)$ definiert.
a) Bestimme die Geradengleichung, auf welcher sich das Projektil bewegt.
b) Bestimme eine Ebenengleichung, durch welche die Wand beschrieben werden kann.
c) Bestimme den exakten Punkt, an welchem das Projektil in der Wand einschlägt.
d) Berechne die Flugdauer des Projektils, wenn die Geschwindigkeit konstant bei 600 LE/s liegt.

: Finde zu den folgenden Vektoren jeweils einen Normalvektor! $$ \vec a=\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix},~~~~~~~~~~\vec b=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix},~~~~~~~~~~\vec c=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} $$

: Auf einem sogenannten optischen Tisch (einer zweidimensionalen Station für optische Experimente) wurde eine Ecke dem Punkt $(0\mid 0)$ zugewiesen. Die Tischkanten entsprechen den positiven Halbachsen des Koordinatensystems und sind in x-Richtung 3200 mm und in y-Richtung 2500 mm lang. Im Punkt $(2750\mid 650)$ sollen sich zwei Laserstrahlen treffen. Laser A ist in Punkt $(275\mid 300)$ positioniert. Laser B soll halb so weit vom Zielpunkt entfernt sein wie Laser A und normal auf dessen Strahl stehen. Bestimme die Position von Laser B!

: Das ebene Polygon $\text{ABCDEFG}$ ist definiert durch die sieben Eckpunkte $A(-5\mid -3)$, $B(-7\mid 3)$, $C(-3\mid 7)$, $D(-1\mid 4)$, $E(5\mid 5)$, $F(4\mid -2)$ und $G(-1\mid 0)$.
a) Berechne den Umfang dieser Figur!
b) Berechne den Flächeninhalt!
c) Berechne den Flächenschwerpunkt!

: Im Punkt $X(350\mid 200\mid 650)$ befindet sich die punktförmige Ladung $Q_X=+120\,\mu\text{C}$. In den Punkten $A(-250\mid 350\mid 400)$ und $B(100\mid -200\mid -300)$ befinden sich die punktförmigen Ladungen $Q_A=+250\,\mu\text{C}$ und $Q_B=-175\,\mu\text{C}$. Alle Ladungen sind unbeweglich. Berechne, welche Kraft durch die Ladungen $Q_A$ und $Q_B$ auf die Ladung $Q_X$ ausgeübt wird (Kraftvektor und Betrag).

Der Betrag der Kraft zwischen zwei Ladungen wird durch das Coulombsche Gesetz beschrieben: $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{Q_1Q_2}{r^2}$$ Dabei ist $\varepsilon_0\approx 8{,}854\cdot 10^{-12}\,\tfrac{A\,s}{V\,m}$ die elektrische Feldkonstante und $r$ der Abstand der beiden Ladungen. Alle Längenangaben sind in Millimeter gemessen.

: Berechne, an welchem Punkt die nachfolgend angegebene Gerade $g$ die $xy$-Ebene durchstößt! $$g:~\vec v=\begin{pmatrix} 3\\ 5\\ 1 \end{pmatrix}+\mu \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}$$

: Berechne den Minimalabstand, welchen der Punkt $P(3\mid 10\mid 5)$ von der folgenden Ebene $\varepsilon$ hat! $$\varepsilon:~\vec v=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}+ \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} + \mu\cdot \begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 5 \end{pmatrix}$$

: Wie weit ist der Punkt $(3\mid 5\mid 7)$ von der $xz$-Ebene entfernt?

: Das Viereck $\text{ABCD}$ besitzt die Eckpunkte $\text{A}\,(-5\mid 4)$, $\text{B}\,(3\mid 5)$, $\text{C}\,(2\mid -2)$ und $\text{D}\,(-3\mid -3)$.
a) Stelle das Viereck im Koordinatensystem dar und beschrifte die Skizze.
b) Berechne den Umfang des Vierecks.
c) Berechne den Innenwinkel des Vierecks im Eckpunkt $\text{C}$.
d) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks.
e) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Diagonalen.

: Gegeben sind die folgenden beiden Kraftvektoren (alle Angaben in Newton): $$\vec{F}_1=\begin{pmatrix} -230\\ 510 \end{pmatrix} \hspace{3cm} \vec{F}_2=\begin{pmatrix} 370\\ 190 \end{pmatrix}$$
a) Berechne den Vektor und den Betrag der resultierenden Kraft.
b) Berechne den Winkel zwischen den beiden Kraftvektoren.
c) Ändere eine der beiden Komponenten von $\vec{F}_1$, sodass die beiden Kraftvektoren orthogonal sind.

