Fragen
Was ist eine $\varepsilon$-Umgebung (Epsilonumgebung)?
Was bedeutet die Formulierung „fast alle“?
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Unendlich viele Elemente erfüllen die Eigenschaft und nur eine endliche Anzahl erfüllt die Eigenschaft nicht. einklappen
Welche symbolische Schreibweise wird für den Grenzwert der Folge $\langle a_n \rangle$ verwendet und wofür steht diese Abkürzung?
Was versteht man unter dem Grenzwert einer Folge?
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Der Grenzwert einer Folge ist eine Zahl, welcher sich die Folgenglieder beliebig annähern. Ab einem bestimmten Folgenglied befinden sich alle Glieder innerhalb eines bestimmten Abstandes zum Grenzwert, egal wie klein dieser vorgegebene Abstand ist (also „fast alle“ Glieder befinden sich in einer beliebig kleinen $\varepsilon$-Umgebung). einklappen
Hat jede Folge einen Grenzwert?
Wie viele Grenzwerte kann eine Folge höchstens besitzen?
Wie nennt man Folgen, die einen bzw. keinen Grenzwert besitzen?
Was ist der Grenzwert von $\frac{1}{n}$?
Wie berechnet man den Grenzwert eines rationalen Terms (also eines Bruches, in dessen Zähler und Nenner sich ein Polynom befindet)?
Welche allgemeinen Regeln ergeben sich für den Grenzwert eines rationalen Folgenterms?
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Ist der Polynomgrad im Zähler größer, so divergiert die Folge.
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Ist der Polynomgrad im Nenner größer, so handelt es sich um eine Nullfolge (Grenzwert 0).
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Sind beide Polynomgrade gleich, so entspricht der Grenzwert dem Verhältnis der führenden Koeffizienten (also der Zahlen, die bei der größten Potenz stehen).
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Welchen Grenzwert besitzt der Term $q^n$ und wie hängt dies mit dem Wert von $q$ zusammen?
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Ist $|q|>1$, so divergiert die Folge.
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Ist $|q|<1$, so handelt es sich um eine Nullfolge (Grenzwert 0).
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Ist $q=1$, so hat die Folge den Grenzwert 1 (konstante Folge).
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Ist $q=-1$, so handelt es sich um eine divergente alternierende Folge (1, -1, 1, -1, 1, …).
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Was ist eine alternierende Folge?
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Bei einer alternierenden Folge wechseln aufeinanderfolgende Glieder das Vorzeichen (z. B. 1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, …). Häufig kommt im Folgenterm der Faktor $(-1)^n$ vor, jedoch ist die Folge dadurch nicht automatisch alternierend.
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Was ist eine beschränkte Folge?
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Dabei handelt es sich um eine Folge, bei welcher alle Folgenglieder in einem bestimmten Bereich liegen (zwischen der oberen Schranke $s_o$ und der unteren Schranke $s_u$), also $s_u\leq a_n \leq s_o$. einklappen
Was ist eine streng monoton wachsende bzw. fallende Folge?
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Streng monoton wachsend bedeutet, dass jedes Folgenglied größer als das vorherige Folgenglied ist, also $a_n > a_{n-1}$.
Streng monoton fallend bedeutet, dass jedes Folgenglied kleiner als das vorherige Folgenglied ist, also $a_n < a_{n-1}$. einklappen
Was ist eine monoton wachsende bzw. fallende Folge?
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Monoton wachsend bedeutet, dass jedes Folgenglied größer oder gleich dem vorherigen Folgenglied ist, also $a_n \geq a_{n-1}$.
Monoton fallend bedeutet, dass jedes Folgenglied kleiner oder gleich dem vorherigen Folgenglied ist, also $a_n \leq a_{n-1}$.
Ohne dem Wort „streng“ dürfen die Folgenglieder auch gleich bleiben. einklappen
Kann eine Folge monoton wachsend und monoton fallend zugleich sein?
Kann eine Folge streng monoton wachsend und streng monoton fallend zugleich sein?
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Nein, denn eine streng monotone Folge darf nicht konstant sein. Sie muss entweder wachsen oder fallen. Beides zugleich ist jedoch nicht möglich. einklappen
Was kann man über eine beschränkte streng monoton wachsende bzw. fallende Folge sagen?
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