: Vom Parallelogramm $ABCD$ sind die folgenden drei Eckpunkte bekannt: $A(1\mid 2\mid 1), B(2\mid 4\mid 7), D(8\mid 9\mid 3)$.
a) Berechne den fehlenden Eckpunkt $C$.
b) Berechne den Winkel $\alpha$ im Eckpunkt $A$.
c) Beschreibe mindestens zwei Methoden zur Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms.

: Vom Parallelogramm $\text{ABCD}$ sind die drei Eckpunkte $\text{A}\,(-4{,}2\mid 3{,}1)$, $\text{B}\,(3{,}9\mid 1{,}7)$ und $D\,(-3{,}5\mid -2{,}8)$ bekannt.
a) Stelle das Parallelogramm im Koordinatensystem dar und beschrifte die Skizze.
b) Berechne den fehlenden Eckpunkt $\text{C}$.
c) Berechne den Umfang des Parallelogramms.
d) Berechne den Winkel des Parallelogramms im Punkt $\text{A}$.
e) Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.
f) Ersetze den Punkt $\text{D}$ durch einen neuen Punkt $\text{E}$, sodass die Vektoren $\overrightarrow{\text{AB}}$ und $\overrightarrow{\text{AE}}$ eine Raute aufspannen. Gib die Koordinaten von Punkt $\text{E}$ inklusive Rechenweg an!

: Zu Beginn befinden sich die beiden punktförmigen positiven elektrischen Ladungen $Q_A=40\,\mu$C und $Q_B=65\,\mu$C an den Orten $\text{A}\,(1{,}2\mid 2{,}5\mid 0{,}9)$ und $\text{B}\,(1{,}7\mid 2{,}9\mid 1{,}5)$. Die Koordinaten sind in Meter gemessen. Durch die Coulomb-Kraft $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{Q_AQ_B}{r^2}$$ werden die Ladungen kontinuierlich beschleunigt und entfernen sich aufgrund der gleichen Ladungsvorzeichen voneinander. Die Bewegung der beiden Ladungen erfolgt auf einer Geraden. Die elektrische Feldkonstante $\varepsilon_0$ hat folgenden Wert: $$\varepsilon_0\approx 8{,}854\cdot 10^{-12}\,\tfrac {\text{A s}}{\text{V m}}$$
a) Berechne den Anfangsabstand der beiden Ladungen.
b) Berechne den Betrag der Kraft, welche zu Beginn auf die Ladung $Q_A$ wirkt.
c) Berechne den Kraftvektor, welcher zu Beginn auf die Ladung $Q_A$ wirkt.
d) Gib eine Gleichung jener Geraden an, auf welcher sich die beiden Ladungen bewegen.
e) An welchem Punkt wird die Ladung $Q_A$ die $xz$-Ebene durchstoßen?
f) Wie weit müssen die Ladungen voneinander entfernt sein, damit die Kraft 10 N beträgt?

: Ein Dreieck besitzt die Eckpunkte $\text{A}\,(-3\mid 3)$, $\text{B}\,(4\mid 2)$ und $\text{C}\,(-1\mid -3)$.
a) Stelle das Dreieck im Koordinatensystem dar und beschrifte die Skizze.
b) Gib alle Verbindungsvektoren und deren Beträge an.
c) Berechne den Umfang des Dreiecks.
d) Berechne den Innenwinkel des Dreiecks im Eckpunkt C.
e) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
f) Überprüfe auf eine mathematisch exakte Weise (nicht anhand der Skizze), ob dieses Dreieck rechtwinklig, gleichschenklig bzw. gleichseitig ist. Formuliere für jede der drei Eigenschaften eine Begründung in Form eines vollständigen Satzes.

: Der Polarstern kann am Nachthimmel durch einen Trick relativ einfach gefunden werden. Zunächst sucht man das Sternbild „Großer Wagen“. Nun zieht man eine Gerade durch die Sterne α und β des Sternbilds, auf welcher auch der Polarstern liegt. Der Abstand zwischen α und Polarstern ist ungefähr fünfmal so groß wie jener zwischen α und β. In einer Karte werden für α die Koordinaten (608|414) und für β die Koordinaten (570|473) abgelesen. Berechne, bei welchen Koordinaten der Polarstern gesucht werden muss.

: Auf geladene Teilchen, welche sich im elektromagnetischen Feld bewegen, wirkt die sogenannte Lorentzkraft. Die Formel dafür lautet folgendermaßen: $$\vec{F}=q\cdot (\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$$ Berechne den Kraftvektor für die Werte $q=0.5$, $\vec{E}=(3,0,0)^\top$, $\vec{v}=(0,0,-2)^\top$ und $\vec{B}=(0,4,0)^\top$. Alle Größen sind bereits in SI-Einheiten angegeben. Somit ist das Ergebnis in der Einheit Newton.